Дифракция света.

Дифракция света.

Комментарии преподавателя

Геометрическая оптика

До тех пор, пока мы на­хо­ди­лись в рам­ках гео­мет­ри­че­ской оп­ти­ки, наши во­про­сы сво­ди­лись к сле­ду­ю­ще­му: есть неко­то­рый ис­точ­ник света или си­сте­ма ис­точ­ни­ков, есть про­зрач­ная и од­но­род­ная среда, в ко­то­рой при­сут­ству­ют ка­кие-то пред­ме­ты, а также могут при­сут­ство­вать гра­ни­цы раз­де­ла про­зрач­ных сред. Как в этом слу­чае опи­сать формы осве­щен­ных и неосве­щен­ных об­ла­стей, воз­ни­ка­ю­щих на по­верх­но­стях тех или иных пред­ме­тов? Проще го­во­ря: по­па­да­ет или не по­па­да­ет свет в ка­кие-то об­ла­сти про­стран­ства?

Для ре­ше­ния таких задач нам было до­ста­точ­но всего три за­ко­на. Пря­мо­ли­ней­но­го рас­про­стра­не­ния, от­ра­же­ния и пре­лом­ле­ния. Но затем мы столк­ну­лись с рядом си­ту­а­ций, в ко­то­рых дан­ные за­ко­ны нам уже не по­мо­га­ли по­лу­чить ответ на во­прос за­да­чи. Тогда при­ш­лось при­бег­нуть к пред­став­ле­ни­ям о вол­но­вой при­ро­де света, и мы до­пол­ни­ли три ука­зан­ных за­ко­на прин­ци­пом Гюй­ген­са, ко­то­рый поз­во­лял стро­ить вол­но­вые по­верх­но­сти со­вер­шен­но в  раз­лич­ных слу­ча­ях.

Со­по­ста­вим прин­цип Гюй­ген­са с ре­зуль­та­та­ми ин­тер­фе­рен­ци­он­ных опы­тов. С одной сто­ро­ны, мы го­во­ри­ли, что для на­блю­де­ния ин­тер­фе­рен­ци­он­ной кар­ти­ны необ­хо­ди­мо, чтобы ин­тер­фе­ри­ру­ю­щие волны и ис­точ­ни­ки этих волн, были ко­ге­рент­ны­ми. С дру­гой сто­ро­ны, прин­цип Гюй­ген­са го­во­рит, что любая точка вол­но­во­го фрон­та яв­ля­ет­ся ис­точ­ни­ком вто­рич­ных волн. Со­вер­шен­но оче­вид­но, что такие ис­точ­ни­ки вто­рич­ных волн долж­ны быть ко­ге­рент­ны­ми, по­сколь­ку они яв­ля­ют­ся ча­стью од­но­го и того же вол­но­во­го фрон­та. А это зна­чит, что из­лу­чен­ные вто­рич­ные волны долж­ны ин­тер­фе­ри­ро­вать между собой.

Идея об ин­тер­фе­рен­ции вто­рич­ных волн была вы­ска­за­на Фре­не­лем (Рис. 2) в 1819 году. В ответ на это Си­ме­он Пуас­сон (Рис. 1) об­ра­тил вни­ма­ние Фре­не­ля на то, что если сле­до­вать такой ло­ги­ке, то можно прий­ти к аб­сурд­ным вы­во­дам.

Рис. 1. Си­ме­он Дени Пуас­сон (1781–1840)

Рис. 2. Жан Огю­стен Фре­нель (1788–1827)

На­при­мер, если на­пра­вить свет на непро­зрач­ный диск, то в ре­зуль­та­те ин­тер­фе­рен­ции вто­рич­ных волн, из­лу­ча­е­мых вб­ли­зи гра­ниц диска, в цен­тре гео­мет­ри­че­ской тени, может об­ра­зо­вать­ся свет­лое пятно (Рис. 3).

Рис. 3. Опыт Араго

Дей­стви­тель­но, такая си­ту­а­ция пол­но­стью про­ти­во­ре­чит на­ше­му жиз­нен­но­му опыту. Од­на­ко впо­след­ствии Фран­с­уа Араго про­де­лал по­доб­ный опыт и по­лу­чил в цен­тре тени свет­лое пятно. С тех пор это яв­ле­ние на­зы­ва­ют пятно Пуас­со­на.

Принцип Гюйгенса – Френеля

Вол­но­вая тео­рия света окон­ча­тель­но за­кре­пи­лась. Как след­ствие, Фре­нель несколь­ко пе­ре­фор­му­ли­ро­вал прин­цип Гюй­ген­са. И от­ныне мы будем го­во­рить о прин­ци­пе Гюй­ген­са – Фре­не­ля, ко­то­рый гла­сит:

Каж­дая точка вол­но­во­го фрон­та есть ис­точ­ник вто­рич­ных сфе­ри­че­ских волн, а ре­зуль­ти­ру­ю­щая све­то­вая волна в каж­дой точке про­стран­ства будет опре­де­лять­ся ин­тер­фе­рен­ци­ей этих вто­рич­ных волн.

От­ныне мы можем не про­сто ри­со­вать вол­но­вые по­верх­но­сти, как оги­ба­ю­щие все вто­рич­ные волны, но и ре­шать те за­да­чи, о ко­то­рых мы го­во­ри­ли в гео­мет­ри­че­ской оп­ти­ке. Как вы пом­ни­те из преды­ду­щих тем, ди­фрак­ция – это яв­ле­ние, ко­то­рое при­су­ще лю­бо­му вол­но­во­му про­цес­су, за­клю­ча­ет­ся оно в том, что волны от­кло­ня­ют­ся от пря­мо­ли­ней­но­го рас­про­стра­не­ния и оги­ба­ют пре­пят­ствия, встре­ча­ю­щи­е­ся у них на пути. Све­то­вые волны не яв­ля­ют­ся ис­клю­че­ни­ем (пятно Пуас­со­на).

Опыт Юнга

Еще одним клас­си­че­ским опы­том, в ко­то­ром можно на­блю­дать ди­фрак­цию света, яв­ля­ет­ся опыт Юнга. В непро­зрач­ной ширме бу­лав­кой про­ко­ло­то два от­вер­стия , на неболь­шом рас­сто­я­нии друг от друга. Эти от­вер­стия осве­ща­ют­ся узким све­то­вым пуч­ком, про­шед­шим через малое от­вер­стие , в дру­гой ширме. Ин­тер­фе­ри­ру­ют толь­ко ко­ге­рент­ные волны. Воз­ник­шая в со­от­вет­ствии с прин­ци­пом Гюй­ген­са – Фре­не­ля волна, ко­то­рая про­шла через от­вер­стие , воз­буж­да­ла в от­вер­сти­ях , ко­ге­рент­ные вто­рич­ные волны. Из этих от­вер­стий вы­хо­ди­ли два све­то­вых ко­ну­са, ча­стич­но пе­ре­кры­вав­ши­е­ся в об­ла­сти между щелью и экра­ном. В ре­зуль­та­те ин­тер­фе­рен­ции волн на экране по­яв­ля­лись че­ре­ду­ю­щи­е­ся свет­лые и тем­ные по­ло­сы, ко­то­рые ис­че­за­ли при за­кры­тии от­вер­стия  или (Рис. 4).

Рис. 4. Опыт Юнга

Мы будем рас­смат­ри­вать ди­фрак­цию на более про­стых при­ме­рах, в ко­то­рых речь будет идти о вол­нах с плос­ки­ми вол­но­вы­ми фрон­та­ми. Такой тип ди­фрак­ции на­зы­ва­ет­ся ди­фрак­ци­ей Фра­ун­го­фе­ра, в от­ли­чие от ди­фрак­ции Фре­не­ля, где речь идет о сфе­ри­че­ских вол­но­вых фрон­тах.

Падение плоской монохроматической волны на щель

Рас­смот­рим па­де­ние плос­кой мо­но­хро­ма­ти­че­ской волны на узкую щель. Пусть свет па­да­ет пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти, в ко­то­рой вы­ре­за­на щель. Пусть на­прав­ле­ние пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ри­сун­ка щель имеет бес­ко­неч­ные раз­ме­ры, как и вол­но­вой фронт па­да­ю­щей волны. Ясно, что через щель прой­дет толь­ко уча­сток ис­ход­но­го вол­но­во­го фрон­та и все точки вол­но­во­го участ­ка будут из­лу­чать вто­рич­ные волны в раз­лич­ных на­прав­ле­ни­ях. Таким об­ра­зом, свет после про­хож­де­ния щели будет рас­про­стра­нять­ся не толь­ко в пер­во­на­чаль­ном на­прав­ле­нии, но и под всеми уг­ла­ми от 0 до 90 гра­ду­сов к этому на­прав­ле­нию (Рис. 5).

Рис. 5. Па­де­ние плос­кой мо­но­хро­ма­ти­че­ской волны на щель

Рас­смот­рим два луча, со­от­вет­ству­ю­щие вол­нам, из­лу­чен­ным двумя точ­ка­ми ис­ход­но­го вол­но­во­го фрон­та, под углом к пер­во­на­чаль­но­му на­прав­ле­нию (Рис. 6).

Рис. 6. Па­де­ние плос­кой мо­но­хро­ма­ти­че­ской волны на щель

Видно, что оба луча про­хо­дят до пе­ре­се­че­ния с экра­ном раз­ные пути. А мы знаем, что волны, со­от­вет­ству­ю­щие этим двум лучам, будут иметь неко­то­рую раз­ность фазы. В за­ви­си­мо­сти от этой раз­но­сти в об­ла­сти экра­на, где эти волны па­да­ют на него, будет либо свет­лая, либо тем­ная по­ло­са. Как итог, на экране будет об­ра­зо­вы­вать­ся кар­ти­на че­ре­ду­ю­щих­ся свет­лых и тем­ных полос. В цен­тре, то есть на­про­тив се­ре­ди­ны щели, будет самая яркая по­ло­са, на­зы­ва­е­мая цен­траль­ной, яр­кость осталь­ных резко умень­ша­ет­ся по мере их уда­ле­ния от нее.

Если к име­ю­щей­ся узкой щели до­ба­вить такую же, рас­по­ло­жен­ную на очень малом рас­сто­я­нии от пер­вой, то есть со­здать си­сте­му из опыта Юнга, то бла­го­да­ря до­пол­ни­тель­ной ин­тер­фе­рен­ции волн от двух щелей свет­лые по­ло­сы рас­ще­пят­ся на ряд более узких полос. Осо­бен­но это будет за­мет­но по цен­траль­ной, яркой, по­ло­се. Если до­бав­лять еще щели, то рас­щеп­лен­ные по­ло­сы ста­нут еще более ярко вы­ра­жен­ны­ми (Рис. 7).

Рис. 7. Па­де­ние волны на мно­же­ствен­ные узкие щели

Таким спо­со­бом мы при­хо­дим к идее устрой­ства очень важ­но­го фи­зи­че­ско­го при­бо­ра, так на­зы­ва­е­мой ди­фрак­ци­он­ной ре­шет­ки.

Дифракционная решетка

Тео­рия ди­фрак­ци­он­ной ре­шет­ки

Если ши­ри­на про­зрач­ных щелей равна , а непро­зрач­ных – , то ве­ли­чи­на их суммы на­зы­ва­ет­ся пе­ри­о­дом ди­фрак­ци­он­ной ре­шет­ки (). Обыч­но пе­ри­од ди­фрак­ци­он­ной ре­шет­ки – по­ряд­ка 10 мкм. Пусть на ре­шет­ку па­да­ет плос­кая мо­но­хро­ма­ти­че­ская волна с дли­ной , вто­рич­ные ис­точ­ни­ки, рас­по­ло­жен­ные в щелях, со­зда­ют све­то­вые волны, рас­про­стра­ня­ю­щи­е­ся по всем на­прав­ле­ни­ям. Рас­смот­рим усло­вия, при ко­то­рых иду­щие от щелей волны уси­ли­ва­ют друг друга. Рас­смот­рим волны, рас­про­стра­ня­ю­щи­е­ся под углом . Раз­ность хода от краев щели равна длине от­рез­ка , если на этом от­рез­ке укла­ды­ва­ет­ся целое число волн, то волны от всех щелей, скла­ды­ва­ясь, будут уси­ли­вать­ся. Из тре­уголь­ни­ка  можно найти длину ка­те­та . Он равен ,. Со­от­вет­ствен­но, мак­си­мум будет на­блю­дать­ся под углом , как дано в усло­вии (Рис. 8).

Рис. 8. Ди­фрак­ци­он­ная ре­шет­ка

Пе­ри­од ре­шет­ки, умно­жен­ный на синус угла, будет равен це­ло­му числу длин волн. За ре­шет­кой по­ме­ща­ют со­би­ра­ю­щую линзу, а за ней экран на фо­кус­ном рас­сто­я­нии от линзы. Линза фо­ку­си­ру­ет лучи, иду­щие па­рал­лель­но, в одну точку, в этой точке про­ис­хо­дит сло­же­ние волн и их вза­им­ное уси­ле­ние. Углы, удо­вле­тво­ря­ю­щие усло­вию мак­си­му­ма, опре­де­ля­ют по­ло­же­ние глав­ных мак­си­му­мов на экране. Так как по­ло­же­ние мак­си­му­мов за­ви­сит от длины волны, то ре­шет­ка раз­ла­га­ет белый свет в спектр (Рис. 9).

Рис. 9. Раз­ло­же­ние света на спектр

При этом чем боль­ше длин­на волны, тем даль­ше от цен­траль­но­го мак­си­му­ма рас­по­ла­га­ет­ся тот или иной мак­си­мум, со­от­вет­ству­ю­щий каж­дой длине волны. При этом каж­до­му зна­че­нию со­от­вет­ству­ет свой по­ря­док спек­тра. Между мак­си­му­ма­ми рас­по­ло­же­ны ми­ни­му­мы осве­щен­но­сти. Чем боль­ше число щелей, тем более резко очер­че­ны мак­си­му­мы и тем более ши­ро­ки­ми ми­ни­му­ма­ми они раз­де­ле­ны.

Све­то­вая энер­гия, па­да­ю­щая на ре­шет­ку, пе­ре­рас­пре­де­ля­ет­ся так, что боль­шая часть при­хо­дит­ся на мак­си­му­мы, а в об­ла­сти ми­ни­му­мов по­па­да­ет со­вер­шен­но незна­чи­тель­ная доля энер­гии.

С по­мо­щью ди­фрак­ци­он­ной ре­шет­ки можно про­из­во­дить до­воль­но точ­ные из­ме­ре­ния зна­че­ний длин волн. Для этого до­ста­точ­но на­учить­ся из­ме­рять углы, со­от­вет­ству­ю­щие тем или иным мак­си­му­мам осве­щен­но­сти на экране, в этом и со­сто­ит суть спек­траль­но­го ана­ли­за.

Спек­траль­ный ана­лиз – это ана­лиз со­ста­ва, па­да­ю­ще­го на ре­шет­ку света.

Ди­фрак­ци­он­ная ре­шет­ка пред­став­ля­ет собой со­во­куп­ность боль­шо­го числа очень узких щелей, раз­де­лен­ных непро­зрач­ным про­ме­жут­ка­ми. Хо­ро­шую ре­шет­ку из­го­тав­ли­ва­ют с по­мо­щью спе­ци­аль­ной де­ли­тель­ной ма­ши­ны, на­но­ся­щей на стек­лян­ную пла­сти­ну па­рал­лель­ные штри­хи. Число штри­хов может до­хо­дить до несколь­ких тысяч на 1 мм. Общее число штри­хов пре­вы­ша­ет сто тысяч.

Про­сты в из­го­тов­ле­нии же­ла­ти­но­вые от­пе­чат­ки с такой ре­шет­ки, за­жа­тые между двумя стек­лян­ны­ми пла­сти­на­ми. Наи­луч­ши­ми ка­че­ства­ми об­ла­да­ют так на­зы­ва­е­мые от­ра­жа­тель­ные ре­шет­ки (Рис. 10).

Рис. 10. От­ра­жа­тель­ные ди­фрак­ци­он­ные ре­шет­ки

Они пред­став­ля­ют собой че­ре­ду­ю­щи­е­ся участ­ки от­ра­жа­ю­щие свет и рас­се­ва­ю­щие его. Рас­се­ва­ю­щие свет лучи на­но­сят­ся рез­цом на от­шли­фо­ван­ную ме­тал­ли­че­скую пла­сти­ну.

Ос­нов­ное при­ме­не­ние ди­фрак­ци­он­ных ре­ше­ток – это спек­траль­ный ана­лиз. Бла­го­да­ря зна­ни­ям о ди­фрак­ции мы можем де­лать вы­во­ды о гра­ни­цах при­ме­ни­мо­сти тех или иных оп­ти­че­ских при­бо­ров. Рас­смот­рим это на при­ме­ре линзы.

Граница применимости линзы

Спо­соб­ность линзы со­зда­вать раз­ли­чи­мые изоб­ра­же­ния двух очень близ­ко рас­по­ло­жен­ных друг к другу то­чеч­ных пред­ме­тов на­зы­ва­ет­ся раз­ре­ша­ю­щей спо­соб­но­стью линзы или раз­ре­ша­ю­щей силой линзы.

Чем ближе на­хо­дят­ся друг к другу два то­чеч­ных изоб­ра­же­ния, при этом оста­ва­ясь раз­ли­чи­мы­ми, тем выше раз­ре­ша­ю­щая спо­соб­ность линзы.

Вам уже зна­ко­мо яв­ле­ние абер­ра­ции – это яв­ле­ние пор­тит ка­че­ство изоб­ра­же­ния, со­зда­ва­е­мое лин­зой. Но кроме этого яв­ле­ния кар­ти­ну так же пор­тит уже опи­сан­ная нами ди­фрак­ция.

У линзы есть края, со­от­вет­ствен­но, линза дей­ству­ет по­доб­но щели, рас­смот­рен­ной в преды­ду­щем при­ме­ре. На самом деле, когда мы со­зда­ем с по­мо­щью линзы изоб­ра­же­ние ка­ко­го-ли­бо то­чеч­но­го объ­ек­та, со­зда­ет­ся ди­фрак­ци­он­ная кар­ти­на, и это изоб­ра­же­ние ока­зы­ва­ет­ся раз­мы­тым, даже если абер­ра­ции пол­но­стью устра­не­ны.

Когда два то­чеч­ных объ­ек­та на­хо­дят­ся очень близ­ко друг от друга, ди­фрак­ци­он­ные кар­ти­ны их изоб­ра­же­ний пе­ре­кры­ва­ют­ся (Рис. 11).

Рис. 11. Пе­ре­кры­тие ди­фрак­ци­он­ных кар­тин

Если объ­ек­ты сбли­зят­ся еще боль­ше, то на­сту­па­ет мо­мент, когда уже нель­зя опре­де­лить, ви­ди­те ли вы два пе­ре­кры­ва­ю­щих­ся изоб­ра­же­ния или един­ствен­ное изоб­ра­же­ние.

Критерий Релея

Кри­те­рий Релея: два изоб­ра­же­ния на­хо­дят­ся на по­ро­ге раз­ре­ше­ния, когда центр ди­фрак­ци­он­но­го диска од­но­го из них сов­па­да­ет с пер­вым ми­ни­му­мом на ди­фрак­ци­он­ной кар­тине дру­го­го.

Рас­че­ты по­ка­зы­ва­ют, что два объ­ек­та можно счи­тать зна­чи­мы­ми, если уг­ло­вое рас­сто­я­ние между ними равно 1,22, умно­жен­ное на длину волны и де­лен­ное на диа­метр линзы.

 (ди­фрак­ци­он­ный пре­дел)

Этот пре­дел обу­слов­лен ди­фрак­ци­ей и на­ло­жен на раз­ре­ша­ю­щую спо­соб­ность линзы вол­но­вой при­ро­дой света.

Ре­ше­ние задач на тему «Ди­фрак­ци­он­ная ре­шет­ка»

За­да­ча № 1

Дано: спектр по­лу­чен с по­мо­щью ди­фрак­ци­он­ной ре­шет­ки с пе­ри­о­дом 22 мкм, ди­фрак­ци­он­ный мак­си­мум вто­ро­го по­ряд­ка на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 5 см от цен­траль­но­го мак­си­му­ма и на рас­сто­я­нии 1 м от ре­шет­ки. Опре­де­ли­те длину све­то­вой волны.

Ре­ше­ние: обо­зна­чим рас­сто­я­ние до ре­шет­ки , луч, со­от­вет­ству­ю­щий мак­си­му­му вто­ро­го по­ряд­ка, от­кло­ня­ет­ся после про­хож­де­ния через ре­шет­ку на неко­то­рый угол . Точка па­де­ния этого луча на экран от­сто­ит от точки пе­ре­се­че­ния пер­пен­ди­ку­ля­ра на неко­то­рое рас­сто­я­ние l (Рис. 12).

Рис. 12. Ил­лю­стра­ция к за­да­че № 1

Для того чтобы опре­де­лить длину волны, нам необ­хо­ди­мо вос­поль­зо­вать­ся углом мак­си­му­ма для вто­ро­го по­ряд­ка.

Оста­лось опре­де­лить синус угла, из ри­сун­ка видно, что . Под­ста­вим зна­че­ние и по­лу­чим, что угол стре­мит­ся к 0, а мы знаем, что для малых углов вы­пол­ня­ет­ся усло­вие, что синус при­бли­жен­но равен тан­ген­су. Тогда по­лу­ча­ем ра­бо­чую фор­му­лу:

Под­ста­вив зна­че­ния, пред­ва­ри­тель­но пе­ре­ве­ден­ные в си­сте­му си, по­лу­ча­ем, что

Ответ: 500 нм.

 

Использованные источники:

  • https://www.youtube.com/watch?v=8l3roGxbZUc
  • https://www.youtube.com/watch?v=pnGk6yNkEn4
  • https://www.youtube.com/watch?v=xdxiDxkwUgg
  • https://www.youtube.com/watch?v=SV3nlDWJBIs

Файлы

Нет дополнительных материалов для этого занятия.