8 класс. Геометрия. Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку.

8 класс. Геометрия. Свойства биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку.

Комментарии преподавателя

Свой­ства бис­сек­три­сы угла и се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра к от­рез­ку

 1. Свойство биссектрисы угла, прямая и обратная теорема

Рас­смот­рим свой­ства точки, ле­жа­щей на бис­сек­три­се угла (см. Рис. 1).

Рис. 1

Задан угол , его бис­сек­три­са AL, точка М лежит на бис­сек­три­се.

Тео­ре­ма:

Если точка М лежит на бис­сек­три­се угла, то она рав­но­уда­ле­на от сто­рон угла, то есть рас­сто­я­ния от точки М до АС и до ВС сто­рон угла равны.

До­ка­за­тель­ство:

Рас­сто­я­ние от точки до пря­мой есть длина пер­пен­ди­ку­ля­ра. Про­ве­дем из точки М пер­пен­ди­ку­ля­ры МК к сто­роне АВ и МР к сто­роне АС.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и . Это пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки, и они равны, т.к. имеют общую ги­по­те­ну­зу АМ, а углы  и  равны, так как AL – бис­сек­три­са угла . Таким об­ра­зом, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу, от­сю­да сле­ду­ет, что , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать. Таким об­ра­зом, точка на бис­сек­три­се угла рав­но­уда­ле­на от сто­рон этого угла.

Спра­вед­ли­ва об­рат­ная тео­ре­ма.

 2. Теорема о пересечении биссектрис треугольника

Если точка рав­но­уда­ле­на от сто­рон нераз­вер­ну­то­го угла, то она лежит на его бис­сек­три­се.

Рис. 2

Задан нераз­вер­ну­тый угол , точка М, такая, что рас­сто­я­ние от нее до сто­рон угла оди­на­ко­вое (см. Рис. 2).

До­ка­зать, что точка М лежит на бис­сек­три­се угла.

До­ка­за­тель­ство:

 3. Свойство серединного перпендикуляра, прямая и обратная теоремы

Рас­сто­я­ние от точки до пря­мой есть длина пер­пен­ди­ку­ля­ра. Про­ве­дем из точки М пер­пен­ди­ку­ля­ры МК к сто­роне АВ и МР к сто­роне АС.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и . Это пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки, и они равны, т.к. имеют общую ги­по­те­ну­зу АМ, ка­те­ты МК и МР равны по усло­вию. Таким об­ра­зом, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки равны по ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство со­от­вет­ству­ю­щих эле­мен­тов, про­тив рав­ных ка­те­тов лежат рав­ные углы, таким об­ра­зом, , сле­до­ва­тель­но, точка М лежит на бис­сек­три­се дан­но­го угла.

Пря­мую и об­рат­ную тео­ре­мы можно объ­еди­нить.

Тео­ре­ма

Бис­сек­три­са нераз­вер­ну­то­го угла есть гео­мет­ри­че­ское место точек, рав­но­уда­лен­ных от сто­рон дан­но­го угла.

Тео­ре­ма

Бис­сек­три­сы АА1, ВВ1, СС1 тре­уголь­ни­ка  пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке О (см. Рис. 3). 

Рис. 3

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим сна­ча­ла две бис­сек­три­сы ВВ1 и СС1. Они пе­ре­се­ка­ют­ся, точка пе­ре­се­че­ния О су­ще­ству­ет. Чтобы до­ка­зать это, пред­по­ло­жим про­тив­ное – пусть дан­ные бис­сек­три­сы не пе­ре­се­ка­ют­ся, в таком слу­чае они па­рал­лель­ны. Тогда пря­мая ВС яв­ля­ет­ся се­ку­щей, и сумма углов , это про­ти­во­ре­чит тому, что во всем тре­уголь­ни­ке сумма углов .

Итак, точка О пе­ре­се­че­ния двух бис­сек­трис су­ще­ству­ет. Рас­смот­рим ее свой­ства:

Точка О лежит на бис­сек­три­се угла , зна­чит, она рав­но­уда­ле­на от его сто­рон ВА и ВС. Если ОК – пер­пен­ди­ку­ляр к ВС, OL – пер­пен­ди­ку­ляр к ВА, то длины этих пер­пен­ди­ку­ля­ров равны – . Также точка О лежит на бис­сек­три­се угла  и рав­но­уда­ле­на от его сто­рон CВ и СА, пер­пен­ди­ку­ля­ры ОМ и ОК равны.

По­лу­чи­ли сле­ду­ю­щие ра­вен­ства:

, то есть все три пер­пен­ди­ку­ля­ра, опу­щен­ные из точки О на сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка, равны между собой.

Нас ин­те­ре­су­ет ра­вен­ство пер­пен­ди­ку­ля­ров OL и ОМ. Это ра­вен­ство го­во­рит о том, что точка О рав­но­уда­ле­на от сто­рон угла, от­сю­да сле­ду­ет, что она лежит на его бис­сек­три­се АА1.

Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли, что все три бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

Пе­рей­дем к рас­смот­ре­нию от­рез­ка, его се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра и свой­ства точки, ко­то­рая лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре.

Задан от­ре­зок АВ, р – се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр. Это зна­чит, что пря­мая р про­хо­дит через се­ре­ди­ну от­рез­ка АВ и пер­пен­ди­ку­ляр­на ему.

Тео­ре­ма

Рис. 4

Любая точка, ле­жа­щая на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре, рав­но­уда­ле­на от кон­цов от­рез­ка (см. Рис. 4).

До­ка­зать, что 

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и . Они пря­мо­уголь­ные и рав­ные, т.к. имеют общий катет ОМ, а ка­те­ты АО и ОВ равны по усло­вию, таким об­ра­зом, имеем два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка, рав­ных по двум ка­те­там. От­сю­да сле­ду­ет, что ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ков тоже равны, то есть , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

За­ме­тим, что от­ре­зок АВ яв­ля­ет­ся общей хор­дой для мно­гих окруж­но­стей.

На­при­мер, пер­вая окруж­ность с цен­тром в точке М и ра­ди­у­сом МА и МВ; вто­рая окруж­ность с цен­тром в точке N, ра­ди­у­сом NA и NB.

Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли, что если точка лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к от­рез­ку, она рав­но­уда­ле­на от кон­цов от­рез­ка (см. Рис. 5).

Рис. 5

Спра­вед­ли­ва об­рат­ная тео­ре­ма.

Тео­ре­ма

Если неко­то­рая точка М рав­но­уда­ле­на от кон­цов от­рез­ка, то она лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к этому от­рез­ку.

Задан от­ре­зок АВ, се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к нему р, точка М, рав­но­уда­лен­ная от кон­цов от­рез­ка (см. Рис. 6).

До­ка­зать, что точка М лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к от­рез­ку.

Рис. 6

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим тре­уголь­ник . Он рав­но­бед­рен­ный, так как  по усло­вию. Рас­смот­рим ме­ди­а­ну тре­уголь­ни­ка: точка О – се­ре­ди­на ос­но­ва­ния АВ, ОМ – ме­ди­а­на. Со­глас­но свой­ству рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная к его ос­но­ва­нию, яв­ля­ет­ся од­но­вре­мен­но вы­со­той и бис­сек­три­сой. От­сю­да сле­ду­ет, что . Но пря­мая р также пер­пен­ди­ку­ляр­на АВ. Мы знаем, что в точку О можно про­ве­сти един­ствен­ный пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку АВ, зна­чит, пря­мые ОМ и р сов­па­да­ют, от­сю­да сле­ду­ет, что точка М при­над­ле­жит пря­мой р, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Пря­мую и об­рат­ную тео­ре­мы можно обоб­щить.

Тео­ре­ма

Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к от­рез­ку есть гео­мет­ри­че­ское место точек, рав­но­уда­лен­ных от его кон­цов.

Тре­уголь­ник, как из­вест­но, со­сто­ит из трех от­рез­ков, зна­чит, в нем можно про­ве­сти три се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ра. Ока­зы­ва­ет­ся, что они пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

 4. Теорема о пересечении серединных перпендикуляров в треугольнике

Се­ре­дин­ные пер­пен­ди­ку­ля­ры тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке.

Задан тре­уголь­ник . Пер­пен­ди­ку­ля­ры к его сто­ро­нам: Р1 к сто­роне ВС, Р2 к сто­роне АС, Р3 к сто­роне АВ (см. Рис. 7).

До­ка­зать, что пер­пен­ди­ку­ля­ры Р1, Р2 и Р3 пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О.

Рис. 7

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим два се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ра Р2 и Р3, они пе­ре­се­ка­ют­ся, точка пе­ре­се­че­ния О су­ще­ству­ет. До­ка­жем этот факт от про­тив­но­го – пусть пер­пен­ди­ку­ля­ры Р2 и Р3 па­рал­лель­ны. Тогда угол  раз­вер­ну­тый, что про­ти­во­ре­чит тому факту, что сумма трех углов тре­уголь­ни­ка со­став­ля­ет . Итак, су­ще­ству­ет точка О пе­ре­се­че­ния двух из трех се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров. Свой­ства точки О: она лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к сто­роне АВ, зна­чит, она рав­но­уда­ле­на от кон­цов от­рез­ка АВ: . Также она лежит на се­ре­дин­ном пер­пен­ди­ку­ля­ре к сто­роне АС, зна­чит, . По­лу­чи­ли сле­ду­ю­щие ра­вен­ства:

       

Из дан­но­го ра­вен­ства нас ин­те­ре­су­ет тот факт, что , это зна­чит, что точка О рав­но­уда­ле­на от кон­цов от­рез­ка ВС, зна­чит, она при­над­ле­жит се­ре­дин­но­му пер­пен­ди­ку­ля­ру к сто­роне ВС. Таким об­ра­зом, точка О – точка пе­ре­се­че­ния трех се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров тре­уголь­ни­ка , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 5. Выводы по уроку

Итак, мы рас­смот­ре­ли свой­ства бис­сек­три­сы угла и се­ре­дин­но­го пер­пен­ди­ку­ля­ра к от­рез­ку, до­ка­за­ли неко­то­рые тео­ре­мы. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/okruzhnost/svoystva-bissektrisy-ugla-i-seredinnogo-perpendikulyara-k-otrezku

http://www.youtube.com/watch?v=c6bEzh2rDE4

http://www.youtube.com/watch?v=IFVw7_llF9M

http://www.eduprezent.ru/2011_3/file_20111124230708.ppt

http://istudy.su/wp-content/uploads/2013/01/3_%D0%91%D0%B8%D1%81%D1%81%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%B0-%D1%83%D0%B3%D0%BB%D0%B0.-%D0%9F%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%B5%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D0%BA%D1%83%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D1%8B%D0%B51-731x1024.jpg

http://mypresentation.ru/documents/5acb27a34f9c8f0ca38bd29a96e907ae/img2.jpg

http://wiki.iteach.ru/images/9/9e/%D0%9F%D0%BB%D0%B0%D0%BA%D0%B0%D1%82162.jpg

http://rushkolnik.ru/tw_files2/urls_3/891/d-890061/890061_html_m5ff065f.jpg

http://cs1-48v4.vk-cdn.net/p24/3551abddfac0c8.mp3?extra=amJxaBk9gfTT0lPmsOEwb8Rn_T2twbNJH1OUazYT-T9cSSu4_1787ibMzOu6ytv1rZKrpdEq7XnWZN1f-bjAuKyWIFf7mzw

http://nsportal.ru/sites/default/files/2012/04/01/qeomttria_8_klass_odysheva_o.v.rar

Файлы