9 класс. Алгебра. Числовая последовательность. Арифметическая прогрессия.

9 класс. Алгебра. Числовая последовательность. Арифметическая прогрессия.

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы рассмотрим арифметическую прогрессию и ее свойства.
Вначале дадим определение арифметической прогрессии и приведем ряд примеров. Далее выведем формулу n-го члена арифметической прогрессии и докажем, что арифметическая прогрессия – это линейная функция. В конце решим ряд примеров на пройденный материал.

 

 

Тема: Про­грес­сии

Урок: Опре­де­ле­ние и свой­ства ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, фор­му­ла n-го члена

 1. Определение арифметической прогрессии

Вспом­ним, что чис­ло­вая по­сле­до­ва­тель­ность – част­ный слу­чай функ­ции, функ­ции, опре­де­лен­ной на мно­же­стве на­ту­раль­ных чисел. Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия – част­ный слу­чай чис­ло­вой по­сле­до­ва­тель­но­сти.

Рас­смот­рим при­ме­ры, да­ю­щие пред­став­ле­ние об ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

1. За­да­на по­сле­до­ва­тель­ность чисел: 

За­ко­но­мер­ность об­ра­зо­ва­ния дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти: каж­дый по­сле­ду­ю­щий член боль­ше преды­ду­ще­го на 4 (обо­зна­чим это число бук­вой d), т.е.  Дан­ную по­сле­до­ва­тель­ность можно за­дать ре­кур­рент­но: . За­ме­тим, что эта по­сле­до­ва­тель­ность яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей  () .

2. За­да­на по­сле­до­ва­тель­ность чисел:  В этой по­сле­до­ва­тель­но­сти все числа равны между собой, .

3. За­да­на по­сле­до­ва­тель­ность чисел: 

За­ко­но­мер­ность об­ра­зо­ва­ния дан­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти: каж­дый по­сле­ду­ю­щий член мень­ше преды­ду­ще­го на 2. Чтобы по­лу­чить по­сле­ду­ю­щий член надо к преды­ду­ще­му при­ба­вить число (-2), т.е.  Дан­ную по­сле­до­ва­тель­ность можно за­дать ре­кур­рент­но: . За­ме­тим, что эта по­сле­до­ва­тель­ность яв­ля­ет­ся убы­ва­ю­щей () .

Дадим опре­де­ле­ние  ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

Чис­ло­вая по­сле­до­ва­тель­ность, каж­дый член ко­то­рой, на­чи­ная со вто­ро­го, равен сумме преды­ду­ще­го члена и од­но­го и того же числа d, на­зы­ва­ет­ся ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей, число d на­зы­ва­ет­ся ее раз­но­стью. 

Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия обо­зна­ча­ет­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:.

Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия может быть за­да­на ре­кур­рент­но:  

Непо­сред­ствен­но из опре­де­ле­ния ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии сле­ду­ют такие свой­ства:

- если , то ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия - воз­рас­та­ю­щая;

- если , то ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия - убы­ва­ю­щая.

 2. Формула n-го члена арифметической прогрессии

Из опре­де­ле­ния ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии сле­ду­ет ис­тин­ность ра­венств: . Тогда

  и т.д. Зна­чит, 

Т.е., зная пер­вый член и раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, можно найти любой ее член.

Ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию счи­та­ют за­дан­ной, если из­ве­стен ее пер­вый член и раз­ность.

Фор­му­лу  на­зы­ва­ют фор­му­лой n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

 3. Доказательство формулы n-го члена арифметической прогрессии

Фор­му­лу n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии можно до­ка­зать с по­мо­щью ме­то­да ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции.

Дано: .

До­ка­зать:  (1)

До­ка­за­тель­ство.

Фор­му­ла (1) верна при n=1. Дей­стви­тель­но, .

Пред­по­ло­жим, что фор­му­ла (1) верна при n=k, т.е. .

До­ка­жем, что фор­му­ла (1) верна и при n=k+1, т.е. .

Из усло­вия  и пред­по­ло­же­ния  по­лу­ча­ем:

.

Со­глас­но прин­ци­пу ма­те­ма­ти­че­ской ин­дук­ции фор­му­ла (1) верна для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа.

 4. Исследование арифметической прогрессии

Из фор­му­лы n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии сле­ду­ет, что

. Это озна­ча­ет, что ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия за­ви­сит от n, т.е. яв­ля­ет­ся функ­ци­ей на­ту­раль­но­го ар­гу­мен­та.

Вывод: ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия – это ли­ней­ная функ­ция на­ту­раль­но­го ар­гу­мен­та , где .

Если , то ли­ней­ная функ­ция воз­рас­та­ет и ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия - воз­рас­та­ю­щая;

если , то ли­ней­ная функ­ция убы­ва­ет и  ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия - убы­ва­ю­щая.

 5. Примеры

При­мер 1.

Дано: =.

Найти: фор­му­лу n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии .

До­ка­зать: - воз­рас­та­ю­щая.

Дать: гео­мет­ри­че­скую ил­лю­стра­цию.

Ре­ше­ние.

.Тогда , т.е. .

По­сколь­ку , за­дан­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия – воз­рас­та­ю­щая.

Чтобы дать гео­мет­ри­че­скую ил­лю­стра­цию дан­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, нужно по­стро­ить гра­фик ли­ней­ной функ­ции  и от­ме­тить точки с абс­цис­са­ми, рав­ны­ми 1,2,3,4,…(см. Рис. 1).

Рис. 1. Гра­фик функ­ции 

При­мер 2.

Дано: =.

Найти: фор­му­лу n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии .

Дать: гео­мет­ри­че­скую ил­лю­стра­цию.

Ре­ше­ние.

.

Тогда  для лю­бо­го на­ту­раль­но­го числа.

Чтобы дать гео­мет­ри­че­скую ил­лю­стра­цию дан­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, нужно по­стро­ить гра­фик ли­ней­ной функ­ции  и от­ме­тить точки с абс­цис­са­ми, рав­ны­ми 1,2,3,4,…(см. Рис.  2).

Рис. 2. Гра­фик функ­ции 

При­мер 3.

Дано: =.

Найти: фор­му­лу n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии .

До­ка­зать: - убы­ва­ю­щая.

Дать: гео­мет­ри­че­скую ил­лю­стра­цию.

Ре­ше­ние.

.

Тогда , т.е. .

По­сколь­ку , за­дан­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия – убы­ва­ю­щая.

Чтобы дать гео­мет­ри­че­скую ил­лю­стра­цию дан­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, нужно по­стро­ить гра­фик ли­ней­ной функ­ции  и от­ме­тить точки с абс­цис­са­ми, рав­ны­ми 1,2,3,4,…(см. Рис. 3).

Рис. 3. Гра­фик функ­ции 

При­мер 4.

Дано: .

Найти: ; наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный член.

Ре­ше­ние.

Фор­му­ла n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: .

Тогда , т.е. .

Чтобы найти наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный член, надо опять вос­поль­зо­вать­ся фор­му­лой  n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

. Тогда , и зна­чит .

Наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный член про­грес­сии .

Ответ: - наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный член.

При­мер 5.

Дано: .

Найти: .

Ре­ше­ние.

Фор­му­ла n-го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: .

Тогда .

Ответ: .

 

Урок: Фор­му­ла суммы чле­нов ко­неч­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии

 1. Вступление

Рас­смот­рим  за­да­чу: найти сумму на­ту­раль­ных чисел от 1 до 100 вклю­чи­тель­но.

Дано: 1, 2, 3, …, 98, 99, 100.

Найти: S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100.

Ре­ше­ние: S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 х 50=5050.

Ответ: 5050.

По­сле­до­ва­тель­ность на­ту­раль­ных чисел 1, 2, 3, …, 98, 99, 100 яв­ля­ет­ся ариф­ме­ти­че­ской про­грес­си­ей: а1=1, d=1.

Мы нашли сумму пер­вых ста на­ту­раль­ных чисел, т.е. сумму пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

Рас­смот­рен­ное ре­ше­ние пред­ло­жил ве­ли­кий ма­те­ма­тик Карл Фри­дрих Гаусс, жив­ший в 19 веке. За­да­ча была им ре­ше­на в воз­расте 5-ти лет.

Ис­то­ри­че­ская справ­ка: Иога́нн Карл Фри́дрих Га́усс (1777 — 1855) — немец­кий ма­те­ма­тик, ме­ха­ник, физик и аст­ро­ном. Счи­та­ет­ся одним из ве­ли­чай­ших ма­те­ма­ти­ков всех вре­мён, «ко­ро­лём ма­те­ма­ти­ков». Ла­у­ре­ат ме­да­ли Копли (1838), ино­стран­ный член Швед­ской (1821) и Рос­сий­ской (1824) Ака­де­мий наук, ан­глий­ско­го Ко­ро­лев­ско­го об­ще­ства. Со­глас­но ле­ген­де, школь­ный учи­тель ма­те­ма­ти­ки, чтобы за­нять детей на дол­гое время, пред­ло­жил им со­счи­тать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс за­ме­тил, что по­пар­ные суммы с про­ти­во­по­лож­ных в оди­на­ко­вы: 1+100=101, 2+99=101 и т. д., и мгно­вен­но по­лу­чил ре­зуль­тат: 101x50=5050.

 2. Вывод формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Рас­смот­рим ана­ло­гич­ную за­да­чу для про­из­воль­ной ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

Дано:  : 

Найти: сумму пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.  

Ре­ше­ние:

По­ка­жем, что все вы­ра­же­ния в скоб­ках равны между собой, а имен­но вы­ра­же­нию  . Пусть  d – раз­ность ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии. Тогда:

;

; и т.д. Сле­до­ва­тель­но, мы можем за­пи­сать:

. От­ку­да по­лу­ча­ем фор­му­лу суммы пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

 .

 3. Решение задач на применение формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

1. Решим за­да­чу о сумму на­ту­раль­ных чисел от 1 до 100 с по­мо­щью фор­му­лы суммы пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии:

Ре­ше­ние: а1=1, d=1, n=100.

Общая фор­му­ла:

.

В нашем слу­чае:  .

Ответ: 5050.

2. Дано: .

Найти: .

Ре­ше­ние.

Общая фор­му­ла:

. Най­дем  по фор­му­ле n–го члена ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии: .

 .

В нашем слу­чае:  .

Ответ: .

3. Дано: .

Найти: .

Ре­ше­ние:

Чтобы найти , сна­ча­ла надо найти .

Это можно сде­лать по общей фор­му­ле .Сна­ча­ла при­ме­ним эту фор­му­лу для на­хож­де­ния раз­но­сти ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии.

 , т.е. . Зна­чит .

Те­перь можем найти .

.

Ис­поль­зуя фор­му­лу суммы пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии

, най­дем .

.

 

.

Ответ: .

 4. Вывод второй формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

По­лу­чим вто­рую фор­му­лу для суммы пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии, а имен­но: до­ка­жем, что .

До­ка­за­тель­ство:

В фор­му­лу суммы пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии  под­ста­вим вы­ра­же­ние для , а имен­но . По­лу­чим: , т.е. . Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Про­ана­ли­зи­ру­ем по­лу­чен­ные фор­му­лы. Для вы­чис­ле­ний по пер­вой фор­му­ле  надо знать пер­вый член, по­след­ний член и n по вто­рой фор­му­ле  – надо знать пер­вый член, раз­ность и n.

И в за­клю­че­ние за­ме­тим, что в любом слу­чае Sn– это квад­ра­тич­ная функ­ция от n, по­то­му что .

 5. Решение задач на применение второй формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

1. Дано: .

Найти: .

Ре­ше­ние:

Общая фор­му­ла:

.

В нашем слу­чае:.

Ответ: 403.

2. Найти сумму всех дву­знач­ных чисел, крат­ных 4.

 

Ре­ше­ние:

{12; 16; 20; …; 96} – мно­же­ство чисел, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию за­да­чи.

Зна­чит, имеем ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию .

n най­дем из фор­му­лы для :.

 , т.е. . Зна­чит .

Ис­поль­зуя вто­рую фор­му­лу суммы пер­вых n чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии

, най­дем .

.

Ответ: .

3. Дано: .

Найти: S=.

Тре­бу­ет­ся найти сумму всех чле­нов с 10 по 25-й вклю­чи­тель­но.

Один из спо­со­бов ре­ше­ния за­клю­ча­ет­ся в сле­ду­ю­щем:

.

Сле­до­ва­тель­но, .

.

.

.

Ответ: .

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/progressii/opredelenie-i-svoystva-arifmeticheskoy-progressii-formula-ee-n-go-chlena?konspekt&chapter_id=38

 

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=tQEVKFGcjL0

Файлы