10 класс. Геометрия. Векторы в пространстве.

10 класс. Геометрия. Векторы в пространстве.

Любой век­тор можно ...

Комментарии преподавателя

 1. Основные определения по теме векторы

Опре­де­ле­ние:

Век­то­ром на­зы­ва­ет­ся на­прав­лен­ный от­ре­зок. У век­то­ра  точка А – на­ча­ло век­то­ра, точка В – конец.

Для век­то­ра важна не толь­ко длина, но и на­прав­ле­ние.

Опре­де­ле­ние:

Кол­ли­не­ар­ны­ми на­зы­ва­ют век­то­ры, при­над­ле­жа­щие одной и той же или па­рал­лель­ным пря­мым.

Кол­ли­не­ар­ные век­то­ры могут быть со­на­прав­лен­ны­ми и про­ти­во­на­прав­лен­ны­ми.

Опре­де­ле­ние:

Рав­ны­ми на­зы­ва­ют кол­ли­не­ар­ные со­на­прав­лен­ные век­то­ры, длины ко­то­рых равны.

Любой век­тор можно един­ствен­ным об­ра­зом от­ло­жить от про­из­воль­ной точки.

Для сло­же­ния век­то­ров при­ме­ня­ют­ся пра­ви­ла тре­уголь­ни­ка, па­рал­ле­ло­грам­ма, мно­го­уголь­ни­ка и па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

При умно­же­нии век­то­ра на по­ло­жи­тель­ное число его длина умно­жа­ет­ся на это число, а на­прав­ле­ние оста­ет­ся неиз­мен­ным. При умно­же­нии век­то­ра на от­ри­ца­тель­ное число его длина умно­жа­ет­ся на это число, а на­прав­ле­ние ме­ня­ет­ся на про­ти­во­по­лож­ное.

Новым для век­то­ров в про­стран­стве от­но­си­тель­но век­то­ров на плос­ко­сти яв­ля­ет­ся по­ня­тие ком­пла­нар­но­сти.

Опре­де­ле­ние:

Век­то­ры на­зы­ва­ют­ся ком­пла­нар­ны­ми, если при от­кла­ды­ва­нии их от одной и той же точки они будут ле­жать в одной плос­ко­сти.

 2. Разложение вектора на плоскости и в пространстве

Мы знаем, что если за­да­ны два некол­ли­не­ар­ных век­то­ра на плос­ко­сти, то любой тре­тий век­тор на той же плос­ко­сти можно од­но­знач­но раз­ло­жить по этим век­то­рам (рис. 1, 2):

Векторы на плоскости

Рис. 1. Век­то­ры на плос­ко­сти

Разложение вектора через два неколлинеарных

Рис. 2. Раз­ло­же­ние век­то­ра через два некол­ли­не­ар­ных

Дан­ный факт легко до­ка­зы­ва­ет­ся. Пусть . Из точки С про­во­дим пря­мую CB, па­рал­лель­но век­то­ру . По­лу­ча­ем век­тор , кол­ли­не­ар­ный век­то­ру . Ана­ло­гич­но из точки С про­во­дим пря­мую CА, па­рал­лель­но век­то­ру . По­лу­ча­ем век­тор , кол­ли­не­ар­ный век­то­ру . Это озна­ча­ет, что су­ще­ству­ют такие два числа х и у, при­чем един­ствен­ные, что:

Во­прос на по­ни­ма­ние ком­пла­нар­но­сти век­то­ров. Если век­тор  можно пред­ста­вить в виде , где х и у – кон­крет­ные числа, то век­то­ры  и  ком­пла­нар­ны.

Если за­да­ны три неком­пла­нар­ных век­то­ра, то мы можем од­но­знач­но раз­ло­жить любой за­дан­ный чет­вер­тый век­тор через три за­дан­ных. На­при­мер, за­да­ны неком­пла­нар­ные век­то­ры  и . Тогда любой век­тор  можно пред­ста­вить в виде суммы: , где х, у и z – кон­крет­ные числа, при­чем для за­дан­но­го век­то­ра един­ствен­ные. Эти числа на­зы­ва­ют­ся ко­эф­фи­ци­ен­та­ми раз­ло­же­ния.

 3. Решение задачи на разложение вектора по трем некомпланарным

За­да­ча 1: дан куб  с реб­ром m. Точка К – се­ре­ди­на ребра . Раз­ло­жить век­тор  по век­то­рам  и найти его длину.

Ре­ше­ние: по­стро­им за­дан­ный куб (рис. 3).

Куб, задача 1

Рис. 3. Куб, за­да­ча 1

Век­то­ра­ми  и  за­да­ет­ся плос­кость квад­ра­та . Тре­тий век­тор  не лежит в этой плос­ко­сти, от­сю­да за­клю­ча­ем, что три за­дан­ных век­то­ра  и  неком­пла­нар­ны, и мы можем вы­ра­зить через них ис­ко­мый век­тор . Най­дем век­тор  по пра­ви­лу мно­го­уголь­ни­ка. Оче­вид­но, что в дан­ной за­да­че для этого есть мно­же­ство спо­со­бов, но мы вы­би­ра­ем самый ко­рот­кий путь: . век­тор  мы по усло­вию обо­зна­чи­ли как век­тор . Век­тор  со­глас­но свой­ствам куба равен век­то­ру , обо­зна­чен­но­му за век­тор .

век­тор  со­став­ля­ет по­ло­ви­ну век­то­ра , так как точка К – се­ре­ди­на ребра  по усло­вию: . Век­тор  со­глас­но свой­ствам куба, равен век­то­ру , обо­зна­чен­но­му как век­тор . Имеем: 

Так, за­дан­ный век­тор вы­ра­жен через три неком­пла­нар­ных век­то­ра. Оста­лось найти его длину. Здесь нужно при­ме­нить тео­ре­му Пи­фа­го­ра. Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник . Он пря­мо­уголь­ный по­то­му, что ребро  пер­пен­ди­ку­ляр­но всей плос­ко­сти ос­но­ва­ния , зна­чит и любой пря­мой в этой плос­ко­сти, зна­чит пря­мой . Один из ка­те­тов  равен m как ребро куба. Катет  най­дем из дру­го­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка – , где он уже яв­ля­ет­ся ги­по­те­ну­зой. Здесь катет  равен m как ребро куба. Катет  равен , так как точка К – се­ре­ди­на ребра . Имеем: 

Вер­нем­ся к пер­во­му тре­уголь­ни­ку: 

 4. Задача на усвоение понятия компланарности

За­да­ча 2: век­то­ры  и  ком­пла­нар­ны. Ком­пла­нар­ны ли век­то­ры  и ? Ком­пла­нар­ны ли век­то­ры ?

Ре­ше­ние: тот факт, что век­то­ры  и  ком­пла­нар­ны, озна­ча­ет, что, бу­дучи от­ло­жен­ны­ми от одной точки, они рас­по­ло­же­ны в одной плос­ко­сти (ри­су­нок 4.а). Это зна­чит, что один из век­то­ров, на­при­мер, век­тор , можно од­но­знач­но раз­ло­жить по двум дру­гим: . Оче­вид­но, что век­то­ры  и  тоже ком­пла­нар­ны, т. к. умно­же­ние век­то­ра на по­ло­жи­тель­ное число не ме­ня­ет его на­прав­ле­ния, а ме­ня­ет толь­ко длину, и век­то­ры оста­нут­ся в той же плос­ко­сти (ри­су­нок 4.б).

Рис. 4. а

Рис. 4. б

Оче­вид­но, что трой­ка век­то­ров  также ком­пла­нар­на, по­то­му что вся­кая ли­ней­ная ком­би­на­ция ком­пла­нар­ных век­то­ров есть век­тор, им ком­пла­нар­ный. Мы имеем три век­то­ра, ком­пла­нар­ных за­дан­ным век­то­рам, оче­вид­но, что они ком­пла­нар­ны между собой.

Итак, мы вспом­ни­ли все ос­нов­ные опре­де­ле­ния и тео­ре­мы ка­са­тель­но век­то­ров в про­стран­стве, по­дроб­но оста­но­ви­лись на по­ня­тии ком­пла­нар­но­сти век­то­ров и рас­смот­ре­ли ти­по­вые за­да­чи на эту тему.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/razlozhenie-vektora-po-tryom-nekomplanarnym-vektoram-zadachi

http://www.youtube.com/watch?v=2Z8RvVVY-Zk

http://www.youtube.com/watch?v=1ODj9tEtaXg

http://5klass.net/geometrija-11-klass/Opredelenie-vektora-v-prostranstve/049-Razlozhenie-vektora-po-trem-nekomplanarnym-vektoram.html

http://present5.com/prezentaciya-komplanarnye-vektory/

http://www.otbet.ru/book/class-10/geometria/uchebnik-glazkov-yu-a-testy-po-geometrii/

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/zadachi-na-razlozhenie-vektora-po-tryom-nekomplanarnym-vektoram-bolee-slozhnye-sluchai

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/reshenie-zadach-s-primeneniem-vektorov

Файлы