11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Уравнение плоскости. Движения пространства.

11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Уравнение плоскости. Движения пространства.

Комментарии преподавателя

Урав­не­ние плос­ко­сти

Урав­не­ние с тремя пе­ре­мен­ны­ми x, у, z на­зы­ва­ет­ся урав­не­ни­ем дан­ной по­верх­но­сти P в си­сте­ме ко­ор­ди­нат Охуz, если этому урав­не­нию удо­вле­тво­ря­ют ко­ор­ди­на­ты любой точки по­верх­но­сти Р и не удо­вле­тво­ря­ют ко­ор­ди­на­ты ни­ка­кой точки, не ле­жа­щей на этой по­верх­но­сти. Из всех воз­мож­ных по­верх­но­стей нас се­год­ня будет ин­те­ре­со­вать урав­не­ние плос­ко­сти.

Урав­не­ние плос­ко­сти через точку и век­тор

Пусть дана неко­то­рая точка M0(x0;y0;z0) и нену­ле­вой век­тор . Через точку M0 можно про­ве­сти толь­ко одну плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­ную век­то­ру  (см. рис. 1).

Рис. 1. 

Вы­ве­дем урав­не­ние плос­ко­сти α. Пусть М — про­из­воль­ная точка про­стран­ства. Оче­вид­но, что точка М при­над­ле­жит плос­ко­сти α толь­ко тогда, когда век­тор  пер­пен­ди­ку­ля­рен век­то­ру . По­это­му урав­не­ние плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через точку M0 пер­пен­ди­ку­ляр­но век­то­ру, можно за­пи­сать в виде: .

 

Урав­не­ние плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через точку пер­пен­ди­ку­ляр­но век­то­ру фор­му­ла

Итак, фор­му­ла урав­не­ния плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через точку, пер­пен­ди­ку­ляр­но век­то­ру:

Век­тор  в урав­не­нии  на­зы­ва­ет­ся нор­маль­ным век­то­ром плос­ко­сти. В ка­че­стве нор­маль­но­го век­то­ра можно взять любой век­тор, пер­пен­ди­ку­ляр­ный плос­ко­сти.

Пусть ко­ор­ди­на­ты век­то­ра равны . И обо­зна­чим ко­ор­ди­на­ты про­из­воль­ной точки М через x, y и z. Тогда век­тор имеет ко­ор­ди­на­ты .

Урав­не­ние плос­ко­сти через точку

Те­перь можно за­пи­сать урав­не­ние плос­ко­сти через ко­ор­ди­на­ты век­то­ра и век­то­ра :

Это урав­не­ние на­зы­ва­ет­ся урав­не­ни­ем плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через точку M0(x0;y0;z0) пер­пен­ди­ку­ляр­но век­то­ру (А; В; С). Рас­кро­ем скоб­ки и пе­ре­груп­пи­ру­ем сла­га­е­мые, обо­зна­чив сла­га­е­мые, не со­дер­жа­щие пе­ре­мен­ные за D:

;

;

.

Рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти

Зная урав­не­ние плос­ко­сти, можно найти рас­сто­я­ние от точки, не ле­жа­щей на плос­ко­сти до самой плос­ко­сти.

Рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти за­да­ча

Дано: В неко­то­рой де­кар­то­вой си­сте­ме ко­ор­ди­нат урав­не­ние Ax+By +Cz+D=0, опи­сы­ва­ю­щее плос­кость. M0(x0, y0, z0) - точка про­стран­ства, за­дан­ная сво­и­ми ко­ор­ди­на­та­ми в той же си­сте­ме ко­ор­ди­нат (см. рис. 2).

Рис. 2.

Найти: рас­сто­я­ние от точки М0 до плос­ко­сти.

Ре­ше­ние: Пусть точка М1(x1;y1;z1)-про­ек­ция точки М0 на плос­кость. Зна­чит, нам необ­хо­ди­мо найти длину от­рез­ка M0M1. Чтобы найти рас­сто­я­ние d, вы­ра­зим век­тор  через век­тор нор­ма­ли, ко­ор­ди­на­ты ко­то­ро­го мы знаем по урав­не­нию плос­ко­сти -  (А; В; С): .

Так как век­тор  и век­тор  - кол­ли­не­ар­ны, зна­чит, можно вы­ра­зить ко­ор­ди­на­ты век­то­ра  двумя спо­со­ба­ми: .

По­лу­ча­ем си­сте­му урав­не­ний:

Вы­ра­жа­ем ко­ор­ди­на­ты точки M1:

Под­ста­вим ко­ор­ди­на­ты точки M1 в урав­не­ние плос­ко­сти, так как эта точка лежит в плос­ко­сти α:

.

От­сю­да вы­ра­жа­ем ко­эф­фи­ци­ент k:

.

Фор­му­ла рас­сто­я­ния от точки до плос­ко­сти

Те­перь вы­ве­дем фор­му­лу для на­хож­де­ния рас­сто­я­ния от точки до плос­ко­сти:

.

Урав­не­ние плос­ко­сти за­да­чи

За­да­ча 1.

Дано: Тре­уголь­ник с вер­ши­на­ми в точ­ках А1{-5;2;7), А2(5;0;6), А3(0;-1;2). А1М0 – ме­ди­а­на (см. рис. 3). Найти: урав­не­ние плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через точку М0 пер­пен­ди­ку­ляр­но ме­ди­ане А1М0.

Рис. 3.

Ре­ше­ние:

Чтобы на­пи­сать урав­не­ние плос­ко­сти, мы долж­ны знать ко­ор­ди­на­ты точки М0, при­над­ле­жа­щей плос­ко­сти, и ко­ор­ди­на­ты век­то­ра нор­ма­ли. За нор­маль­ный век­тор плос­ко­сти можно при­нять век­тор . Опре­де­лим его ко­ор­ди­на­ты. Точка М0— се­ре­ди­на от­рез­ка А2А3, по­это­му, ее ко­ор­ди­на­ты равны .

Ко­ор­ди­на­ты нор­маль­но­го век­то­ра  на­хо­дим, вы­чи­тая из ко­ор­ди­нат конца ко­ор­ди­на­ты на­ча­ла век­то­ра: .

Те­перь под­ста­вим все нуж­ные числа в урав­не­ние плос­ко­сти:

;

.

Ответ: .

Рас­сто­я­ние от точки до плос­ко­сти за­да­ча 2

За­да­ча 2.

Дано: пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед (см. рис. 4), AB=4; AD=3; AA1=2. A1K:KD1=2:1; K∈α; . Найти: а) Рас­сто­я­ние от B1 до α, б) Рас­сто­я­ние от M до D1.

Рис. 4.

Ре­ше­ние: Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат, как по­ка­за­но на ри­сун­ке.

а) Чтобы найти нуж­ное нам рас­сто­я­ние на­пи­шем урав­не­ние плос­ко­сти α. Для этого узна­ем ко­ор­ди­на­ты точки K и ко­ор­ди­на­ты век­то­ра нор­ма­ли к плос­ко­сти. Век­тор нор­ма­ли в дан­ном слу­чае – это век­тор . Так как это ра­ди­ус-век­тор, его ко­ор­ди­на­ты сов­па­да­ют с ко­ор­ди­на­та­ми точки С1. ; K(0;2;2).

Тогда урав­не­ние плос­ко­сти α имеет вид ,

Или .

Ис­ко­мое рас­сто­я­ние от точки В1 до плос­ко­сти α на­хо­дим по фор­му­ле: .

Ко­ор­ди­на­ты точки В1 равны (4;0;2). Тогда .

б) Чтобы узнать необ­хо­ди­мое рас­сто­я­ние най­дем ко­ор­ди­на­ты точек M и D1, D1(0;3;2).По усло­вию, точка M на­хо­дит­ся на пря­мой BC, зна­чит M(4;y;0). Так как точка М(4;y;0) при­над­ле­жит плос­ко­сти α, то ее ко­ор­ди­на­ты можно под­ста­вить в урав­не­ние плос­ко­сти, ко­то­рое мы уже знаем - 

По­лу­чи­ли: 16+3y-10=0. Тогда y=-2, M(4;-2;0).

Те­перь най­дем мо­дуль век­то­ра , как ко­рень из суммы квад­ра­тов раз­но­сти ко­ор­ди­нат конца и на­ча­ла век­то­ра: .

Ответ: .

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/uravnenie-ploskosti

http://www.youtube.com/watch?v=M5RfXWoz5jQ

http://www.youtube.com/watch?v=Zpv7yKF1QXI

http://www.youtube.com/watch?v=GivURs3Fuqk

http://www.youtube.com/watch?v=VQ4mfAXr238

http://www.youtube.com/watch?v=gD5rtKppYu4

http://www.cleverstudents.ru/line_and_plane/normal_equation_of_plane.html

http://www.mathprofi.ru/uravnenie_ploskosti.html

http://dealer-auto.spb.ru/blog.php?snjqf=/rcxdfcn/statistika_naseleniya_zadachi_s_resheniem_2626_3.jpg

http://mypresentation.ru/download/uravnenie_ploskosti_v_prostranstve

Файлы