9 класс. Геометрия. Понятие движения. Осевая и центральная симметрия.
9 класс. Геометрия. Понятие движения. Осевая и центральная симметрия.
Комментарии преподавателя
Понятие движения
1. Введение
Отображение плоскости на себя.
Все понятия, которые будут введены нами в этом разделе, фактически, уже изучались нами ранее, с той лишь разницей, что теперь мы введем их в общем виде.
Ось симметрии.
Осевая симметрия – это такой тип симметрии, при которой каждой точке плоскости, например в точке М (Рис. 1), по определенному закону ставится в соответствие другая точка той же плоскости.
Рис. 1.
Закон, согласно которому проводится это соответствие, таков:
Из точки М проводится перпендикуляр к прямой и получается точка Р, точка пересечения перпендикуляра с осью. Откладывался отрезок РМ1=РМ, и находится точка М1. Итак, любой точке М плоскости ставится в соответствие единственная точка М1 плоскости, при этом:
1. МР^а, Р – точка их пересечения
2. РМ1=РМ , откуда получалась точка М1
При этом мы опирались на известный геометрический факт: из точки М можно провести лишь одну прямую перпендикулярную данной прямой.
Обратная операция: если при осевой симметрии точке М ставится в соответствие точка М1, то точке М1 ставится в соответствие точка М.
Точно такие же операции соответствия можно провести и для пары точек N и N1 той же плоскости (Рис. 1), причем если нам известна точка N1, которая поставлена в соответствие точке N, то нам известна и сама точка N. Итак, каждой точке плоскости ставится в соответствие иная точка плоскости. И любая точка плоскости имеет свою соответствующую точку.
Осевая симметрия является частным случаем так называемого отображения плоскости насебя.
Другим частным случаем отображения плоскости на саму себя является центральная симметрия.
Точка плоскости М переходит в точку плоскости другую М1 по следующему закону (Рис. 2):
1. проводится прямая МО
2. эта прямая продолжается и на ней откладывается отрезок ОМ1=ОМ, получаем точку М1
М1 ставится в соответствие точке М.
Рис. 2.
Оба представленных примера отображений обладают следующим свойством:
если взять отрезок MN длиною а, то он перейдет в отрезок M1N1 той же длины, т. е. расстояние между любыми точками сохраняются.
Отображение плоскости на себя, при котором все расстояния сохраняются, называетсядвижением,
т. е. «плоскость двигается, а расстояние сохраняется». Движений таких несколько, мы пока рассмотрели два из них, а именно осевую симметрию и центральную симметрию. Теперь докажем, что каждая из этих симметрий является движением. Надо доказать, что любые расстояния сохраняются.
Докажем это для осевой симметрии.
Итак, при от отображении, М → М1, N → N1, причем РМ1=РМ, NQ=QN1 (Рис. 3)
Нам нужно доказать, что MN= M1N1.
Рис. 3.
Доказательство.
Составим чертеж (Рис. 4).
Сделаем дополнительные построения, построим точку К такую, что МК^ NN1,
тогда точка К отобразится в точку К1.
Докажем равенство прямоугольных треугольников MNК и M1N1К1. В этих треугольниках длины, интересующие нас, являются гипотенузами, значит, надо доказать равенство катетов.
МК = М1К1 как два перпендикуляра к параллельным прямым.
Из Рис. 4 видно, что NK = NQ – KQ и N1K1 = N1Q – K1Q. Из этих равенств и условия того, что точка N отобразилась в точку N1, вытекает, что NK = N1K1.
То есть треугольники равны по двум катетам, а следовательно, равны и их гипотенузы, то есть MN = M1N1, что и требовалось доказать.
Рис. 4.
Рис. 5.
Докажем теперь, что центральная симметрия также является движением. Дополним Рис. 2 точкой N и точкой N1, в которую отобразится первая точка при центральной симметрии (Рис. 5).
Для этого построим отрезок ON и его продолжение – отрезок ON1, получим точку N1. При этом ON1 = ON. Необходимо доказать, что MN = M1N1
Доказательство.
по двум сторонам и углу между ними (ÐMОN = ÐM1ОN1 как вертикальные, а соответствующие стороны треугольников равны вследствие законов центральной симметрии) 
.
То есть и при центральной симметрии любые расстояния сохраняются. Таким образом, и центральная симметрия является движением.
Итак, мы рассмотрели отображение плоскости на себя. Рассмотрели два примера отображения плоскости на себя: осевую симметрию и центральную симметрию. И подметили одно важное обстоятельство, что любые расстояния при этих преобразованиях сохраняются. Те преобразования плоскости на себя, которые сохраняют все расстояния, называются движениями. Мы доказали, что осевая симметрия является движением и центральная симметрия является движением.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/9-klass/dvizhenie/ponyatie-dvizheniya-osevaya-i-tsentralnaya-simmetriya
http://www.youtube.com/watch?v=KQVvIPgse98
http://www.youtube.com/watch?v=771DMOEqH4o
http://www.youtube.com/watch?v=khdLDFoxWd8
https://www.youtube.com/watch?v=qSpOdX1OW-M
http://uslide.ru/uploads/files/4/dvizenie.ppt
http://u.5klass.net/zip/6e9f438097551ff4fd2777ff2e2bc4c6.zip
http://len1911.narod.ru/geom_8_15.jpg
http://static.wixstatic.com/media/13679f_b6c5d852872e4e378cc3d878e1c31898.jpg
http://player.myshared.ru/1247093/data/images/img12.jpg
http://www.yaklass.ru/p/geometria/9-klass/dvizhenie-10434/poniatie-dvizheniia-simmetriia-10437/re-150d4afe-9334-462c-abe7-22a9b9b43f10