8 класс. Геометрия. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

8 класс. Геометрия. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Комментарии преподавателя

Про­пор­ци­о­наль­ные от­рез­ки в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке

 1. Первый признак подобия и его формулировка для прямоугольного треугольника

На этом уроке мы по­зна­ко­мим­ся с про­пор­ци­о­наль­ны­ми от­рез­ка­ми в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке, вы­ве­дем со­от­вет­ству­ю­щие фор­му­лы.

Для этого нам по­на­до­бит­ся пер­вый при­знак по­до­бия тре­уголь­ни­ков. Вспом­ним его: если два угла од­но­го тре­уголь­ни­ка равны двум углам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны (см. Рис. 1).

Рис. 1

. При этом ко­эф­фи­ци­ент  на­зы­ва­ет­ся ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия.

 2. Углы в прямоугольном треугольнике

Те­перь рас­смот­рим пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки.

По­сколь­ку в пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках все­гда есть пара рав­ных углов (это пря­мые углы), то для них можно сфор­му­ли­ро­вать сле­ду­ю­щий при­знак по­до­бия: пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки по­доб­ны, если имеют рав­ные ост­рые углы (см. Рис. 2).

Рис. 2

.

При этом от­ме­тим важ­ный факт: в пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ках сумма ост­рых углов равна 

Рас­смот­рим про­стую за­да­чу для пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка.

Дано:  – пря­мо­уголь­ный (),  – вы­со­та.

Найти: осталь­ные углы тре­уголь­ни­ка (см. Рис. 3).

Ре­ше­ние:   

Для ре­ше­ния за­да­чи будем ис­поль­зо­вать сфор­му­ли­ро­ван­ный выше факт: сумма ост­рых углов пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 

Рис. 3

 . Зна­чит, .

Кроме того, тре­уголь­ник  – также пря­мо­уголь­ный, по­это­му сумма его ост­рых углов также равна   (см. Рис. 4).

Ана­ло­гич­но с тре­уголь­ни­ком .

Рис. 4

Из этого свой­ства пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка и его вы­со­ты, про­ве­дён­ной к ги­по­те­ну­зе, сле­ду­ет несколь­ко важ­ных фак­тов.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с вы­со­той, ко­то­рая про­ве­де­на к ги­по­те­ну­зе (см. Рис. 5).

 

Рис. 5

 – про­ек­ция ка­те­та  на ги­по­те­ну­зу  – про­ек­ция ка­те­та  на ги­по­те­ну­зу  – это стан­дарт­ные обо­зна­че­ния.

На Рис. 5 изоб­ра­же­но три пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка , при­чём в каж­дом из них есть ост­рый угол . Зна­чит, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по пер­во­му при­зна­ку по­до­бия для пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков: .

 3. Теоремы о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике

С по­мо­щью этого факта можно до­ка­зать три тео­ре­мы:

1.       (катет равен сред­не­му гео­мет­ри­че­ско­му ги­по­те­ну­зы и своей про­ек­ции на неё).

2.       (катет равен сред­не­му гео­мет­ри­че­ско­му ги­по­те­ну­зы и своей про­ек­ции на неё).

3.       (вы­со­та, про­ве­дён­ная к ги­по­те­ну­зе, равна сред­не­му гео­мет­ри­че­ско­му про­ек­ций ка­те­тов на ги­по­те­ну­зу).

Опре­де­ле­ние

Сред­ним гео­мет­ри­че­ским двух неот­ри­ца­тель­ных чисел  и  на­зы­ва­ет­ся такое неот­ри­ца­тель­ное число , что: .

До­ка­жем сфор­му­ли­ро­ван­ные выше тео­ре­мы.

 4. Доказательство теорем

Тео­ре­ма 1. .

До­ка­за­тель­ство:

Вос­поль­зу­ем­ся по­до­би­ем тре­уголь­ни­ков . За­пи­шем от­но­ше­ние со­от­вет­ству­ю­щих сто­рон:  (от­но­ше­ние сто­рон, ле­жа­щих про­тив угла , равно от­но­ше­нию сто­рон, ле­жа­щих про­тив угла ). Из этой про­пор­ции по­лу­ча­ем: . Или: .

До­ка­за­но

Тео­ре­ма 2. .

До­ка­за­тель­ство:

Вос­поль­зу­ем­ся по­до­би­ем тре­уголь­ни­ков . За­пи­шем от­но­ше­ние со­от­вет­ству­ю­щих сто­рон: . (от­но­ше­ние сто­рон, ле­жа­щих про­тив угла , равно от­но­ше­нию сто­рон, ле­жа­щих про­тив угла ). Из этой про­пор­ции по­лу­ча­ем: . Или: .

До­ка­за­но.

Тео­ре­ма 3. .

До­ка­за­тель­ство

Вос­поль­зу­ем­ся по­до­би­ем тре­уголь­ни­ков . За­пи­шем от­но­ше­ние со­от­вет­ству­ю­щих сто­рон:  (от­но­ше­ние сто­рон, ле­жа­щих про­тив угла , равно от­но­ше­нию сто­рон, ле­жа­щих про­тив угла ). Из этой про­пор­ции по­лу­ча­ем: . Или: .

До­ка­за­но.

 5. Альтернативное доказательство теоремы Пифагора

При­ме­ча­ние:

Сфор­му­ли­ру­ем ещё одно аль­тер­на­тив­ное до­ка­за­тель­ство тео­ре­мы Пи­фа­го­ра с по­мо­щью до­ка­зан­ных выше тео­рем.

.

До­ка­зан­ные тео­ре­мы поз­во­ля­ют ре­шать мно­гие за­да­чи, свя­зан­ные с пря­мо­уголь­ны­ми тре­уголь­ни­ка­ми.

 6. Пример на применение доказанных теорем

При­мер 1

Дан пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник  (  – вы­со­та. . Найти  (см. Рис. 6).

Ре­ше­ние:

Рис. 6

Най­дём длину ги­по­те­ну­зы: . Далее вос­поль­зу­ем­ся до­ка­зан­ны­ми тео­ре­ма­ми:

Ответ: .

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/podobnye-treugolniki/proportsionalnye-otrezki-v-pryamougolnom-treugolnike

http://www.youtube.com/watch?v=SjifXGcWduw

http://www.youtube.com/watch?v=TD--RoW1iBQ

http://test-training.ru/tag/geometriya-8-proportsionalyne-otrezki-v-pryamougolynom-treugolynike

http://cs614921.vk.me/v614921053/13198/l8RH3BalS-k.jpg

http://fs.nashaucheba.ru/tw_files2/urls_3/1886/d-1885403/img3.jpg

http://fs.nashaucheba.ru/tw_files2/urls_3/1886/d-1885403/img4.jpg

 

Файлы