11 класс. Геометрия. Тела вращения. Конус. Усеченный конус.

11 класс. Геометрия. Тела вращения. Конус. Усеченный конус.

Комментарии преподавателя

 Задача 1

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са равна 12. Па­рал­лель­но ос­но­ва­нию ко­ну­са про­ве­де­но се­че­ние, де­ля­щее вы­со­ту по­по­лам. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти от­се­чен­но­го ко­ну­са (см. рис. 1).

Ре­ше­ние

Рис. 2. По­доб­ные тре­уголь­ни­ки

За­ме­тим, что у от­се­чен­но­го ко­ну­са вы­со­та в два раза мень­ше вы­со­ты ис­ход­но­го. Рас­смот­рим осе­вое се­че­ние боль­ше­го и уви­дим, что тре­уголь­ни­ки по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том 2 (см. рис. 2).

Зна­чит, и об­ра­зу­ю­щая, и ра­ди­ус также в два раза мень­ше.

По фор­му­ле , если мы умень­шим ра­ди­ус и об­ра­зу­ю­щую вдвое, то пра­вая часть умень­шит­ся вчет­ве­ро, зна­чит, ответ 3.

Ответ: 3.

 Задача 2

Длина окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равна 3, а об­ра­зу­ю­щая равна 2. Найти пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са.

Ре­ше­ние

Ответ: 3.

 Задача 3

Рис. 3.  – ис­ко­мый угол

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са в два раза боль­ше пло­ща­ди его ос­но­ва­ния. Найти угол между об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са и плос­ко­стью его ос­но­ва­ния. Ответ дайте в гра­ду­сах (см. рис. 3).

Ре­ше­ние

Зна­чит, .

Те­перь рас­смот­рим осе­вое се­че­ние, про­ве­дем вы­со­ту (ось). По­лу­чим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, в ко­то­ром катет (ра­ди­ус ос­но­ва­ния) вдвое мень­ше ги­по­те­ну­зы, зна­чит, угол при ра­ди­у­се равен 60 гра­ду­сам (см. рис. 4).

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ: 60 гра­ду­сов.

 Задача 4

Рис. 5. Се­че­ние ко­ну­са

  

Рис. 6. Фи­гу­ра в ос­но­ва­нии ко­ну­са

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 6, а его вы­со­та равна 8. Плос­кость се­че­ния со­дер­жит вер­ши­ну ко­ну­са и хорду ос­но­ва­ния, длина ко­то­рой равна 4 (см. рис. 5). Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра ос­но­ва­ния ко­ну­са до плос­ко­сти се­че­ния.

Ре­ше­ние

Рас­смот­рим ос­но­ва­ние ко­ну­са. Так как хорда  в плос­ко­сти се­че­ния равна 4, а ра­ди­ус равен 6, имеем рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, вы­со­та  ко­то­ро­го по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра равна  (см. рис. 6).

Рис. 7. Ко­неч­ный ри­су­нок

Рас­смот­рим тре­уголь­ник  ( – вер­ши­на ко­ну­са). До­ка­жем, что вы­со­та  этого тре­уголь­ни­ка и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние. Во-пер­вых,  по по­стро­е­нию. Во-вто­рых, плос­кость  (т.к.  пер­пен­ди­ку­ляр­но  и ), а зна­чит, .

Сле­до­ва­тель­но,  – ис­ко­мое рас­сто­я­ние. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра . А тогда .

Ответ: .

 Задача 5

Рис. 8. Вра­ща­е­мый тре­уголь­ник

Рис. 9. Тело, по­лу­чен­ное при вра­ще­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка

Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник, бо­ко­вая сто­ро­на ко­то­ро­го равна , а угол при ос­но­ва­нии равен , вра­ща­ет­ся во­круг сво­е­го ос­но­ва­ния (см. рис. 8). Найти пло­щадь по­верх­но­сти по­лу­чен­но­го при вра­ще­нии тела (см. рис. 9).

Ре­ше­ние

Рис. 10. Два рав­ных ко­ну­са

Если про­ве­сти в тре­уголь­ни­ке вы­со­ту из вер­ши­ны, то по­лу­ча­ет­ся два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка, вра­щая ко­то­рые мы по­лу­ча­ем два рав­ных ко­ну­са, при­ле­га­ю­щих друг к другу ос­но­ва­ни­я­ми (см. рис. 10).

Зна­чит, пло­щадь по­верх­но­сти ис­ко­мо­го тела равна удво­ен­ной пло­ща­ди бо­ко­вой по­верх­но­сти лю­бо­го из ко­ну­сов. Таким об­ра­зом, нам надо найти ра­ди­ус ос­но­ва­ния и об­ра­зу­ю­щую ко­ну­са (см. рис. 11).

Рис. 11. Ил­лю­стра­ция к по­след­не­му шагу

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен вы­со­те ис­ход­но­го тре­уголь­ни­ка, а об­ра­зу­ю­щая – бо­ко­вой сто­роне. Оче­вид­но, вы­со­та равна , а зна­чит, таким об­ра­зом, окон­ча­тель­ный ответ: .

Ответ: .

 Заключение

Се­год­ня мы ре­ши­ли несколь­ко задач с пло­ща­дя­ми бо­ко­вой и пол­ной по­верх­но­стей ко­ну­са.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/btela-vraweniya-b/reshenie-zadach-konus

http://www.youtube.com/watch?v=1CVDfpLtNpM

http://www.youtube.com/watch?v=W-9tCcqma3Q

http://www.youtube.com/watch?v=VDnPMTtDEE8

http://www.youtube.com/watch?v=6HdzzPRQz6U

http://www.youtube.com/watch?v=kzqflg2J83s

http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=970472

http://works.tarefer.ru/50/100219/index.html#

http://900igr.net/zip/geometrija/Urok-konus.html

Файлы