8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Средняя линия треугольника.

8 класс. Геометрия. Подобные треугольники. Средняя линия треугольника.

Комментарии преподавателя

Сред­няя линия тре­уголь­ни­ка

 1. Повторение второго признака подобия и свойства параллельности прямых

По­вто­рим вто­рой при­знак по­до­бия тре­уголь­ни­ков.

Тео­ре­ма 1. Вто­рой при­знак по­до­бия тре­уголь­ни­ков (по двум сто­ро­нам и углу между ними). Если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка про­пор­ци­о­наль­ны двум сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка и углы между этими сто­ро­на­ми равны, то такие тре­уголь­ни­ки по­доб­ны (см. Рис. 1).

.

Рис. 1

Опре­де­ле­ние. Два тре­уголь­ни­ка на­зы­ва­ют­ся по­доб­ны­ми, ес­ли­их углы по­пар­но равны, а сто­ро­ны, ле­жа­щие на­про­тив со­от­вет­ствен­ных углов, про­пор­ци­о­наль­ны.

.

Тео­ре­ма 2. Свой­ство и при­знак па­рал­лель­но­сти пря­мых. Если пря­мые па­рал­лель­ны, то их со­от­вет­ствен­ные углы равны; если со­от­вет­ствен­ные углы равны, то пря­мые па­рал­лель­ны (см. Рис. 2).

.

Рис. 2

 2. Определение и теорема о средней линии треугольника

Опре­де­ле­ние. Сред­няя линия тре­уголь­ни­ка – это от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны сто­рон тре­уголь­ни­ка. На Рис. 3  сред­няя линия тре­уголь­ни­ка  ос­но­ва­ние.

Тео­ре­ма 3. Тео­ре­ма о сред­ней линии тре­уголь­ни­ка. Сред­няя линия тре­уголь­ни­ка па­рал­лель­на ос­но­ва­нию и равна его по­ло­вине (Рис. 3).

.

До­ка­за­тель­ство.

По усло­вию из­вест­но, что .

Рис. 3

Рас­смот­рим  и :

 по вто­ро­му при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков. Сле­до­ва­тель­но,  как со­от­вет­ствен­ные, а по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мых: . Па­рал­лель­ность сред­ней линии и со­от­вет­ству­ю­ще­го ей ос­но­ва­ния до­ка­за­на.

Кроме того, из по­до­бия тре­уголь­ни­ков  можно вы­пи­сать и от­но­ше­ние их тре­тьих сто­рон . То, что сред­няя линия равна по­ло­вине со­от­вет­ству­ю­ще­го ос­но­ва­ния, до­ка­за­но.

До­ка­за­но.

 3. Пример на использование теоремы о средней линии треугольника

При­мер 1. В тре­уголь­ни­ке  се­ре­ди­ны сто­рон  . Найти пе­ри­метр  (см. Рис. 4).

Ре­ше­ние.

Рис. 4

Нач­нем с того, что про­ве­рим су­ще­ство­ва­ние ука­зан­но­го в усло­вии тре­уголь­ни­ка , для этого за­пи­шем нера­вен­ство тре­уголь­ни­ка для его наи­боль­шей сто­ро­ны: , нера­вен­ство вы­пол­не­но, сле­до­ва­тель­но, такой тре­уголь­ник су­ще­ству­ет.

Со­еди­ним се­ре­ди­ны сто­рон тре­уголь­ни­ка  и по­лу­чим его сред­ние линии, най­дем их длины по тео­ре­ме о сред­ней линии:

.

Ответ. 10.

 4. Теорема о пересечении медиан треугольника

Тео­ре­ма 4. Тео­ре­ма о пе­ре­се­че­нии ме­ди­ан тре­уголь­ни­ка. Ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке, ко­то­рой делят друг друга в от­но­ше­нии  счи­тая от вер­ши­ны (см. Рис. 5).

.

До­ка­за­тель­ство. Обо­зна­чим на ри­сун­ке точки  – се­ре­ди­ны сто­рон тре­уголь­ни­ка   со­от­вет­ствен­но.

Рас­смот­рим две ме­ди­а­ны  и , они пе­ре­се­ка­ют­ся в неко­то­рой точке  (см. Рис. 6).

Рис. 5, рис. 6

Сле­ду­ет до­ка­зать, что они пе­ре­се­ка­ют­ся, т.к. воз­мож­но, что ме­ди­а­ны могут быть па­рал­лель­ны. В таком слу­чае для них от­ре­зок  был бы се­ку­щей, а , но эти углы со­став­ля­ют неко­то­рую часть от углов тре­уголь­ни­ка , а сумма его углов равна , зна­чит, такое невоз­мож­но, и ме­ди­а­ны  и  пе­ре­се­ка­ют­ся.

Про­ве­дем от­ре­зок , он со­еди­ня­ет се­ре­ди­ны сто­рон тре­уголь­ни­ка, а сле­до­ва­тель­но, по опре­де­ле­нию яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей, а по тео­ре­ме о сред­ней линии . Эти два па­рал­лель­ных от­рез­ка пе­ре­се­ка­ют­ся се­ку­щи­ми  и , а из этого сле­ду­ет, что  и  как на­крест ле­жа­щие. Из этого можно сде­лать вывод о том, что  по пер­во­му при­зна­ку по­до­бия тре­уголь­ни­ков. Ко­эф­фи­ци­ент по­до­бия этих тре­уголь­ни­ков по тео­ре­ме о сред­ней линии , а по опре­де­ле­нию по­доб­ных тре­уголь­ни­ков .

До­ка­за­но, что две ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют друг друга в от­но­ше­нии  2:1, счи­тая от вер­ши­ны, ана­ло­гич­но будем рас­суж­дать и о тре­тьей ме­ди­ане. По­сколь­ку в ка­че­стве пары ме­ди­ан можно вы­брать, на­при­мер, ме­ди­а­ны  и , то и они точ­кой пе­ре­се­че­ния будут рас­се­кать друг друга в от­но­ше­нии 2:1, счи­тая от вер­ши­ны. Од­на­ко не факт, что точки пе­ре­се­че­ния одной пары ме­ди­ан и вто­рой пары ме­ди­ан сов­па­дут. Пред­по­ло­жим, что это не так, и . Тогда  Рас­смот­рим до­пол­ни­тель­ный Рис. 7, на ко­то­ром изоб­ра­зим от­дель­но ме­ди­а­ну .

Рис. 7

По­сколь­ку из­вест­но, что от­ре­зок  и точ­кой , и точ­кой  де­лит­ся в от­но­ше­нии 2:1, счи­тая от вер­ши­ны , то эти точки сов­па­да­ют, т.к. у лю­бо­го от­рез­ка, оче­вид­но, такая точка толь­ко одна, т.е.  и все ме­ди­а­ны тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке .

Таким об­ра­зом, имеем, что , а из от­но­ше­ния от­рез­ков пер­вой пары рас­смот­рен­ных ме­ди­ан , из этого сле­ду­ет, что .

До­ка­за­но.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/podobnye-treugolniki/srednyaya-liniya-treugolnika

http://www.youtube.com/watch?v=W-msNxiy9VI

http://www.youtube.com/watch?v=-XFNGG9uXHI

http://www.youtube.com/watch?v=Rd5j49nvJ6I

http://malay.ucoz.ru/_ld/2/285___14___.rar

http://ru.convdocs.org/docs/index-7888.html

http://www.treugolniki.ru/srednyaya-liniya-treugolnika/

 

Файлы