8 класс. Геометрия. Вписанная и описанная окружности.

8 класс. Геометрия. Вписанная и описанная окружности.

Комментарии преподавателя

Впи­сан­ная и опи­сан­ная окруж­но­сти

 

 1. Теорема об окружности, вписанной в треугольник

Пре­жде всего, речь идет о впи­сан­ных и опи­сан­ных окруж­но­стях от­но­си­тель­но тре­уголь­ни­ка. Мы под­го­тов­ле­ны к этой теме, так как изу­чи­ли свой­ства бис­сек­трис и се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров тре­уголь­ни­ка.

В любой тре­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность (см. Рис. 1).

Рис. 1

До­ка­за­тель­ство:

Мы знаем, что все бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке – пусть в точке О. Про­ве­дем бис­сек­три­сы АО, ВО, СО. Точка их пе­ре­се­че­ния О рав­но­уда­ле­на от сто­рон тре­уголь­ни­ка. Она рав­но­уда­ле­на от сто­рон угла  – АС и АВ, так как при­над­ле­жит бис­сек­три­се этого угла. Ана­ло­гич­но она рав­но­уда­ле­на от сто­рон углов  и , таким об­ра­зом, от трех сто­рон тре­уголь­ни­ка.

Опу­стим пер­пен­ди­ку­ля­ры из точки О на сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка – ОМ на сто­ро­ну АС, OL – на ВС, ОК – на АВ. Эти пер­пен­ди­ку­ля­ры и будут рас­сто­я­ни­я­ми от точки О до сто­рон тре­уголь­ни­ка, и они равны:

.

Обо­зна­чим рас­сто­я­ние от точки О до сто­рон тре­уголь­ни­ка за r и рас­смот­рим окруж­ность с цен­тром в точке О и ра­ди­у­сом r.

Окруж­ность ка­са­ет­ся пря­мой АВ, т.к. имеет с ней общую точку К, и ра­ди­ус ОК, про­ве­ден­ный в эту точку, пер­пен­ди­ку­ля­рен пря­мой АВ. Ана­ло­гич­но окруж­ность ка­са­ет­ся пря­мых АС и ВС. Таким об­ра­зом, окруж­ность ка­са­ет­ся всех тех сто­рон тре­уголь­ни­ка, зна­чит, она впи­са­на в тре­уголь­ник.

Итак, три бис­сек­три­сы тре­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в точке, яв­ля­ю­щей­ся цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти.

Рас­смот­рим еще одну тео­ре­му, она ка­са­ет­ся точки пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров тре­уголь­ни­ка. Мы знаем, что они пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке, и эта точка сов­па­да­ет с цен­тром опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти.

 2. Теорема об окружности, описанной около треугольника

Около лю­бо­го тре­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность.

Итак, задан тре­уголь­ник . Про­ве­дем се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр р1 к сто­роне тре­уголь­ни­ка ВС, р2 – к сто­роне АВ, р3 – к сто­роне АС (см. Рис. 2).

Со­глас­но тео­ре­ме о свой­ствах се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров, точка, при­над­ле­жа­щая се­ре­дин­но­му пер­пен­ди­ку­ля­ру к от­рез­ку, рав­но­уда­ле­на от кон­цов от­рез­ка. От­сю­да , т.к. точка Q при­над­ле­жит се­ре­дин­но­му пер­пен­ди­ку­ля­ру к от­рез­ку АС. Ана­ло­гич­но  и . Таким об­ра­зом, точка Q рав­но­уда­ле­на от вер­шин тре­уголь­ни­ка. От­сю­да QA, QB, QC – ра­ди­у­сы

Рис. 2

окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка . Обо­зна­чим ра­ди­ус за R. Точка О пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров – центр опи­сан­ной окруж­но­сти.

Рас­смот­рим окруж­ность, впи­сан­ную в некий че­ты­рех­уголь­ник, и свой­ства этого че­ты­рех­уголь­ни­ка (см. Рис. 3).

Вспом­ним свой­ства точки, ле­жа­щей на бис­сек­три­се угла.

Задан угол , его бис­сек­три­са – AL, точка М лежит на бис­сек­три­се.

Если точка М лежит на бис­сек­три­се угла, то она рав­но­уда­ле­на от сто­рон угла, то есть рас­сто­я­ния от точки М до АС и до ВС сто­рон угла равны.

 

Рис. 3

Рас­сто­я­ние от точки до пря­мой есть длина пер­пен­ди­ку­ля­ра. Про­ве­дем из точки М пер­пен­ди­ку­ля­ры МК к сто­роне АВ и МР к сто­роне АС.

Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и . Это пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки, и они равны, т.к. имеют общую ги­по­те­ну­зу АМ, а углы  и  равны, так как AL – бис­сек­три­са угла . Таким об­ра­зом, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки равны по ги­по­те­ну­зе и остро­му углу, от­сю­да сле­ду­ет, что , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать. Таким об­ра­зом, точка на бис­сек­три­се угла рав­но­уда­ле­на от сто­рон этого угла.

Кроме того, ка­те­ты . Таким об­ра­зом, от­рез­ки ка­са­тель­ных, про­ве­ден­ных к окруж­но­сти из одной точки, равны.

Итак, вер­нем­ся к че­ты­рех­уголь­ни­ку. Пер­вым дей­стви­ем нужно про­ве­сти в нем бис­сек­три­сы.

Все бис­сек­три­сы че­ты­рех­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке – точке О, цен­тре впи­сан­ной окруж­но­сти.

Из точки О опус­ка­ем пер­пен­ди­ку­ля­ры к сто­ро­нам че­ты­рех­уголь­ни­ка в точки K, L, M, N и опре­де­ля­ем точки ка­са­ния (см. Рис. 3).

Ка­са­тель­ные, про­ве­ден­ные к окруж­но­сти из одной точки, равны между собой, таким об­ра­зом, из каж­дой вер­ши­ны вы­хо­дит пара рав­ных ка­са­тель­ных: .

Рис. 3

Если в че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность, то суммы его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны. Это легко до­ка­зать:

;

;

Рас­кро­ем скоб­ки:

;

Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли про­стую, но важ­ную тео­ре­му.

 3. Теорема об окружности, вписанной в четырехугольник

Если в че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность, то суммы его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны.

Спра­вед­ли­ва об­рат­ная тео­ре­ма.

Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон равны, то в него можно впи­сать окруж­ность.

Рас­смот­рим окруж­ность, опи­сан­ную около че­ты­рех­уголь­ни­ка.

За­да­ны окруж­ность с цен­тром О и про­из­воль­ный че­ты­рех­уголь­ник ABCD. Рас­смот­рим свой­ства этого че­ты­рех­уголь­ни­ка. Все че­ты­ре се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ра дан­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке: эта точка – центр опи­сан­ной окруж­но­сти.

До­ка­зать, что все че­ты­ре се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ра пе­ре­се­ка­ют­ся в одной точке, было бы уто­ми­тель­но. Есть дру­гой при­знак. Рас­смот­рим угол ےА, это впи­сан­ный угол окруж­но­сти, он опи­ра­ет­ся на дугу  и из­ме­ря­ет­ся по­ло­ви­ной гра­дус­ной меры дан­ной дуги (см. Рис. 4). Обо­зна­чим угол ےА за , тогда дуга . Ана­ло­гич­но обо­зна­чим про­ти­во­по­лож­ный угол ےС за , он впи­сан в окруж­ность и опи­ра­ет­ся на дугу . От­сю­да дуга .

Рис. 4

Дуги  и  со­став­ля­ют пол­ную окруж­ность. От­сю­да:

По­де­лим по­лу­чен­ное вы­ра­же­ние на два, по­лу­ча­ем:

Итак, мы до­ка­за­ли пря­мую тео­ре­му.

Тео­ре­ма

Если около че­ты­рех­уголь­ни­ка опи­са­на окруж­ность, сумма его про­ти­во­по­лож­ных углов со­став­ля­ет .

Это есть необ­хо­ди­мый и до­ста­точ­ный при­знак, то есть спра­вед­ли­ва об­рат­ная тео­ре­ма.

img width=

 4. Теорема об окружности, описанной около четырехугольника

Если сумма про­ти­во­по­лож­ных углов че­ты­рех­уголь­ни­ка со­став­ля­ет , около этого че­ты­рех­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность.

На ос­но­ва­нии дан­ных тео­рем от­ме­тим, что во­круг па­рал­ле­ло­грам­ма нель­зя опи­сать окруж­ность, так как его про­ти­во­по­лож­ные углы равны, и их сумма не равна  (см. Рис. 5).

Рис. 5

Около па­рал­ле­ло­грам­ма можно было бы опи­сать окруж­ность, если бы его про­ти­во­по­лож­ные углы были равны по 90°, то есть если бы он был пря­мо­уголь­ни­ком, таким об­ра­зом, около пря­мо­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность (см. Рис. 6).

Рис. 6

Около ромба также нель­зя опи­сать окруж­ность, но можно впи­сать, так как все сто­ро­ны ромба равны, и таким об­ра­зом, суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон ромба равны.

Кроме того, у ромба каж­дая диа­го­наль яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой, точка пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис рав­но­уда­ле­на от всех сто­рон ромба (см. Рис. 7).

Рис. 7

 5. Выводы по уроку

Итак, мы до­ка­за­ли, что в любой тре­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность, и центр этой окруж­но­сти сов­па­да­ет с точ­кой пе­ре­се­че­ния бис­сек­трис тре­уголь­ни­ка. Мы также до­ка­за­ли, что около лю­бо­го тре­уголь­ни­ка можно опи­сать окруж­ность, и ее центр сов­па­дет с точ­кой пе­ре­се­че­ния се­ре­дин­ных пер­пен­ди­ку­ля­ров. Кроме того, мы уви­де­ли, что в неко­то­рые че­ты­рех­уголь­ни­ки можно впи­сать окруж­ность, и для этого нужно, чтобы суммы про­ти­во­по­лож­ных сто­рон че­ты­рех­уголь­ни­ка были равны. Мы также по­ка­за­ли, что около неко­то­рых че­ты­рех­уголь­ни­ков можно опи­сать окруж­ность, и необ­хо­ди­мым и до­ста­точ­ным усло­ви­ем для этого яв­ля­ет­ся ра­вен­ство суммы про­ти­во­по­лож­ных углов .

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/okruzhnost/vpisannaya-i-opisannaya-okruzhnosti

http://www.youtube.com/watch?v=kGgwyLfKvgI

http://www.youtube.com/watch?v=wxBuTX1osN8

http://www.youtube.com/watch?v=6QbpYXctDCM

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/116-test-po-geometrii-8-klass-tema-vpisannye-i-opisannye-okruzhnosti-variant-1.html

http://metodbook.ru/index.php/matematika/13-testy-po-geometrii-8-klass/117-test-po-geometrii-8-klass-tema-vpisannye-i-opisannye-okruzhnosti-variant-2.html

http://auto.ur.ru/img/books_covers/1007081838.jpg

 

Файлы