11 класс. Геометрия. Тела вращения. Конус. Усеченный конус.

11 класс. Геометрия. Тела вращения. Конус. Усеченный конус.

Усеченный конус – это часть конуса, ограниченная между двумя параллельными основаниями ....

Комментарии преподавателя

  Введение

Рис. 1. Пред­ме­ты из жизни, име­ю­щие форму усе­чен­но­го ко­ну­са

Как вы ду­ма­е­те, от­ку­да в гео­мет­рии бе­рут­ся новые фи­гу­ры? Все очень про­сто: че­ло­век в жизни стал­ки­ва­ет­ся с по­хо­жи­ми объ­ек­та­ми и при­ду­мы­ва­ет, как бы их на­звать. Рас­смот­рим тумбу, на ко­то­рой сидят львы в цирке, кусок мор­ков­ки, ко­то­рый по­лу­ча­ет­ся, когда мы на­ре­за­ли толь­ко часть ее, дей­ству­ю­щий вул­кан и, на­при­мер, свет от фо­на­ри­ка (см. рис. 1).

 Усеченный конус, его элементы и осевое сечение

Рис. 2. Гео­мет­ри­че­ские фи­гу­ры

Мы видим, что все эти фи­гу­ры по­хо­жей формы – и снизу, и свер­ху они огра­ни­че­ны кру­га­ми, но они сужа­ют­ся квер­ху (см. рис. 2).

Рис. 3. От­се­че­ние верх­ней части ко­ну­са

Это по­хо­же на конус. Толь­ко не хва­та­ет вер­хуш­ки. Мыс­лен­но пред­ста­вим, что мы берем конус и от­се­ка­ем от него верх­нюю часть одним взма­хом остро­го меча (см. рис. 3).

Рис. 4. Усе­чен­ный конус

По­лу­ча­ет­ся как раз наша фи­гу­ра, на­зы­ва­ет­ся она усе­чен­ный конус (см. рис. 4).

Рис. 5. Се­че­ние, па­рал­лель­ное ос­но­ва­нию ко­ну­са

Пусть дан конус. Про­ве­дем плос­кость, па­рал­лель­ную плос­ко­сти ос­но­ва­ния этого ко­ну­са и пе­ре­се­ка­ю­щую конус (см. рис. 5).

Она разо­бьет конус на два тела: одно из них – конус мень­ше­го раз­ме­ра, а вто­рое и на­зы­ва­ет­ся усе­чен­ным ко­ну­сом (см. рис. 6).

Рис. 6. По­лу­чен­ные тела при па­рал­лель­ном се­че­нии

Таким об­ра­зом, усе­чен­ный конус – это часть ко­ну­са, за­клю­чен­ная между его ос­но­ва­ни­ем и па­рал­лель­ной ос­но­ва­нию плос­ко­стью. Как и в слу­чае с ко­ну­сом, усе­чен­ный конус может иметь в ос­но­ва­нии круг – в этом слу­чае его на­зы­ва­ют кру­го­вым. Если ис­ход­ный конус был пря­мым, то и усе­чен­ный конус на­зы­ва­ют пря­мым. Как и в слу­чае с ко­ну­са­ми, мы будем рас­смат­ри­вать ис­клю­чи­тель­но пря­мые кру­го­вые усе­чен­ные ко­ну­сы, если спе­ци­аль­но не ука­за­но, что речь идет о непря­мом усе­чен­ном ко­ну­се или в его ос­но­ва­ни­ях не круги.

Рис. 7. Вра­ще­ние пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции

Наша гло­баль­ная тема – тела вра­ще­ния. Усе­чен­ный конус – не ис­клю­че­ние! Вспом­ним, что для по­лу­че­ния ко­ну­са мы рас­смат­ри­ва­ли пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник и вра­ща­ли его во­круг ка­те­та? Если по­лу­чен­ный конус пе­ре­сечь плос­ко­стью, па­рал­лель­ной ос­но­ва­нию, то от тре­уголь­ни­ка оста­нет­ся пря­мо­уголь­ная тра­пе­ция. Ее вра­ще­ние во­круг мень­шей бо­ко­вой сто­ро­ны и даст нам усе­чен­ный конус. За­ме­тим снова, что речь, ра­зу­ме­ет­ся, идет толь­ко о пря­мом кру­го­вом ко­ну­се (см. рис. 7).

Рис. 8. Ос­но­ва­ния усе­чен­но­го ко­ну­са

Сде­ла­ем несколь­ко за­ме­ча­ний. Ос­но­ва­ние пол­но­го ко­ну­са и круг, по­лу­ча­ю­щий­ся в се­че­нии ко­ну­са плос­ко­стью, на­зы­ва­ют ос­но­ва­ни­я­ми усе­чен­но­го ко­ну­са (ниж­ним и верх­ним) (см. рис. 8).

Рис. 9. Об­ра­зу­ю­щие усе­чен­но­го ко­ну­са

От­рез­ки об­ра­зу­ю­щих пол­но­го ко­ну­са, за­клю­чен­ные между ос­но­ва­ни­я­ми усе­чен­но­го ко­ну­са, на­зы­ва­ют об­ра­зу­ю­щи­ми усе­чен­но­го ко­ну­са. Так как все об­ра­зу­ю­щие ис­ход­но­го ко­ну­са равны и все об­ра­зу­ю­щие от­се­чен­но­го ко­ну­са равны, то и об­ра­зу­ю­щие усе­чен­но­го ко­ну­са равны (не пу­тать от­се­чен­ный и усе­чен­ный!). От­сю­да и сле­ду­ет рав­но­бед­рен­ность тра­пе­ции осе­во­го се­че­ния (см. рис. 9).

От­ре­зок оси вра­ще­ния, за­клю­чен­ный внут­ри усе­чен­но­го ко­ну­са, на­зы­ва­ют осью усе­чен­но­го ко­ну­са. Этот от­ре­зок, ра­зу­ме­ет­ся, со­еди­ня­ет цен­тры его ос­но­ва­ний (см. рис. 10).

Рис. 10. Ось усе­чен­но­го ко­ну­са

Вы­со­та усе­чен­но­го ко­ну­са – это пер­пен­ди­ку­ляр, про­ве­ден­ный из точки од­но­го из ос­но­ва­ний к дру­го­му ос­но­ва­нию. Чаще всего, в ка­че­стве вы­со­ты усе­чен­но­го ко­ну­са рас­смат­ри­ва­ют его ось.

Рис. 11. Осе­вое се­че­ние усе­чен­но­го ко­ну­са

Осе­вое се­че­ние усе­чен­но­го ко­ну­са – это се­че­ние, про­хо­дя­щее через его ось. Оно имеет вид тра­пе­ции, чуть позже мы до­ка­жем ее рав­но­бед­рен­ность (см. рис. 11).

 Площади боковой и полной поверхностей усеченного конуса

Рис. 12. Конус с вве­ден­ны­ми обо­зна­че­ни­я­ми

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти усе­чен­но­го ко­ну­са. Пусть ос­но­ва­ния усе­чен­но­го ко­ну­са имеют ра­ди­у­сы  и , а об­ра­зу­ю­щая равна  (см. рис. 12).

Рис. 13. Обо­зна­че­ние об­ра­зу­ю­щей от­се­чен­но­го ко­ну­са

Най­дем пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти усе­чен­но­го ко­ну­са как раз­ность пло­ща­дей бо­ко­вых по­верх­но­стей ис­ход­но­го ко­ну­са и от­се­чен­но­го. Для этого обо­зна­чим через  об­ра­зу­ю­щую от­се­чен­но­го ко­ну­са (см. рис. 13).

Тогда ис­ко­мая .

Рис. 14. По­доб­ные тре­уголь­ни­ки

Оста­лось вы­ра­зить .

За­ме­тим, что из по­до­бия тре­уголь­ни­ков , от­ку­да  (см. рис. 14).

Можно было бы вы­ра­зить , раз­де­лив на раз­ность ра­ди­у­сов, но нам это не нужно, ведь в ис­ко­мом вы­ра­же­нии как раз фи­гу­ри­ру­ет про­из­ве­де­ние . Под­ста­вив вме­сто него , окон­ча­тель­но имеем: .

Неслож­но те­перь по­лу­чить и фор­му­лу для пло­ща­ди пол­ной по­верх­но­сти. Для этого до­ста­точ­но до­ба­вить пло­ща­ди двух кру­гов ос­но­ва­ний: .

 Задача

Рис. 15. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Пусть усе­чен­ный конус по­лу­чен вра­ще­ни­ем пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции  во­круг ее вы­со­ты . Сред­няя линия тра­пе­ции  равна , а боль­шая бо­ко­вая сто­ро­ны –  (см. рис. 15). Найти пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти по­лу­чен­но­го усе­чен­но­го ко­ну­са.

Ре­ше­ние

По фор­му­ле мы знаем, что .

Об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са будет яв­лять­ся боль­шая сто­ро­на ис­ход­ной тра­пе­ции, то есть  Ра­ди­у­сы ко­ну­са – это ос­но­ва­ния тра­пе­ции. Найти их мы не можем. Но нам и не надо: нужна лишь их сумма, а сумма ос­но­ва­ний тра­пе­ции вдвое боль­ше ее сред­ней линии, то есть она равна . Тогда .

Ответ: .

 Сходство усеченных конуса и пирамиды

Об­ра­ти­те вни­ма­ние, что, когда мы го­во­ри­ли о ко­ну­се, мы про­во­ди­ли па­рал­ле­ли между ним и пи­ра­ми­дой – фор­му­лы были ана­ло­гич­ны­ми. Так же и здесь, ведь усе­чен­ный конус очень похож на усе­чен­ную пи­ра­ми­ду, так что фор­му­лы для пло­ща­дей бо­ко­вой и пол­ной по­верх­но­стей усе­чен­но­го ко­ну­са и пи­ра­ми­ды (а скоро будут и фор­му­лы для объ­е­ма) ана­ло­гич­ны.

 Задача

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ра­ди­у­сы ос­но­ва­ний усе­чен­но­го ко­ну­са равны  и , а об­ра­зу­ю­щая равна . Найти вы­со­ту усе­чен­но­го ко­ну­са и пло­щадь его осе­во­го се­че­ния (см. рис. 1).

Ре­ше­ние

Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние, это тра­пе­ция , ос­но­ва­ния ко­то­рой – удво­ен­ные ра­ди­у­сы ( и ), а бо­ко­вая сто­ро­на равна об­ра­зу­ю­щей () (см. рис. 2).

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Про­ве­дем вы­со­ту . От­ре­зок  равен по­лу­раз­но­сти ос­но­ва­ний, зна­чит, он равен . Тогда тре­уголь­ник  по­до­бен еги­пет­ско­му, а зна­чит, . Вы­со­ту усе­чен­но­го ко­ну­са мы нашли.

А пло­щадь осе­во­го се­че­ния – это про­сто пло­щадь тра­пе­ции, она равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний () на вы­со­ту (), то есть .

Ответ: 

ИСТОЧНИК

https://www.kursoteka.ru/teacher//index.cfm/courses/edit/2446/lesson/edit/8074/summary

http://www.youtube.com/watch?v=Z9w96vXOjsQ

http://www.youtube.com/watch?v=PNjIs873wuQ

https://www.youtube.com/watch?v=NS9VUyhrk1Q

http://uztest.ru/abstracts/?id=85&t=6

http://methmath.ru/konus2.html

http://2mb.ru/matematika/geometriya/ploshhad-poverxnosti-usechennogo-konusa/

http://stu.alnam.ru/book_ster.php?id=61

http://rznbooks.ru/images/images_full/1903114.jpg

http://v.5klass.net/zip/1e946bae5563e0d9853708dfc941faa4.zip

http://2.bp.blogspot.com/-Fnc01ZYGYjI/UqcVYbItawI/AAAAAAAABHI/fTirN9NakR4/s1600/1.png

 

 

Файлы