8 класс. Геометрия. Второй и третий признаки подобия треугольников.

8 класс. Геометрия. Второй и третий признаки подобия треугольников.

Комментарии преподавателя

 Повторение: подобные треугольники, первый признак подобия треугольников

По­доб­ны­ми на­зы­ва­ют­ся такие тре­уголь­ни­ки, у ко­то­рых углы со­от­вет­ствен­но равны, а сто­ро­ны од­но­го со­от­вет­ствен­но про­пор­ци­о­наль­ны сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка (см. рис. 1).

 

Рис. 1. По­доб­ные тре­уголь­ни­ки 

От­но­ше­ние длин сто­рон од­но­го тре­уголь­ни­ка к сход­ствен­ным сто­ро­нам дру­го­го на­зы­ва­ет­ся ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия (): .

Пер­вый при­знак по­до­бия тре­уголь­ни­ков

Если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум углам дру­го­го, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны (см. рис. 2). 

 

Рис. 2. Пер­вый при­знак по­до­бия тре­уголь­ни­ков

 Второй признак подобия треугольников, доказательство

Если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны двум дру­гим сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, а углы, за­клю­чён­ные между этими сто­ро­на­ми, равны, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны.

Дано ;  (см. рис. 3).

До­ка­зать: по­до­бие дан­ных тре­уголь­ни­ков  

 

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

До­ка­за­тель­ство

Со­глас­но пер­во­му при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны, если два угла од­но­го со­от­вет­ствен­но равны двум углам дру­го­го. По­это­му для до­ка­за­тель­ства того, что , необ­хо­ди­мо до­ка­зать, что угол  равен углу  (угол  равен углу  по усло­вию).

По­стро­им тре­уголь­ник  (см. рис. 4), у ко­то­ро­го , а . Со­глас­но пер­во­му при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков  (при­знак по­до­бия по двум углам). 

 

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция к до­ка­за­тель­ству

Из по­до­бия этих тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что сто­ро­на  от­но­сит­ся к сто­роне  как сто­ро­на  от­но­сит­ся к сто­роне :

Из усло­вия из­вест­но, что . Сле­до­ва­тель­но, . Таким об­ра­зом, .

По­лу­ча­ем, что тре­уголь­ни­ки  и  равны, так как у них равны две сто­ро­ны и угол между ними ( – общая сто­ро­на,  и , по­сколь­ку  и ).

От­сю­да сле­ду­ет, что , а так как , то .

У тре­уголь­ни­ков  и , а . Со­глас­но пер­во­му при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны: . Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 Задача 1

По дан­ным ри­сун­ка 5 найти длину x, до­ка­зать, что .

 

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­ше­ние

1) Рас­смот­рим два тре­уголь­ни­ка с общей вер­ши­ной  и , так как они вер­ти­каль­ные.

При­ле­га­ю­щие сто­ро­ны у этих тре­уголь­ни­ков про­пор­ци­о­наль­ны: .

Сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны (), со­глас­но вто­ро­му при­зна­ку по­до­бия. Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия равен 2. С по­мо­щью него опре­де­лим длину .

2) Так как , то все углы у них равны.  – эти углы яв­ля­ют­ся на­крест ле­жа­щи­ми при пе­ре­се­че­нии пря­мых  и  се­ку­щей . Таким об­ра­зом, , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ответ: па­рал­лель­ность пря­мых  и  до­ка­за­на; .

 Задача 2

По дан­ным ри­сун­ка найти длину , от­ме­тить рав­ные углы и до­ка­зать, что  (см. рис. 6).

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­ше­ние

1)  яв­ля­ет­ся общим для тре­уголь­ни­ков  и . К дан­но­му углу при­ле­га­ют сто­ро­на  и сто­ро­на  тре­уголь­ни­ка , а также сто­ро­на  и сто­ро­на  тре­уголь­ни­ка .

Видно, что .

Сле­до­ва­тель­но, , со­глас­но вто­ро­му при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков (общий угол и про­пор­ци­о­наль­ность при­ле­жа­щих сто­рон).

2) Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия у этих тре­уголь­ни­ков равен 3, по­это­му можно опре­де­лить сто­ро­ну 

3) Сто­ро­ны  и  яв­ля­ют­ся сход­ствен­ны­ми, сле­до­ва­тель­но, они лежат на­про­тив рав­ных углов: .

Сто­ро­ны  и  также яв­ля­ют­ся сход­ствен­ны­ми, сле­до­ва­тель­но, .

От­ме­тим рав­ные углы на ри­сун­ке (см. рис. 7). 

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ответ.

 Задача 3

Найти длину , от­ме­тить рав­ные углы и до­ка­зать, что  (см. рис. 8). 

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Ре­ше­ние

1)  яв­ля­ет­ся общим для тре­уголь­ни­ков  и . К дан­но­му углу при­ле­га­ют сто­ро­на  и сто­ро­на  тре­уголь­ни­ка , а также сто­ро­на  и сто­ро­на  тре­уголь­ни­ка .

Видно, что .

Сто­ро­ны тре­уголь­ни­ков, при­ле­жа­щие к , про­пор­ци­о­наль­ные, сле­до­ва­тель­но, , со­глас­но вто­ро­му при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

2) Сто­ро­ны  и  яв­ля­ют­ся сход­ствен­ны­ми, сле­до­ва­тель­но, они лежат на­про­тив рав­ных углов: .

Сто­ро­ны  и  также яв­ля­ют­ся сход­ствен­ны­ми, сле­до­ва­тель­но, .

От­ме­тим рав­ные углы на ри­сун­ке (см. рис. 9). 

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

3) , так как эти пря­мые пе­ре­се­ка­ют­ся се­ку­щей  и при этом со­от­вет­ствен­ные углы равны ().

4) Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия у тре­уголь­ни­ков  и  равен 3, по­это­му можно опре­де­лить сто­ро­ну .

Ответ; па­рал­лель­ность пря­мых  и  до­ка­за­на.

 

До­маш­нее за­да­ние

  1. За­да­чи 557, 559- Ата­на­сян Л. С., Бу­ту­зов В. Ф., Ка­дом­цев С. Б. Гео­мет­рия, 7-9 клас­сы  (Ис­точ­ник).
  2.  (см. рис. 10). Найти  и . 
     
    Рис. 10. Ил­лю­стра­ция к за­да­че
  3. В тре­уголь­ни­ке  точка  лежит на сто­роне . До­ка­жи­те, что  (см. рис. 11). 
     
    Рис. 11. Ил­лю­стра­ция к за­да­че

Третий признак подобия треугольников

                                                                    

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Если AB:DE=BC:EF=AC:DF, то ΔABC∼ΔDEF.

Третий признак подобия треугольников довольно редко используется в решении задач, а доказательство его аналогично доказательству второго признака, поэтому приводить его не будем.

 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/podobnye-treugolniki/vtoroy-priznak-podobiya-treugolnikov

http://www.yaklass.ru/p/geometria/8-klass/podobnye-treugolniki-9236/priznaki-podobiia-treugolnikov-9525/re-45c7d7dc-5837-418c-81eb-add8501d2c98

http://www.youtube.com/watch?v=1Nwv-LUoukI

http://www.youtube.com/watch?v=riotZSjYscE

http://sportstill.ru/post/imgs/56278bf1d7dd8.jpg

http://mypresentation.ru/documents/140277b244f0b9b2f8abf04e3274041f/img2.jpg

http://www.tutoronline.ru/blog/podobie-treugolnikov-chast-2

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/101-test-po-geometrii-8-klass-tema-priznaki-podobiya-treugolnikov-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/102-test-po-geometrii-8-klass-tema-priznaki-podobiya-treugolnikov-variant-2.html

http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg

http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJH1OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw

Файлы