9 класс. Алгебра. Геометрическая прогрессия.

9 класс. Алгебра. Геометрическая прогрессия.

Комментарии преподавателя

Посмотрев этот видеоурок, пользователи смогут получить представление о теме «Определение и свойства геометрической прогрессии, формула n-го члена». В ходе занятия учитель познакомит с понятием геометрической прогрессии, расскажет о ее свойствах. Кроме того, на уроке будет дана формула n-го члена и будет показано, как правильно применять ее на практике.

 

 

 

Тема: Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия

Урок: Опре­де­ле­ние и свой­ства гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, фор­му­ла n–го члена

 1. Тема урока, введение

На уроке да­ет­ся опре­де­ле­ние гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, вы­во­дит­ся фор­му­ла об­ще­го члена, ре­ша­ют­ся ти­по­вые за­да­чи.

 2. Определение геометрической прогрессии

Чис­ло­вую по­сле­до­ва­тель­ность, все члены ко­то­рой от­лич­ны от нуля и каж­дый член ко­то­рой, на­чи­ная со вто­ро­го, по­лу­ча­ет­ся из преды­ду­ще­го члена умно­же­ни­ем его на одно и то же число q, на­зы­ва­ют гео­мет­ри­че­ской про­грес­си­ей. При этом число q на­зы­ва­ют зна­ме­на­те­лем про­грес­сии.

Ма­те­ма­ти­че­ская за­пись.

гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия, ее члены , при этом:

Иная за­пись:, т.е. .

Рас­смот­рим при­ме­ры гео­мет­ри­че­ских про­грес­сий:

 здесь каж­дый сле­ду­ю­щий член по­лу­ча­ет­ся из преды­ду­ще­го умно­же­ни­ем на 2; по­лу­чен­ная по­сле­до­ва­тель­ность при этом воз­рас­та­ет (

2.  здесь каж­дый сле­ду­ю­щий член по­лу­ча­ет­ся из преды­ду­ще­го умно­же­ни­ем на ; по­лу­чен­ная по­сле­до­ва­тель­ность при этом убы­ва­ет (

 3. Формула общего члена

Те­перь вы­ве­дем фор­му­лу n–го члена гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии.

Рас­смот­рим гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию , при этом

.

Тогда,

. . . . . . . . . . .

n=1,2,3,…

До­ка­жем по­лу­чен­ную фор­му­лу ме­то­дом пол­ной ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции.

Дано:гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия,

.

До­ка­зать:.

До­ка­за­тель­ство.

1. Про­ве­рим спра­вед­ли­вость фор­му­лы дляn =1: 

2. Пред­по­ло­жим, что фор­му­ла спра­вед­ли­ва для n=k

3. До­ка­жем, что из спра­вед­ли­во­сти фор­му­лы для n=k сле­ду­ет спра­вед­ли­вость фор­му­лы для n=k+1: 

Вывод:  фор­му­ла верна для всех 

 4. Построение графиков

Рас­смот­рим гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию как функ­цию на­ту­раль­но­го ар­гу­мен­та и по­стро­им ее гра­фик.

Обо­зна­чим, тогда 

,  это по­ка­за­тель­ная функ­ция на­ту­раль­но­го ар­гу­мен­та.

Рас­смот­рим при­ме­ры.

1.  

.

Пе­рей­дя к функ­ции, имеем

Со­ста­вим таб­ли­цу зна­че­ний функ­ции.

n

1

2

3

4

    

  1  

  2  

  4  

  8  

И по­стро­им ее гра­фик.

Рис. 1.

, по­это­му гра­фик – это толь­ко от­дель­ные точки, ко­то­рые лежат на по­ка­за­тель­ной кри­вой.

2.  ;

.

Пе­рей­дя к функ­ции, имеем

Со­ста­вим таб­ли­цу зна­че­ний функ­ции.

n

1

2

3

4

    

  1  

    

    

    

И по­стро­им ее гра­фик.

Рис. 2

Снова гра­фик – это от­дель­ные точки, ле­жа­щие на по­ка­за­тель­ной кри­вой.

Из гра­фи­ков видно, что если гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия воз­рас­та­ет, то воз­рас­та­ет очень быст­ро, а если убы­ва­ет, то убы­ва­ет тоже быст­ро (как по­ка­за­тель­ная функ­ция).

 5. Решение задач

Далее рас­смот­рим ти­по­вые за­да­чи, для ре­ше­ния ко­то­рых по­на­до­бит­ся фор­му­ла об­ще­го члена гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии:

1. Дано:гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия, . Найти: . Ре­ше­ние:  Ответ: 

2. Дано:гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия,. Про­ве­рить, яв­ля­ет­ся ли число 1536 чле­ном этой про­грес­сии, если да, найти его номер. Ре­ше­ние:  Ответ: 

3. Дано:гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия, .  Найти:  Ре­ше­ние:  Ответ: 

4. Дано:гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия, .  Найти:  Ре­ше­ние:  Ответ: 

Если из­вест­ны два члена гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии то спра­вед­ли­ва фор­му­ла:

.

Дей­стви­тель­но,  Рас­смот­рим еще одну за­да­чу.

5. Дано:гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия, .  Найти:  Ре­ше­ние:  Ответ: 

н­та.

 2. Формула суммы

Вы­ве­дем далее фор­му­лу суммы ко­неч­но­го числа чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии.

Дано: гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия.

Найти:

Ре­ше­ние:.

Умно­жим обе части этого ра­вен­ства на q:

.

И вы­чтем из пер­во­го ра­вен­ства вто­рое:

,

 ,

.

В по­лу­чен­ной фор­му­ле , рас­смот­рим част­ный слу­чай

Гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия  имеет nрав­ных чле­нов, по­это­му ее сумма

Итак, , при   при .

 3. Решение задач

Далее рас­смот­рим  ти­по­вые за­да­чи, для ре­ше­ния ко­то­рых по­на­до­бит­ся фор­му­ла суммы чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии:

1. Дано:гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия, . Найти:  Ре­ше­ние: . Ответ: 

2. Дано:гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия, . Найти: . Ре­ше­ние:  Ответ: 

3.  «Ле­ген­да об изоб­ре­та­те­ле шах­мат». Дано:гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия,  .  Найти:  Ре­ше­ние:  Ответ:  А те­перь ле­ген­да. Во­сточ­ный пра­ви­тель за­хо­тел на­гра­дить муд­ре­ца за то, что он на­учил пра­ви­те­ля иг­рать в шах­ма­ты. Муд­рец по­про­сил на первую клет­ку шах­мат­ной доски по­ло­жить одно зер­ныш­ко пше­ни­цы, а на каж­дую сле­ду­ю­щую в 2 раза боль­ше зерен, чем на преды­ду­щую. Шах­мат­ная доска имеет 64 клет­ки, по­это­му общее ко­ли­че­ство зерен на доске – это сумма 64 чле­нов гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, у ко­то­рой . Мы толь­ко что нашли, что Ока­за­лось, что это число на­столь­ко огром­но, что у пра­ви­те­ля не на­шлось столь­ко пше­ни­цы. Воз­рас­та­ю­щая гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия воз­рас­та­ет очень быст­ро и сумма даже не очень боль­шо­го числа чле­нов – огром­ное число.

1. Дано:гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия,  .  Найти:  Ре­ше­ние:  Ответ: 

2. Най­ди­те сумму Ре­ше­ние:Дан­ная сумма яв­ля­ет­ся сум­мой гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии, дей­стви­тель­но, ,от­но­ше­ние не за­ви­сит от n, т.е. это гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия. В этой про­грес­сии , тогда . Ответ:.

3. До­ка­жи­те тож­де­ство До­ка­за­тель­ство: Притож­де­ство спра­вед­ли­во. При имеем гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию  (). В преды­ду­щей за­да­че мы вы­чис­ли­ли , тогда Тож­де­ство до­ка­за­но.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/progressii/opredelenie-i-svoystva-geometricheskoy-progressii-formula-n-go-chlena?konspekt&chapter_id=38

 

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=vl47O6_MPtY

Файлы