8 класс. Геометрия. Окружность. Касательная к окружности.

8 класс. Геометрия. Окружность. Касательная к окружности.

Комментарии преподавателя

 Взаимное расположение прямой и окружности

Вспом­ним слу­чаи вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния пря­мой и окруж­но­сти.

За­да­на окруж­ность с цен­тром О и ра­ди­у­сом r. Пря­мая Р, рас­сто­я­ние от цен­тра до пря­мой, то есть пер­пен­ди­ку­ляр ОМ, равна d.

Слу­чай 1 – рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до пря­мой мень­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти:

Мы до­ка­за­ли, что в слу­чае, когда рас­сто­я­ние d мень­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти r, пря­мая и окруж­ность имеют толь­ко две общие точки (рис. 1).

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к слу­чаю 1

Слу­чай вто­рой – рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до пря­мой равно ра­ди­у­су окруж­но­сти:

Мы до­ка­за­ли, что в дан­ном слу­чае общая точка един­ствен­ная (рис. 2).

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к слу­чаю 2

Слу­чай 3 – рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до пря­мой боль­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти:                                                    

Мы до­ка­за­ли, что в дан­ном слу­чае окруж­ность и пря­мая не имеют общих точек (рис. 3).

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к слу­чаю 3

На дан­ном уроке нас ин­те­ре­су­ет вто­рой слу­чай, когда пря­мая и окруж­ность имеют един­ствен­ную общую точку.

 Определение касательной

Опре­де­ле­ние:

Пря­мая, име­ю­щая с окруж­но­стью един­ствен­ную общую точку, на­зы­ва­ет­ся ка­са­тель­ной к окруж­но­сти, общая точка на­зы­ва­ет­ся точ­кой ка­са­ния пря­мой и окруж­но­сти.

Пря­мая р – ка­са­тель­ная, точка А – точка ка­са­ния (рис. 4).

Рис. 4. Ка­са­тель­ная

 Теоремы о касательной и радиусе

Тео­ре­ма:

Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти пер­пен­ди­ку­ляр­на ра­ди­у­су, про­ве­ден­но­му в точку ка­са­ния (рис. 5).

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

До­ка­за­тель­ство:

От про­тив­но­го – пусть ОА не пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой р. В таком слу­чае, опу­стим из точки О пер­пен­ди­ку­ляр на пря­мую р, ко­то­рый будет рас­сто­я­ни­ем от цен­тра окруж­но­сти до пря­мой:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка  можем ска­зать, что ги­по­те­ну­за ОН мень­ше ка­те­та ОА, то есть , пря­мая и окруж­ность имеют две общие точки, пря­мая р яв­ля­ет­ся се­ку­щей. Таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие, а, зна­чит, тео­ре­ма до­ка­за­на.

Рис. 6. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

Спра­вед­ли­ва и об­рат­ная тео­ре­ма.

 Теорема о двух касательных

Тео­ре­ма:

Если пря­мая про­хо­дит через конец ра­ди­у­са, ле­жа­щий на окруж­но­сти, и пер­пен­ди­ку­ляр­на этому ра­ди­у­су, то она яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной.

До­ка­за­тель­ство:

По­сколь­ку пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на ра­ди­у­су, то рас­сто­я­ние ОА – это рас­сто­я­ние от пря­мой до цен­тра окруж­но­сти и оно равно ра­ди­у­су: . То есть , а в этом слу­чае, как мы ранее до­ка­зы­ва­ли, у пря­мой и окруж­но­сти един­ствен­ная общая точка – это точка А, таким об­ра­зом, пря­мая р яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к окруж­но­сти по опре­де­ле­нию (рис. 7).

Рис. 7. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

Пря­мую и об­рат­ную тео­ре­мы можно объ­еди­нить сле­ду­ю­щим об­ра­зом (рис. 8):

За­да­на окруж­ность с цен­тром О, пря­мая р, ра­ди­ус ОА

Рис. 8. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

Тео­ре­ма:

Пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной к окруж­но­сти тогда и толь­ко тогда, когда ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен ей.

Дан­ная тео­ре­ма озна­ча­ет, что если пря­мая яв­ля­ет­ся ка­са­тель­ной, то ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен ей, и на­о­бо­рот, из пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти ОА и р сле­ду­ет, что р – ка­са­тель­ная, то есть, пря­мая и окруж­ность имеют един­ствен­ную общую точку.

Рас­смот­рим две ка­са­тель­ные, про­ве­ден­ные из одной точки к окруж­но­сти.

Тео­ре­ма:

От­рез­ки ка­са­тель­ных к окруж­но­сти, про­ве­ден­ные из одной точки, равны и со­став­ля­ют рав­ные углы с пря­мой, про­ве­ден­ной через эту точку и центр окруж­но­сти.

За­да­на окруж­ность, центр О, точка А вне окруж­но­сти. Из точки А про­ве­де­ны две ка­са­тель­ные, точки В и С – точки ка­са­ния. Тре­бу­ет­ся до­ка­зать, что  и что равны углы 3 и 4.

Рис. 9. Ил­лю­стра­ция к тео­ре­ме

До­ка­за­тель­ство:

До­ка­за­тель­ство ос­но­ва­но на ра­вен­стве тре­уголь­ни­ков . Объ­яс­ним ра­вен­ство тре­уголь­ни­ков. Они яв­ля­ют­ся пря­мо­уголь­ны­ми, так как ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной. Зна­чит, углы  и  пря­мые и равны по . Ка­те­ты ОВ и ОС равны, так как яв­ля­ют­ся ра­ди­у­сом окруж­но­сти. Ги­по­те­ну­за АО – общая.

Таким об­ра­зом, тре­уголь­ни­ки равны по ра­вен­ству ка­те­та и ги­по­те­ну­зы. От­сю­да оче­вид­но, что ка­те­ты АВ и АС также равны. Также углы, ле­жа­щие на­про­тив рав­ных сто­рон, равны, зна­чит, равны углы  и .

Тео­ре­ма до­ка­за­на.

 Выводы по уроку

Итак, мы по­зна­ко­ми­лись с по­ня­ти­ем ка­са­тель­ной к окруж­но­сти, на сле­ду­ю­щем уроке мы рас­смот­рим гра­дус­ную меру дуги окруж­но­сти.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/okruzhnost/kasatelnaya-k-okruzhnosti

http://www.youtube.com/watch?v=2rvJsLoXRC8

http://www.youtube.com/watch?v=NrBvPq5lW9Q

http://www.youtube.com/watch?v=IodDOn9GTSQ

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/110-test-po-geometrii-8-klass-tema-kasatelnaya-k-okruzhnosti-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/111-test-po-geometrii-8-klass-tema-kasatelnaya-k-okruzhnosti-variant-2.html

http://gaonula.com/images/55aa5aad90ae9.jpg

http://svitppt.com.ua/images/20/19582/960/img3.jpg

 

Файлы