8 класс. Геометрия. Прямоугольник, ромб и квадрат.

8 класс. Геометрия. Прямоугольник, ромб и квадрат.

Комментарии преподавателя

Пря­мо­уголь­ник, ромб и квад­рат. Осе­вая и цен­траль­ная сим­мет­рия

 1. Симметрия точек относительно прямой

Дан­ный урок по­свя­щён осе­вой и цен­траль­ной сим­мет­рии.

Опре­де­ле­ние

Две точки  и  на­зы­ва­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но пря­мой , если:

1.      пря­мая  про­хо­дит через се­ре­ди­ну от­рез­ка ;

2.      пря­мая  пер­пен­ди­ку­ляр­на от­рез­ку.

На Рис. 1 изоб­ра­же­ны при­ме­ры сим­мет­рич­ных от­но­си­тель­но пря­мой  точек  и  и .

Рис. 1

От­ме­тим также тот факт, что любая точка пря­мой сим­мет­рич­на сама себе от­но­си­тель­но этой пря­мой.

Сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но пря­мой могут быть и фи­гу­ры.

Сфор­му­ли­ру­ем стро­гое опре­де­ле­ние.

 2. Осевая симметрия, примеры

Опре­де­ле­ние

Фи­гу­ра на­зы­ва­ет­ся сим­мет­рич­ной от­но­си­тель­но пря­мой , если для каж­дой точки фи­гу­ры сим­мет­рич­ная ей от­но­си­тель­но этой пря­мой точка также при­над­ле­жит фи­гу­ре. В этом слу­чае пря­мая  на­зы­ва­ет­ся осью сим­мет­рии. Фи­гу­ра при этом об­ла­да­ет осе­вой сим­мет­ри­ей.

Рас­смот­рим несколь­ко при­ме­ров фигур, об­ла­да­ю­щих осе­вой сим­мет­ри­ей, и их оси сим­мет­рии.

При­мер 1

Угол об­ла­да­ет осе­вой сим­мет­ри­ей. Осью сим­мет­рии угла яв­ля­ет­ся бис­сек­три­са. Дей­стви­тель­но: опу­стим из любой точки угла пер­пен­ди­ку­ляр к бис­сек­три­се и про­длим его до пе­ре­се­че­ния с дру­гой сто­ро­ной угла (см. Рис. 2).

Рис. 2

 (так как  – общая сто­ро­на,  (свой­ство бис­сек­три­сы), а тре­уголь­ни­ки – пря­мо­уголь­ные). Зна­чит, . По­это­му точки  и  сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но бис­сек­три­сы угла.

Из этого сле­ду­ет, что и рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник об­ла­да­ет осе­вой сим­мет­рии от­но­си­тель­но бис­сек­три­сы (вы­со­ты, ме­ди­а­ны), про­ве­дён­ной к сно­ва­нию.

При­мер 2

Рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник об­ла­да­ет тремя осями сим­мет­рии (бис­сек­три­сы/ме­ди­а­ны/вы­со­ты каж­до­го из трёх углов (см. Рис. 3).

Рис. 3

При­мер 3

Пря­мо­уголь­ник об­ла­да­ет двумя осями сим­мет­рии, каж­дая из ко­то­рых про­хо­дит через се­ре­ди­ны двух его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон (см. Рис. 4).

Рис. 4

При­мер 4

Ромб также об­ла­да­ет двумя осями сим­мет­рии: пря­мые, ко­то­рые со­дер­жат его диа­го­на­ли (см. Рис. 5).

Рис. 5

При­мер 5

Квад­рат, яв­ля­ю­щий­ся од­но­вре­мен­но ром­бом и пря­мо­уголь­ни­ком, об­ла­да­ет 4 осями сим­мет­рии (см. Рис. 4).

Рис. 6

При­мер 6

У окруж­но­сти осью сим­мет­рии яв­ля­ет­ся любая пря­мая, про­хо­дя­щая через её центр (то есть со­дер­жа­щая диа­метр окруж­но­сти). По­это­му окруж­ность имеет бес­ко­неч­но много осей сим­мет­рии (см. Рис. 7).

Рис. 7

 3. Центральная симметрия, примеры

Рас­смот­рим те­перь по­ня­тие цен­траль­ной сим­мет­рии.

Опре­де­ле­ние

Точки  и  на­зы­ва­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но точки , если:  – се­ре­ди­на от­рез­ка .

Рас­смот­рим несколь­ко при­ме­ров: на Рис. 8 изоб­ра­же­ны точки  и , а также  и , ко­то­рые яв­ля­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но точки , а точки  и  не яв­ля­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но этой точки.

Рис. 8

Неко­то­рые  фи­гу­ры яв­ля­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но неко­то­рой точки. Сфор­му­ли­ру­ем стро­гое опре­де­ле­ние.

Опре­де­ле­ние

Фи­гу­ра на­зы­ва­ет­ся сим­мет­рич­ной от­но­си­тель­но точки , если для любой точки фи­гу­ры точка, сим­мет­рич­ная ей, также при­над­ле­жит дан­ной фи­гу­ре. Точка  на­зы­ва­ет­ся цен­тром сим­мет­рии, а фи­гу­ра об­ла­да­ет цен­траль­ной сим­мет­ри­ей.

Рас­смот­рим при­ме­ры фигур, об­ла­да­ю­щих цен­траль­ной сим­мет­ри­ей.

При­мер 7

У окруж­но­сти цен­тром сим­мет­рии яв­ля­ет­ся центр окруж­но­сти (это легко до­ка­зать, вспом­нив свой­ства диа­мет­ра и ра­ди­у­са окруж­но­сти) (см. Рис. 9).

Рис. 9

При­мер 8

У па­рал­ле­ло­грам­ма цен­тром сим­мет­рии яв­ля­ет­ся точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей (см. Рис. 10). 

Рис. 10

 4. Решение задач

Решим несколь­ко задач на осе­вую и цен­траль­ную сим­мет­рию.

За­да­ча 1.

Сколь­ко осей сим­мет­рии имеет от­ре­зок ?

Ре­ше­ние:

От­ре­зок имеет две оси сим­мет­рии. Пер­вая из них – это пря­мая, со­дер­жа­щая от­ре­зок (так как любая точка пря­мой сим­мет­рич­на сама себе от­но­си­тель­но этой пря­мой). Вто­рая – се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку, то есть пря­мая, пер­пен­ди­ку­ляр­ная от­рез­ку и про­хо­дя­щая через его се­ре­ди­ну.

Ответ: 2 оси сим­мет­рии.

За­да­ча 2.

Сколь­ко осей сим­мет­рии имеет пря­мая ?

Ре­ше­ние:

Пря­мая имеет бес­ко­неч­но много осей сим­мет­рии. Одна из них – это сама пря­мая (так как любая точка пря­мой сим­мет­рич­на сама себе от­но­си­тель­но этой пря­мой). А также осями сим­мет­рии яв­ля­ют­ся любые пря­мые, пер­пен­ди­ку­ляр­ные дан­ной пря­мой.

Ответ: бес­ко­неч­но много осей сим­мет­рии.

За­да­ча 3.

Сколь­ко осей сим­мет­рии имеет луч ?

Ре­ше­ние:

Луч имеет одну ось сим­мет­рии, ко­то­рая сов­па­да­ет с пря­мой, со­дер­жа­щей луч (так как любая точка пря­мой сим­мет­рич­на сама себе от­но­си­тель­но этой пря­мой).

Ответ: одна ось сим­мет­рии.

За­да­ча 4.

До­ка­зать, что пря­мые, со­дер­жа­щие диа­го­на­ли ромба, яв­ля­ют­ся его осями сим­мет­рии.

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим ромб . До­ка­жем, к при­ме­ру, что пря­мая  яв­ля­ет­ся его осью сим­мет­рии. Оче­вид­но, что точки  и  яв­ля­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми сами себе, так как лежат на этой пря­мой. Кроме того, точки  и  сим­мет­рич­ны от­но­си­тель­но этой пря­мой, так как . Вы­бе­рем те­перь про­из­воль­ную точку  и до­ка­жем, что сим­мет­рич­ная ей от­но­си­тель­но  точка также при­над­ле­жит ромбу (см. Рис. 11).

Рис. 11

Про­ве­дём через точку  пер­пен­ди­ку­ляр к пря­мой  и про­длим его до пе­ре­се­че­ния с . Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и . Эти тре­уголь­ни­ки пря­мо­уголь­ные (по по­стро­е­нию), кроме того, в них:  – общий катет, а  (так как диа­го­на­ли ромба яв­ля­ют­ся его бис­сек­три­са­ми). Зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки равны: . Зна­чит, равны и все их со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты, по­это­му: . Из ра­вен­ства этих от­рез­ков сле­ду­ет то, что точки  и  яв­ля­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но пря­мой . Это озна­ча­ет, что  яв­ля­ет­ся осью сим­мет­рии ромба. Ана­ло­гич­но можно до­ка­зать этот факт и для вто­рой диа­го­на­ли.

До­ка­за­но.

За­да­ча 5.

До­ка­зать, что точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма яв­ля­ет­ся его цен­тром сим­мет­рии.

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим па­рал­ле­ло­грамм . До­ка­жем, что точка  яв­ля­ет­ся его цен­тром сим­мет­рии. Оче­вид­но, что точки  и  и  яв­ля­ют­ся по­пар­но сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но точки , так как диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Вы­бе­рем те­перь про­из­воль­ную точку  и до­ка­жем, что сим­мет­рич­ная ей от­но­си­тель­но  точка также при­над­ле­жит па­рал­ле­ло­грам­му (см. Рис. 12).

Рис. 12

Со­еди­ним точку  с точ­кой  и про­длим линию до пе­ре­се­че­ния с про­ти­во­по­лож­ной сто­ро­ной. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и . Эти тре­уголь­ни­ки равны по вто­ро­му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков (сто­ро­на и два угла). Дей­стви­тель­но: (так как диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам),  (как внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых),  (как вер­ти­каль­ные углы). Зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки равны: . Зна­чит, равны и все их со­от­вет­ству­ю­щие эле­мен­ты, по­это­му: . Из ра­вен­ства этих от­рез­ков сле­ду­ет то, что точки  и  яв­ля­ют­ся сим­мет­рич­ны­ми от­но­си­тель­но точки . Это озна­ча­ет, что  яв­ля­ет­ся цен­тром сим­мет­рии па­рал­ле­ло­грам­ма.

До­ка­за­но.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/pryamougolnik-romb-i-kvadrat-osevaya-i-tsentralnaya-simmetrii

http://www.youtube.com/watch?v=KQVvIPgse98

http://oldskola1.narod.ru/Nikitin/0046.htm

http://festival.1september.ru/articles/416997/

http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg

http://www.online-tusa.com/this/img/24/2499.gif

http://panel.mriya.org.ua/upload/Golubiatnikova/_0013-013-Pravilnyj-treugolnik.jpg

http://www.online-tusa.com/this/img/25/2500.gif

http://5klass.net/datas/geometrija/Simmetrija-figur/0010-010-Tak-romb-simmetrichen-sam-sebe-otnositelno-svoikh-diagonalej.jpg

http://dok.opredelim.com/pars_docs/refs/70/69450/img8.jpg

http://gigabaza.ru/doc/16746.html

https://prezentacii.org/engine/download.php?id=19307

http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJH1OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw

Файлы