11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов.
11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов.
Комментарии преподавателя
Введем сначала понятие направляющего вектора прямой. Направляющим вектором прямой называется ненулевой вектор, лежащий на прямой или на прямой параллельной данной. То есть для прямой a вектор AB является направляющим.
Пусть даны две прямые a и b, и их направляющие вектора 
и 
, заданные координатами. Найдем угол β между прямыми.
Возможны два случая:
1) Если угол φ между векторами острый, то угол φ равен углу β между прямыми. Тогда по формуле скалярного произведения векторов:
(см. рис. 1).
Рис. 1. Острый угол между прямыми
2) Если угол φ между векторами тупой, то угол между прямыми равен – (180-φ). Тогда: 
(см. рис. 2).
Рис. 2. Тупой угол между прямыми
Можно объединить два случая в одной формуле: 
Рассмотрим задачу на нахождение угла между прямыми и угла между прямой и плоскостью.
Дано: правильная треугольная призма ABCA1B1C1, 
.
Найдите:
а) угол между прямыми АС1 и A1B;
б) угол между прямой АС1 и плоскостью АВС.
Решение: Пусть AB=a, тогда AA1=a√2. Введем прямоугольную систему координат с центром в точке С, и определим координаты точек A, B, C1 и A1: 
, 
, 
, 
.
Зная координаты конца и начала векторов, находим координаты векторов: 
, 
.
а)Векторы 
и 
являются направляющими векторами прямых AC1 и BA1, следовательно угол φ можно найти по формуле :
б) Так как призма правильная, следовательно 
. Чтобы найти угол между плоскостью и прямой необходимо знать вектор и вектор, перпендикулярный плоскости ABC – вектор нормали-
, 
. Находим угол между прямой и плоскостью:
С помощью скалярного произведения можно также найти угол между плоскостями.
Рассмотрим две плоскости α и β с нормальными векторами 
и 
. Угол φ между плоскостями α и β можно выразить через угол 
.
Возможны два случая:
1) Если ψ ≤ 90°, то φ = ψ;
2) Если ψ > 90°, то φ = 180°-ψ .
Значит, угол φ можно найти по формуле: 
.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/vychislenie-uglov-mezhdu-pryamymi-i-ploskostyami
http://www.youtube.com/watch?v=nDXmo9kByak
http://www.youtube.com/watch?v=KcqV1DMQLZ8
http://www.youtube.com/watch?v=2Z8RvVVY-Zk
http://ppt4web.ru/algebra/vychislenie-uglov-mezhdu-prjamymi-i-ploskostjami.html
http://cs605621.vk.me/v605621104/6d02/h6MaXQ6XcEs.jpg
http://3.bp.blogspot.com/-25Y6Op5F-oc/T1TRIL41EcI/AAAAAAAAA_4/7kf0N_lmA-4/s1600/Geom_89.jpg
http://www.100book.ru/b393010.jpg
C:\Users\Пользователь\Desktop\АЛТЫНОВ геометрия 11 класс ТЕСТЫ.pdf