10 класс. Геометрия. Векторы в пространстве.

10 класс. Геометрия. Векторы в пространстве.

Если за­да­ны три неком­пла­нар­ных век­то­ра, то ...

Комментарии преподавателя

 1. Введение, понятие компланарности векторов

Век­то­ры на­зы­ва­ют­ся ком­пла­нар­ны­ми, если при от­кла­ды­ва­нии их от одной и той же точки они будут ле­жать в одной плос­ко­сти.

Рас­смот­рим век­то­ры  и : рис. 1

Векторы

Рис. 1. Век­то­ры  и 

Мы знаем, что если за­да­ны два некол­ли­не­ар­ных век­то­ра на плос­ко­сти, то любой тре­тий век­тор на той же плос­ко­сти можно од­но­знач­но раз­ло­жить по этим век­то­рам: рис. 2, 3.

Векторы на плоскости

Рис. 2. Век­то­ры на плос­ко­сти

 2. Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным

Разложение вектора через два неколлинеарных

Рис. 3. Раз­ло­же­ние век­то­ра через два некол­ли­не­ар­ных

Дан­ный факт легко до­ка­зы­ва­ет­ся. Пусть . Из точки С про­во­дим пря­мую CB, па­рал­лель­но век­то­ру . По­лу­ча­ем век­тор , кол­ли­не­ар­ный век­то­ру . Ана­ло­гич­но из точки С про­во­дим пря­мую CА, па­рал­лель­но век­то­ру . По­лу­ча­ем век­тор , кол­ли­не­ар­ный век­то­ру . Это озна­ча­ет, что су­ще­ству­ют такие два числа х и у, при­чем един­ствен­ные, что:

На­пом­ним, что кол­ли­не­ар­ны­ми на­зы­ва­ют­ся век­то­ры, при­над­ле­жа­щие одной и той же или па­рал­лель­ным пря­мым.

 3. Теорема о компланарных векторах, сложение векторов в пространстве

Если век­тор  можно пред­ста­вить в виде , где х и у – кон­крет­ные числа, то век­то­ра  и  ком­пла­нар­ны.

Сложение векторов в пространстве

Рис. 4. Сло­же­ние век­то­ров в про­стран­стве

Рас­смот­рим три век­то­ра  и  в про­стран­стве. На плос­ко­сти мы стро­и­ли па­рал­ле­ло­грамм на двух за­дан­ных век­то­рах. В про­стран­стве же мы можем по­стро­ить па­рал­ле­ле­пи­пед на трех за­дан­ных век­то­рах. Най­дем сумму этих век­то­ров (рис. 4).

Из точки К от­кла­ды­ва­ем за­дан­ные век­то­ры. До­стра­и­ва­ем па­рал­ле­ле­пи­пед. Сум­мой трех за­дан­ных век­то­ров будет диа­го­наль па­рал­ле­ле­пи­пе­да: 

Дан­ный факт легко до­ка­зать с по­мо­щью пра­ви­ла мно­го­уголь­ни­ка. Со­глас­но свой­ствам па­рал­ле­ле­пи­пе­да, имеем пары рав­ных век­то­ров: . Так, по­лу­ча­ем: , ч.т.д.

Если за­да­ны три неком­пла­нар­ных век­то­ра, то мы можем раз­ло­жить любой за­дан­ный чет­вер­тый век­тор через три за­дан­ных. На­при­мер, за­да­ны неком­пла­нар­ные век­то­ры  и . Тогда любой век­тор  можно пред­ста­вить в виде суммы: , где х, у и z – кон­крет­ные числа, при­чем для за­дан­но­го век­то­ра един­ствен­ные. Эти числа на­зы­ва­ют­ся ко­эф­фи­ци­ен­та­ми раз­ло­же­ния.

 4. Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам

Любой век­тор в про­стран­стве можно раз­ло­жить по трем за­дан­ным неком­пла­нар­ным век­то­рам, при­чем ко­эф­фи­ци­ен­ты раз­ло­же­ния опре­де­ля­ют­ся един­ствен­ным об­ра­зом.

До­ка­за­тель­ство.

Разложение вектора по трем некомпланарным

Рис. 5. Раз­ло­же­ние век­то­ра по трем неком­пла­нар­ным

Дано: неком­пла­нар­ные век­то­ры  и , про­из­воль­ный век­тор .

По­стро­им все за­дан­ные век­то­ры из одной точки – точки О (рис. 5). Рас­смот­рим плос­кость, об­ра­зо­ван­ную век­то­ра­ми  и . Из точки Р про­ве­дем пря­мую , па­рал­лель­но на­прав­ле­нию  – точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти и пря­мой. Век­то­ры  и  по по­стро­е­нию кол­ли­не­ар­ны, зна­чит имеем: . Те­перь, со­глас­но пра­ви­лу тре­уголь­ни­ка, имеем: . Век­тор  мы нашли. Век­тор  , со­глас­но по­стро­е­нию, лежит в плос­ко­сти век­то­ров  и , зна­чит, со­глас­но тео­ре­ме, рас­смот­рен­ной выше, о раз­ло­же­нии век­то­ра через два некол­ли­не­ар­ных имеем: .

Так, по­лу­че­но раз­ло­же­ние про­из­воль­но­го век­то­ра в про­стран­стве через три  неком­пла­нар­ных век­то­ра: 

До­ка­жем, что такое раз­ло­же­ние един­ствен­но. Ис­поль­зу­ем метод от про­тив­но­го. Пред­по­ло­жим, что есть еще трой­ка чисел (), с по­мо­щью ко­то­рой можно за­дан­ный век­тор раз­ло­жить по трем неком­пла­нар­ным. . Имеем си­сте­му:

Вы­чтем из пер­во­го урав­не­ния вто­рое:

По­лу­чить ну­ле­вой век­тор из трех неком­пла­нар­ных нену­ле­вых век­то­ров путем их сло­же­ния можно толь­ко в слу­чае, когда: .

Так, до­ка­за­но, что воз­мож­но един­ствен­ное раз­ло­же­ние век­то­ра по трем неком­пла­нар­ным.

Итак, мы рас­смот­ре­ли по­ня­тие ком­пла­нар­но­сти век­то­ров, до­ка­за­ли тео­ре­мы о раз­ло­же­нии век­то­ров на плос­ко­сти и в про­стран­стве, рас­смот­ре­ли сумму век­то­ров в про­стран­стве.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/komplanarnye-vektory

http://www.youtube.com/watch?v=Z5XhBZC4pZw

http://www.mathprofi.ru/vektory_dlya_chainikov.html

http://dok.opredelim.com/docs/index-1592.html

http://www.всёдляшкол.рф/SREDN_SKOOL/MATEM/N110/images/geom_10_13.jpg

http://www.otbet.ru/book/class-10/geometria/uchebnik-glazkov-yu-a-testy-po-geometrii/

http://www.cleverstudents.ru/vectors/operations_on_vectors.html

Файлы