Первое начало (закон) термодинамики.

Первое начало (закон) термодинамики.

Комментарии преподавателя

Первый закон термодинамики

Внут­рен­нюю энер­гию си­сте­мы можно со­вер­шить двумя спо­со­ба­ми: со­вер­шить над си­сте­мой ра­бо­ту и/или пе­ре­дать си­сте­ме неко­то­рое ко­ли­че­ство теп­ло­ты.

Это утвер­жде­ние, толь­ко вы­ра­жен­ное в стро­гой ма­те­ма­ти­че­ской фор­му­ле, и по­лу­чи­ло на­зва­ние пер­во­го за­ко­на тер­мо­ди­на­ми­ки. Ино­гда встре­ча­ют­ся опре­де­ле­ния «пер­вое на­ча­ло тер­мо­ди­на­ми­ки».

Из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии си­сте­мы равно раз­но­сти между ко­ли­че­ством теп­ло­ты, под­ве­ден­ным к си­сте­ме, и ра­бо­той, со­вер­шен­ной си­сте­мой:

В этой фор­му­ле А – ра­бо­та, со­вер­шен­ная си­сте­мой, Q – ко­ли­че­ство теп­ло­ты, пе­ре­дан­ной си­сте­ме от внеш­них тел, а  – это из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии.

Пер­вое на­ча­ло тер­мо­ди­на­ми­ки было сфор­му­ли­ро­ва­но за­дол­го до того, как в науке укре­пи­лось по­ня­тие мо­ле­кул, т. е. еще не была из­вест­на мо­ле­ку­ляр­но-ки­не­ти­че­ская тео­рия. По­это­му пер­вый закон тер­мо­ди­на­ми­ки часто носит на­зва­ние фе­но­ме­но­ло­ги­че­ско­го, т. е. та­ко­го, ко­то­рый от­но­сит­ся к тому или иному яв­ле­нию.

По боль­шо­му счету можно ска­зать, что пер­вый закон тер­мо­ди­на­ми­ки яв­ля­ет­ся рас­ши­ре­ни­ем и уточ­не­ни­ем за­ко­на со­хра­не­ния энер­гии.

Обсуждение первого закона термодинамики

Те­перь на­ста­ло время пе­рей­ти к об­суж­де­нию этого за­ко­на, по­нять, а как же он может быть по­ле­зен для нас, кроме как при ре­ше­нии задач, для этого от­дель­но по­го­во­рим про каж­дое сла­га­е­мое, вхо­дя­щее в фор­му­лу: внут­рен­няя энер­гия, точ­нее, ее из­ме­не­ние, ра­бо­та и ко­ли­че­ство теп­ло­ты.

Нечем с внут­рен­ней энер­гии. В даль­ней­шем, если это особо не ого­во­ре­но, в ка­че­стве тер­мо­ди­на­ми­че­ской си­сте­мы будем рас­смат­ри­вать иде­аль­ный газ в ка­ком-ли­бо со­су­де. Внут­рен­няя энер­гия си­сте­мы за­ви­сит толь­ко от ее со­сто­я­ния, т. е. от ве­ли­чин дав­ле­ния, объ­е­ма и тем­пе­ра­ту­ры:

А из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии будет опре­де­лять­ся толь­ко на­чаль­ным и ко­неч­ным со­сто­я­ни­ем и не будет за­ви­сеть от того, каким об­ра­зом си­сте­ма пе­ре­ш­ла из од­но­го со­сто­я­ния в дру­гое:

Вспо­ми­на­ем, что в иде­аль­ном газе мы пре­не­бре­га­ем вза­и­мо­дей­стви­ем между мо­ле­ку­ла­ми, т. е. внут­рен­няя энер­гия опре­де­ля­ет­ся толь­ко сум­мой ки­не­ти­че­ских энер­гий каж­дой из мо­ле­кул. Да­вай­те вспом­ним, что сред­няя ки­не­ти­че­ская энер­гия дви­же­ния мо­ле­кул опре­де­ля­ет­ся толь­ко тем­пе­ра­ту­рой. Тогда можем смело за­пи­сать вы­ра­же­ние для внут­рен­ней энер­гии:

,

где v – ко­ли­че­ство ве­ще­ства, R – уни­вер­саль­ная га­зо­вая по­сто­ян­ная, T – тем­пе­ра­ту­ра, i – число сте­пе­ней сво­бо­ды мо­ле­кул газа.

Число сте­пе­ней сво­бо­ды

Что такое сте­пе­ни сво­бо­ды? Сна­ча­ла про­мо­де­ли­ру­ем мо­ле­ку­лу ма­те­ри­аль­ной точ­кой, и рас­смот­рим дви­же­ние такой ма­те­ри­аль­ной точки в трех­мер­ном про­стран­стве. Фак­ти­че­ски, во­прос фор­му­ли­ру­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: что будет пред­став­лять из себя ре­ше­ние глав­ной за­да­чи ме­ха­ни­ки для та­ко­го дви­же­ния? Ответ мы хо­ро­шо пом­ним: ре­ше­ние будет пред­став­лять собой три урав­не­ния:

Урав­не­ния вы­ра­жа­ют за­ви­си­мо­сти от вре­ме­ни t де­кар­то­вых ко­ор­ди­нат точки (см. рис. 1). Таким об­ра­зом, для пол­но­цен­но­го опи­са­ния дви­же­ния ма­те­ри­аль­ной точки до­ста­точ­но трех неза­ви­си­мых ве­ли­чин, ко­ор­ди­нат.

Рис. 1. Де­кар­то­вы ко­ор­ди­на­ты точки

А те­перь рас­смот­рим более слож­ную си­сте­му. Рас­смот­рим два шара, со­еди­нен­ных между собой свя­зью по типу ган­те­ли. Будет ли до­ста­точ­но трех ко­ор­ди­нат для опи­са­ния дви­же­ния такой ган­те­ли? Ока­зы­ва­ет­ся, нет. По­че­му? Как видим из ил­лю­стра­ции (см. рис. 2), тело может не толь­ко дви­гать­ся по­сту­па­тель­но вдоль любой из трех осей, но и может со­вер­шать два неза­ви­си­мых вра­ща­тель­ных дви­же­ния. Есте­ствен­но, что вра­ще­ни­ем вдоль оси си­сте­мы можно пре­не­бречь, по­сколь­ку ки­не­ти­че­ская энер­гия та­ко­го вра­ще­ния на­мно­го мень­ше, чем для двух осталь­ных вра­ща­тель­ных дви­же­ний.

Рис. 2. Дви­же­ние тела (двух жест­ко свя­зан­ных точек) в си­сте­ме ко­ор­ди­нат

Т. е. пол­но­цен­ное опи­са­ние дви­же­ния такой си­сте­мы по­тре­бу­ет уже не трех, как в слу­чае с ма­те­ри­аль­ной точ­кой, а пяти ко­ор­ди­нат:

Если же тело со­сто­ит из трех или более жест­ко свя­зан­ных ма­те­ри­аль­ных точек, не ле­жа­щих на одной пря­мой, то, как видим из ил­лю­стра­ции (см. рис. 3), оно может со­вер­шать три неза­ви­си­мых по­сту­па­тель­ных и три неза­ви­си­мых вра­ща­тель­ных дви­же­ния.

Рис. 3. Дви­же­ние тела (двух жест­ко свя­зан­ных точек) в си­сте­ме ко­ор­ди­нат

В этом слу­чае нужно шесть неза­ви­си­мых ко­ор­ди­нат:

Неза­ви­си­мые ко­ор­ди­на­ты, необ­хо­ди­мые для опи­са­ния дви­же­ния тела, как раз и по­лу­чи­ли на­зва­ние сте­пе­ней сво­бо­ды. При­ме­ни­тель­но к опи­са­нию дви­же­ния мо­ле­кул можно сфор­му­ли­ро­вать такое утвер­жде­ние: если мо­ле­ку­ла со­сто­ит из од­но­го атома, то число ее сте­пе­ней сво­бо­ды равно трем, это как в слу­чае с ма­те­ри­аль­ной точ­кой. Двух­атом­ная мо­ле­ку­ла будет иметь пять сте­пе­ней сво­бо­ды, как в слу­чае с ган­те­лей. И на­ко­нец, трех­атом­ная мо­ле­ку­ла и мо­ле­ку­ла, со­сто­я­щая более чем из трех ато­мов, не ле­жа­щих на одной пря­мой, будет иметь шесть сте­пе­ней сво­бо­ды. Число сте­пе­ней сво­бо­ды мы будем обо­зна­чать бук­вой i. Таким об­ра­зом, внут­рен­няя энер­гия иде­аль­но­го газа, за­ви­сит от того из ка­ко­го ко­ли­че­ства ато­мов со­сто­ят его мо­ле­ку­лы. По­ня­тие сте­пе­ней сво­бо­ды сле­ду­ет учи­ты­вать, когда мы про­во­дим рас­чет внут­рен­ней энер­гии иде­аль­но­го газа: все­гда нужно уточ­нять, с каким газом мы имеем дело, с од­но­атом­ным, трех­атом­ным или более.


Таким об­ра­зом, мы можем ска­зать, что внут­рен­няя энер­гия иде­аль­но­го газа за­ви­сит толь­ко от тем­пе­ра­ту­ры.

Пе­ре­хо­дим к ве­ли­чине ра­бо­ты. Ра­бо­та, как и ко­ли­че­ство теп­ло­ты, вхо­дя­щее в левую часть урав­не­ния для пер­во­го за­ко­на тер­мо­ди­на­ми­ки, не яв­ля­ют­ся ха­рак­те­ри­сти­ка­ми со­сто­я­ния си­сте­мы, а за­ви­сят от про­цес­са пе­ре­хо­да, это ло­гич­но. На­при­мер, пе­ре­ход си­сте­мы из со­сто­я­ния один в со­сто­я­ние два (см. рис. 4) может осу­ществ­лять­ся раз­ны­ми спо­со­ба­ми, в част­но­сти по пути а или по пути b. При этом из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии будет одним и тем же для обоих про­цес­сов, а вот ра­бо­та и ко­ли­че­ство теп­ло­ты будут раз­ли­чать­ся:

Рис.4. Пе­ре­ход си­сте­мы из сто­я­ния 1 в сто­я­ние 2

Обо­зна­чим через  ра­бо­ту, вы­пол­ня­е­мую самой си­сте­мой, иде­аль­ным газом, про­тив внеш­них сил. На­при­мер, если газ рас­ши­ря­ет­ся, дви­гая пор­шень в со­су­де, то этот газ со­вер­ша­ет ра­бо­ту про­тив сил тя­же­сти порш­ня и про­тив сил ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния, дей­ству­ю­щих на пор­шень с внеш­ней сто­ро­ны (см. рис. 5).

Рис. 5. Дей­ствие внеш­них сил на пор­шень с иде­аль­ным газом

Со­вер­шен­но оче­вид­но, что в силу тре­тье­го за­ко­на Нью­то­на эта ра­бо­та будет равна ра­бо­те внеш­них сил, взя­той с об­рат­ным зна­ком:

Тогда урав­не­ние для пер­во­го за­ко­на тер­мо­ди­на­ми­ки можно пе­ре­пи­сать в виде:

Сло­вес­ная фор­му­ли­ров­ка этого вы­ра­же­ния будет зву­чать так: со­об­щен­ная си­сте­ме теп­ло­та идет на из­ме­не­ние ее внут­рен­ней энер­гии и на со­вер­ше­ние си­сте­мой ме­ха­ни­че­ской ра­бо­ты про­тив внеш­них сил.

Вывод

Те­перь видна и прак­ти­че­ская поль­за. Во­прос фор­му­ли­ру­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: можно ли со­здать такое устрой­ство, ко­то­рое при пе­ре­да­че ему неко­то­ро­го ко­ли­че­ства теп­ло­ты пре­вра­тит это ко­ли­че­ство теп­ло­ты в по­лез­ную ме­ха­ни­че­скую ра­бо­ту? Ответ из­ве­стен, такие устрой­ства су­ще­ству­ют, и на­зы­ва­ют­ся они теп­ло­вы­ми дви­га­те­ля­ми. Фак­ти­че­ски, перед нами стоит за­да­ча – как мак­си­маль­но эф­фек­тив­но пре­вра­тить ко­ли­че­ство теп­ло­ты, ко­то­рое мы пе­ре­да­ем та­ко­му теп­ло­во­му дви­га­те­лю, в ме­ха­ни­че­скую ра­бо­ту. Рас­смот­рим, как ре­шать ти­пич­ную за­да­чу на при­ме­не­ние пер­во­го за­ко­на тер­мо­ди­на­ми­ки.


Раз­бор за­да­чи

Рас­смот­рим за­да­чу, для ко­то­рой нам по­на­до­бит­ся пер­вый закон тер­мо­ди­на­ми­ки.

Усло­вие

Над иде­аль­ным од­но­атом­ным газом со­вер­ша­ет­ся про­цесс, по­ка­зан­ный на диа­грам­ме (см. рис.6). Из со­сто­я­ния  газ пе­ре­во­дит­ся в со­сто­я­ние . По­лу­чить вы­ра­же­ние для рас­че­та ра­бо­ты газа, из­ме­не­ния его внут­рен­ней энер­гии и ко­ли­че­ства теп­ло­ты по­лу­чен­ный газом.

Рис. 6. Про­цесс, со­вер­шен­ный над иде­аль­ным газом

Об­ра­ти­те вни­ма­ние: в про­цес­се ре­ше­ния за­да­чи мы по­лу­чим очень важ­ную фор­му­лу, фор­му­лу для ра­бо­ты ко­то­рый со­вер­ша­ет газ, ею мы будем поль­зо­вать­ся и в даль­ней­шем при рас­че­тах и когда будем рас­смат­ри­вать пер­вый закон тер­мо­ди­на­ми­ки в раз­лич­ных изо­про­цес­сах. Для на­ча­ла рас­смот­рим вспо­мо­га­тель­ную за­да­чу, будем счи­тать, что дав­ле­ние газа в про­цес­се пе­ре­хо­да не ме­ня­ет­ся, на­при­мер, газ на­хо­дил­ся под неза­креп­лен­ным порш­нем по­сто­ян­ной массы (см. рис. 7).

Рис. 7. Изоб­ра­же­ние порш­ня с на­хо­дя­щим­ся в нем газом

В это слу­чае ра­бо­та по опре­де­ле­нию будет рав­нять­ся ска­ляр­но­му про­из­ве­де­нию силы дав­ле­ния газа на пе­ре­ме­ще­ние порш­ня:

Сила и пе­ре­ме­ще­ние со­на­прав­ле­ны, зна­чит, ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние равно про­из­ве­де­нию мо­ду­лей, век­то­ров силы и пе­ре­ме­ще­ния. Сила дав­ле­ния газа есть про­из­ве­де­ние дав­ле­ния на пло­щадь порш­ня:

По ри­сун­ку 7 видно, что про­из­ве­де­ние пло­ща­ди порш­ня на мо­дуль его пе­ре­ме­ще­ния – это раз­ность объ­е­ма газа до и после пе­ре­ме­ще­ния порш­ня:

В итоге по­лу­ча­ем вы­ра­же­ние:

Об­ра­ти­те вни­ма­ние, что дан­ная фор­му­ла спра­вед­ли­ва для изо­бар­но­го рас­ши­ре­ния или сжа­тия газа, т. е. про­цес­са, про­ис­хо­дя­ще­го при по­сто­ян­ном дав­ле­нии, в общем слу­чае в таком виде она непри­ме­ни­ма. Из гра­фи­ка изо­ба­ры видно (см. рис. 8), что чис­лен­ное зна­че­ние ра­бо­ты сов­па­да­ет с пло­ща­дью под гра­фи­ком, по­ка­зан­ным на диа­грам­ме (см. рис. 8).

Рис. 8. Гра­фик изо­ба­ры

А что де­лать, если про­цесс про­ис­хо­дит при пе­ре­мен­ном дав­ле­нии? В этом слу­чае мы можем вос­поль­зо­вать­ся стан­дарт­ным ме­то­дом, ко­то­рым поль­зо­ва­лись и ранее. Итак, разо­бьем весь про­цесс на ма­лень­кие участ­ки, в пре­де­лах ко­то­рых дав­ле­ние можно счи­тать при­бли­жен­но неиз­мен­ным (см. рис. 9).

Рис. 9. Гра­фик про­цес­са

Для каж­до­го эле­мен­тар­но­го участ­ка, фор­му­ла для ра­бо­ты вполне при­ме­ни­ма. Затем сле­ду­ет сло­жить от­дель­ные эле­мен­тар­ные ра­бо­ты, и в итоге при­дем к за­клю­че­нию, что в слу­чае пе­ре­мен­но­го дав­ле­ния ра­бо­та по-преж­не­му будет чис­лен­но равна пло­ща­ди под гра­фи­ком на диа­грам­ме дав­ле­ние – объем (см. рис. 10).

Рис. 10. Диа­грам­ма дав­ле­ние – объем

Те­перь пе­ре­хо­дим к рас­че­там внут­рен­ней энер­гии и ко­ли­че­ства теп­ло­ты. Итак, внут­рен­няя энер­гия, как мы знаем, за­ви­сит толь­ко от со­сто­я­ния и не за­ви­сит от про­цес­са, по­это­му из­ме­не­ние ее будет равно:

Трой­ка со­от­вет­ству­ет ко­ли­че­ству сте­пе­ней сво­бо­ды од­но­атом­но­го газа, од­на­ко нам не из­вест­но зна­че­ние тем­пе­ра­ту­ры в на­чаль­ном и ко­неч­ном со­сто­я­ни­ях. Од­на­ко это не про­бле­ма, ведь мы знаем, как свя­за­ны между собой тем­пе­ра­ту­ра, дав­ле­ние и объем, в слу­чае иде­аль­но­го газа это урав­не­ние Мен­де­ле­е­ва – Кла­пей­ро­на. За­пи­шем его для вто­ро­го и пер­во­го со­сто­я­ния и по­лу­чим из­ме­не­ние внут­рен­ней энер­гии. Зная на­чаль­ные со­сто­я­ния объ­е­ма и дав­ле­ния, мы легко на­хо­дим, что:

Оста­лось по­лу­чить ко­ли­че­ство теп­ло­ты. Вот здесь мы как раз и вос­поль­зу­ем­ся пер­вым за­ко­ном тер­мо­ди­на­ми­ки: ко­ли­че­ство теп­ло­ты, по­лу­чен­ное газом, пошло на из­ме­не­ние его внут­рен­ней энер­гии и на со­вер­ше­ние ра­бо­ты. И внут­рен­нюю энер­гию, и ра­бо­ту мы уже по­счи­та­ли, тогда для ко­ли­че­ства теп­ло­ты можно за­пи­сать:

В прин­ци­пе, за­да­ча ре­ше­на, да, мы не по­лу­чи­ли ко­неч­ное чис­ло­вое зна­че­ние, но это не страш­но, так как более важ­ный ре­зуль­тат – это фор­му­ла для ра­бо­ты газа, на­пом­ним, в изо­бар­ном про­цес­се мы можем ее по­счи­тать так:

А в слу­чае если про­цесс не яв­лял­ся изо­бар­ным, то есть дав­ле­ние ме­ня­лось, мы можем на­хо­дить ра­бо­ту как пло­щадь под гра­фи­ком в ко­ор­ди­на­тах рV.

Кроме того, при ре­ше­нии за­да­чи мы вос­поль­зо­ва­лись пер­вым за­ко­ном тер­мо­ди­на­ми­ки, т. е. за­ко­ном, свя­зы­ва­ю­щим ко­ли­че­ство теп­ло­ты, ко­то­рое газ по­лу­ча­ет, из­ме­не­ние его внут­рен­ней энер­гии и ра­бо­ту этого газа.


 

Использованные источники: 

  • https://www.youtube.com/watch?v=OtbEpGuoyno
  • http://www.youtube.com/watch?v=T0MaMP3cqvI
  • http://www.youtube.com/watch?v=K93KeDsv2Co
  • http://www.youtube.com/watch?v=gwys7rQVC6M
     

Файлы

Нет дополнительных материалов для этого занятия.