11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Прямоугольная система координат.

11 класс. Геометрия. Метод координат в пространстве. Прямоугольная система координат.

Комментарии преподавателя

 1. Введение

Если через точку О в про­стран­стве мы про­ве­дем три пер­пен­ди­ку­ляр­ные пря­мые, на­зо­вем их, вы­бе­рем на­прав­ле­ние, обо­зна­чим еди­нич­ные от­рез­ки, то мы по­лу­чим пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат в про­стран­стве. Оси ко­ор­ди­нат на­зы­ва­ют­ся так: Ох – ось абс­цисс, Оy – ось ор­ди­нат и Оz – ось ап­пли­кат. Вся си­сте­ма ко­ор­ди­нат обо­зна­ча­ет­ся – Oxyz. Таким об­ра­зом, по­яв­ля­ют­ся три ко­ор­ди­нат­ные плос­ко­сти: Оxy, Оxz, Оyz.

При­ве­дем при­мер по­стро­е­ния точки В(4;3;5) в пря­мо­уголь­ной си­сте­ме ко­ор­ди­нат (см. Рис. 1).

Рис. 1. По­стро­е­ние точки B в про­стран­стве

Пер­вая ко­ор­ди­на­та точки B – 4, по­это­му от­кла­ды­ва­ем на Ox 4, про­во­дим пря­мую па­рал­лель­но оси Oy до пе­ре­се­че­ния с пря­мой, про­хо­дя­щей через у=3. Таким об­ра­зом, мы по­лу­ча­ем точку K. Эта точка лежит в плос­ко­сти Oxy и имеет ко­ор­ди­на­ты K(4;3;0). Те­перь нужно про­ве­сти пря­мую па­рал­лель­но оси Oz. И пря­мую, ко­то­рая про­хо­дит через точку с ап­пли­ка­той 5 и па­рал­лель­на диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма в плос­ко­сти Oxy. На их пе­ре­се­че­нии мы по­лу­чим ис­ко­мую точку B.

Рас­смот­рим рас­по­ло­же­ние точек, у ко­то­рых одна или две ко­ор­ди­на­ты равны 0 (см. Рис. 2).

Рис. 2.

На­при­мер, точка A(3;-1;0). Нужно про­дол­жить ось Oy влево до зна­че­ния -1, найти точку 3 на оси Ox, и на пе­ре­се­че­нии линий, про­хо­дя­щих через эти зна­че­ния, по­лу­ча­ем точку А. Эта точка имеет ап­пли­ка­ту 0, а зна­чит, она лежит в плос­ко­сти Oxy.

Точка C(0;2;0) имеет абс­цис­су и ап­пли­ка­ту 0 – не от­ме­ча­ем. Ор­ди­на­та равна 2, зна­чит точка C лежит толь­ко на оси Oy, ко­то­рая яв­ля­ет­ся пе­ре­се­че­ни­ем плос­ко­стей Oxy и Oyz.

Чтобы от­ло­жить точку D(-4;0;3) про­дол­жа­ем ось Ox назад за на­ча­ло ко­ор­ди­нат до точки -4. Те­перь вос­ста­нав­ли­ва­ем из этой точки пер­пен­ди­ку­ляр – пря­мую, па­рал­лель­ную оси Oz до пе­ре­се­че­ния с пря­мой, па­рал­лель­ной оси Ox и про­хо­дя­щей через зна­че­ние 3 на оси Oz. По­лу­ча­ем току D(-4;0;3). Так как ор­ди­на­та точки равна 0, зна­чит точка D лежит в плос­ко­сти Oxz.

Сле­ду­ю­щая точка E(0;5;-3). Ор­ди­на­та точки 5, ап­пли­ка­та -3, про­во­дим пря­мые про­хо­дя­щие через эти зна­че­ния на со­от­вет­ству­ю­щих осях, и на их пе­ре­се­че­нии по­лу­ча­ем точку E(0;5;-3). Эта точка имеет первую ко­ор­ди­на­ту 0, зна­чит она лежит в плос­ко­сти Oyz.

 

 2. Координаты вектора 

На­чер­тим пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат в про­стран­стве Oxyz. За­да­дим в про­стран­стве пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат Oxyz. На каж­дой из по­ло­жи­тель­ных по­лу­осей от­ло­жим от на­ча­ла ко­ор­ди­нат еди­нич­ный век­тор, т. е. век­тор, длина ко­то­ро­го равна еди­ни­це. Обо­зна­чим еди­нич­ный век­тор оси абс­цисс, еди­нич­ный век­тор оси ор­ди­нат , и еди­нич­ный век­тор оси ап­пли­кат  (см. рис. 1). Эти век­то­ры со­на­прав­ле­ны с на­прав­ле­ни­я­ми осей, имеют еди­нич­ную длину и ор­то­го­наль­ны – по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Такие век­то­ра на­зы­ва­ют ко­ор­ди­нат­ны­ми век­то­ра­ми или ба­зи­сом.

Разложение вектора по трем координатным векторам

Рис. 1. Раз­ло­же­ние век­то­ра по трем ко­ор­ди­нат­ным век­то­рам

Возь­мем век­тор , по­ме­стим его в на­ча­ло ко­ор­ди­нат, и раз­ло­жим этот век­тор по трем неком­пла­нар­ным - ле­жа­щим в раз­ных плос­ко­стях -  век­то­рам. Для этого опу­стим про­ек­цию точки M на плос­кость Oxy, и най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ров  и . По­лу­ча­ем: . Рас­смот­рим по от­дель­но­сти каж­дый из этих век­то­ров. Век­тор  лежит на оси Ox, зна­чит, со­глас­но свой­ству умно­же­ния век­то­ра на число, его можно пред­ста­вить как ка­кое-то число x умно­жен­ное на ко­ор­ди­нат­ный век­тор , а длина век­то­ра ровно в x раз боль­ше длины . Так же по­сту­пим и с век­то­ра­ми  и , и по­лу­ча­ем раз­ло­же­ние век­то­ра по трем ко­ор­ди­нат­ным век­то­рам:

Ко­эф­фи­ци­ен­ты этого раз­ло­же­ния x, y и z на­зы­ва­ют­ся ко­ор­ди­на­та­ми век­то­ра в про­стран­стве.

Рас­смот­рим пра­ви­ла, ко­то­рые поз­во­ля­ют по ко­ор­ди­на­там дан­ных век­то­ров найти ко­ор­ди­на­ты их суммы и раз­но­сти, а также ко­ор­ди­на­ты про­из­ве­де­ния дан­но­го век­то­ра на дан­ное число.

 

1) Сло­же­ние: 

2) Вы­чи­та­ние:  

3) Умно­же­ние на число: 

Век­тор, на­ча­ло ко­то­ро­го сов­па­да­ет с на­ча­лом ко­ор­ди­нат, на­зы­ва­ет­ся ра­ди­ус-век­то­ром. (Рис. 2). Век­тор - ра­ди­ус-век­тор, где x, y и z – это ко­эф­фи­ци­ен­ты раз­ло­же­ния этого век­то­ра  по ко­ор­ди­нат­ным век­то­рам . В дан­ном слу­чае x – это пер­вая ко­ор­ди­на­та точки A на оси Ox, y – ко­ор­ди­на­та точки B на оси Oy, z – ко­ор­ди­на­та точки C на оси Oz. По ри­сун­ку видно, что ко­ор­ди­на­ты ра­ди­ус-век­то­ра од­но­вре­мен­но яв­ля­ют­ся ко­ор­ди­на­та­ми точки М.

Рис. 2.

Возь­мем точку A(x1;y1;z1) и точку B(x2;y2;z2) (см. рис. 3). Пред­ста­вим век­тор как раз­ность век­то­ров  и по свой­ству век­то­ров. При­чем,  и - ра­ди­ус-век­то­ры, и их ко­ор­ди­на­ты сов­па­да­ют с ко­ор­ди­на­та­ми кон­цов этих век­то­ров. Тогда мы можем пред­ста­вить ко­ор­ди­на­ты век­то­ра  как раз­ность со­от­вет­ству­ю­щих ко­ор­ди­нат век­то­ров  и . Таким об­ра­зом, ко­ор­ди­на­ты век­то­ра мы можем вы­ра­зить через ко­ор­ди­на­ты конца и на­ча­ла век­то­ра.

Рис. 3.

Рас­смот­рим при­ме­ры, ил­лю­стри­ру­ю­щие свой­ства век­то­ров и их вы­ра­же­ние через ко­ор­ди­на­ты. Возь­мем век­то­ры . Нас спра­ши­ва­ют век­тор . В дан­ном слу­чае найти  это зна­чит найти ко­ор­ди­на­ты век­то­ра , ко­то­рые пол­но­стью его опре­де­ля­ют. Под­став­ля­ем в вы­ра­же­ние вме­сто век­то­ров со­от­вет­ствен­но их ко­ор­ди­на­ты. По­лу­ча­ем:

Те­перь умно­жа­ем число 3 на каж­дую ко­ор­ди­на­ту в скоб­ках, и то же самое де­ла­ем с 2:

У нас по­лу­чи­лась сумма трех век­то­ров, скла­ды­ва­ем их по изу­чен­но­му выше свой­ству:

Ответ: 

При­мер №2.

Дано: Тре­уголь­ная пи­ра­ми­да AOBC (см. рис. 4). Плос­ко­сти AOB, AOC и OCB – по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. OA=3, OB=7, OC=4; M - сер.AC; N - сер.OC; P – сер. CB.

Найти: ,,,,,,,.

Рис. 4.

Ре­ше­ние: Вве­дем пря­мо­уголь­ную си­сте­му ко­ор­ди­нат Oxyz с на­ча­лом от­сче­та в точке O. По усло­вию обо­зна­ча­ем точки A, B и C на осях и се­ре­ди­ны ребер пи­ра­ми­ды – M, P и N. По ри­сун­ку на­хо­дим ко­ор­ди­на­ты вер­шин пи­ра­ми­ды: A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).

Так как ко­ор­ди­на­ты век­то­ра  -  это раз­ность ко­ор­ди­нат его конца и на­ча­ла, по­лу­ча­ем:. Таким же об­ра­зом на­хо­дим ко­ор­ди­на­ты век­то­ров и .

Чтобы найти ко­ор­ди­на­ты век­то­ра , нужно сна­ча­ла найти ко­ор­ди­на­ты точек M и N. По ри­сун­ку видно, что точка N имеет ко­ор­ди­на­ты, так как она лежит на оси ап­пли­кат. Рас­смот­рим . MN – сред­няя линия, . Зна­чит ко­ор­ди­на­та точки M по оси Oz 2. Те­перь про­ве­дем из точки M пер­пен­ди­ку­ляр к оси Ox, ко­ор­ди­на­та 1,5. Точка M лежит в плос­ко­сти Oxz, зна­чит по оси Oy ко­ор­ди­на­та 0. По­лу­ча­ем M(1,5;0;2). Те­перь зная ко­ор­ди­на­ты точек M и N, счи­та­ем их раз­ность: .

Те­перь най­дем ко­ор­ди­на­ты точки P. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр на плос­кость Oxy, по­лу­ча­ем зна­че­ние 3,5 по оси ор­ди­нат. И про­ве­дя пер­пен­ди­ку­ляр к оси Oz, по­лу­ча­ем зна­че­ние 2 по оси ап­пли­кат. Точка P имеет ко­ор­ди­на­ты (0;3,5;2). Зная ко­ор­ди­на­ты нуж­ных точек, най­дем ко­ор­ди­на­ты остав­ших­ся век­то­ров.

;

.

Век­то­ра  и  - ра­ди­ус-век­то­ры, зна­чит, их ко­ор­ди­на­ты равны ко­ор­ди­на­там кон­цов этих век­то­ров: .

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/pryamougolnaya-sistema-koordinat-v-prostranstve?seconds=0&chapter_id=218

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/koordinaty-vektora-2

http://www.youtube.com/watch?v=I1ls2_8OC7o

http://www.youtube.com/watch?v=4mzetW2y53Y

http://www.youtube.com/watch?v=OyQZg-oHE7g

https://www.youtube.com/watch?v=oboW6X5_LEg

http://900igr.net/fotografii/geometrija/Prjamougolnaja-sistema-koordinat/006-Nachalo-koordinat.html

http://www.yaklass.ru/materiali?mode=lsntheme&themeid=101

http://900igr.net/fotografii/geometrija/Prjamougolnaja-sistema-koordinat-v-prostranstve/Prjamougolnaja-sistema-koordinat-v-prostranstve.html

Файлы