8 класс. Геометрия. Окружность. Вписанная окружность.
8 класс. Геометрия. Окружность. Вписанная окружность.
Комментарии преподавателя
Вписанная окружность
1. Опорные определения
Начнем с напоминания важных опорных фактов, и первый факт – это касание прямой и окружности.
Задана окружность с центром О и радиусом r (см. Рис. 1). А – общая точка прямой и окружности. Если такая точка единственная, то прямая р – касательная к окружности. Радиус ОА, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной р.
Справедливо обратное: если А – общая точка прямой и окружности, и радиус, проведенный в эту точку, перпендикулярен прямой, то общая точка единственная, и прямая р – касательная.
Рис. 1
Рассмотрим касание окружности сторонами угла (см. Рис. 2).
Помним, что биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон данного угла.
Точка О лежит на биссектрисе: перпендикуляр ОА к прямой а, ОВ – к прямой В, 
.
Построим окружность радиусом ОА.
Рис. 2
Утверждаем, что окружность касается прямой а, т.к. А – общая точка прямой а и окружности, и она единственная (радиус ОА перпендикулярен прямой). Аналогично прямая b касается окружности.
Таким образом, имеем окружность, вписанную в угол.
Многоугольник имеет несколько углов и несколько сторон, мы готовы дать определение вписанной в него окружности.
2. Определение вписанной окружности
Окружность называется вписанной в многоугольник, если касается всех его сторон.
Мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники, рассмотрим пример – окружность вписана в выпуклый четырехугольник:
Как получить центр и радиус вписанной окружности?
Мы знаем, что точка О – центр, лежит на биссектрисе угла А, вписана в угол А, аналогично точка О лежит на биссектрисе каждого угла и вписана в каждый угол.
Таким образом, все биссектрисы четырехугольника пересекаются в одной точке – точке О.
Строим биссектрисы, на их пересечении получаем центр окружности. Из точки О опускаем перпендикуляры к сторонам
Рис. 3
четырехугольника в точки K, L, M, N. Касательные, проведенные к окружности из одной точки, равны между собой, таким образом, из каждой вершины выходит пара равных касательных – 
, 
, 
, 
.
3. Теоремы о четырехугольниках, описанных около окружности
В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Дано: окружность с центром О вписана в четырехугольник ABCD. Четырехугольник ABCD описан около окружности. Таким образом, описанный четырехугольник – это такой четырехугольник, в который можно вписать окружность (см. Рис. 4)_.
Доказать: 
Рис. 4
Доказательство:
Запишем равенство через отрезки касательных:
; 
; 
; 
;
;
Раскроем скобки:
;
Таким образом, суммы противоположных сторон четырехугольника, описанного около окружности, равны, что и требовалось доказать.
Итак, если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
Справедлива обратная теорема.
Теорема
Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, в него можно вписать окружность.
Это важная теорема, так как центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис. Отсюда, если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, его биссектрисы пересекутся в одной точке.
Данную теорему мы доказывать не будем.
Прямую и обратную теоремы можно объединить.
Теорема
В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
4. Примеры четырехугольников, в которые можно и нельзя вписать окружность
Приведем конкретные примеры четырехугольников, в которые можно вписать окружность и в которые нельзя вписать окружность.
Ромб
У ромба все стороны равны, отсюда суммы противоположных сторон равны, значит, в ромб можно вписать окружность (см. Рис. 5). Кроме того, мы знаем, что диагонали ромба перпендикулярны и делят углы ромба пополам. Значит, каждая диагональ – это биссектриса, биссектрисы всех четырех углов пересеклись в одной точке – точке О. О – центр вписанной окружности.
Рис. 5
Квадрат
Квадрат – частный случай ромба, в него также можно вписать окружность (см. Рис. 6).
Рис. 6
Прямоугольник
В прямоугольник нельзя вписать окружность (см. Рис. 7), это очевидно из рисунка – суммы противоположных сторон не равны, т.к. противоположные стороны равны между собой, а соседние не равны:
Рис. 7
5. Теорема об окружности, вписанной в треугольник
В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну (см. Рис. 8).
Рис. 8
Доказательство:
Мы знаем, что все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке – пусть в точке О. Проведем биссектрисы АО, ВО, СО. Точка их пересечения О равноудалена от сторон треугольника. Она равноудалена от сторон угла 
– АС и АВ, так как принадлежит биссектрисе этого угла. Аналогично она равноудалена от сторон углов 
и 
, таким образом, от трех сторон треугольника.
Опустим перпендикуляры из точки О на стороны треугольника – ОМ на сторону АС, OL – на ВС, ОК – на АВ. Эти перпендикуляры и будут расстояниями от точки О до сторон треугольника, и они равны:
.
Обозначим расстояние от точки О до сторон треугольника за r и рассмотрим окружность с центром в точке О и радиусом r.
Окружность касается прямой АВ, т.к. имеет с ней общую точку К, и радиус ОК, проведенный в эту точку, перпендикулярен прямой АВ. Аналогично окружность касается прямых АС и ВС. Таким образом, окружность касается всех тех сторон треугольника, значит, она вписана в треугольник.
Докажем, что данная вписанная окружность единственная. Если бы была вторая окружность, ее центр был бы равноудален от всех сторон треугольника и лежал бы на пересечении всех биссектрис. Но все биссектрисы пересекаются в единственной точке – точке О, таким образом, и вписанная окружность в треугольник единственная.
6. Выводы по уроку
Итак, мы ознакомились с понятием вписанной окружности и доказали некоторые важные теоремы. В следующем уроке мы рассмотрим описанную окружность.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/okruzhnost/vpisannaya-okruzhnost
http://www.youtube.com/watch?v=kGgwyLfKvgI
http://www.youtube.com/watch?v=anExTX9sEkQ
http://insuredsecured.com/images/560873dbaa6f5.jpg
http://otvet.imgsmail.ru/download/d8fc62f744e584d0d24aeaf99f0b82df_i-149.jpg
http://auto.ur.ru/img/books_covers/1007081838.jpg