8 класс. Геометрия. Векторы. Сложение и вычитание векторов.
8 класс. Геометрия. Векторы. Сложение и вычитание векторов.
Комментарии преподавателя
Сложение и вычитание векторов
1. Сумма двух векторов, правило треугольника
На предыдущем уроке мы определили понятие вектора, сказали, какие векторы называются равными, коллинеарными, сонаправленными и противонаправленными.
Теперь пусть задано два вектора – вектора 
и 
. Найдем сумму этих двух векторов 
. Для этого отложим из некоторой точки А вектор 
. Из точки В отложим вектор 
. Тогда вектор 
называют суммой заданных векторов: 
(см. Рис. 1).
Рис. 1
Данное определение можно объяснить так: пусть был задан груз, и сначала на него подействовала сила – он переместился из точки А в точку В, после этого подействовала сила – груз переместился из точки В в точку С. Но в результате действия двух этих сил груз переместился из точки А в точку С.
Таким образом, мы получили определение суммы двух векторов – правило треугольника.
Правило треугольника
Для того чтобы получить сумму двух векторов, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из конца полученного вектора отложить второй вектор, и построить вектор, соединяющий начало первого с концом второго – это и будет сумма двух векторов.
Можно провести аналогию с числами. Мы ввели понятие числа, научились складывать числа, определили законы сложения и так далее. Теперь мы ввели понятие вектора, научились находить равные вектора, складывать вектора. Теперь нужно определить законы сложения.
2. Законы сложения векторов, правило параллелограмма
Законы сложения векторов
Для любых векторов , и 
справедливы следующие равенства:
– переместительный закон.
Доказательство: отложим из точки сначала вектор , получаем точку В, из нее откладываем вектор , получаем точку С и вектор 
.
Теперь отложим из точки А сначала вектор 
получим точку В, из нее отложим вектор
, получим точку С и вектор 
.
Чтобы доказать равенство полученных векторов, выполним оба построения из одной точки и получим таким образом правило параллелограмма (см. Рис. 2).
Рис. 2
Откладываем из точки А вектор и вектор 
. Из точки В откладываем вектор , вектора 
и 
равны, а значит, стороны ВС и АВ1 четырехугольника АВСВ1 параллельны. Аналогично параллельны и стороны АВ и В1С, таким образом, мы получили параллелограмм. АС – диагональ параллелограмма. 
, таким образом, мы доказали переместительный
Рис. 3
закон сложения векторов и получили правило параллелограмма (см. Рис. 3).
Правило параллелограмма
Чтобы получить сумму двух векторов, нужно из произвольной точки отложить эти два вектора и построить на них параллелограмм. Диагональ параллелограмма, исходящая из начальной точки, и будет суммой заданных векторов.
– сочетательный закон;
Из произвольной точки А отложим вектор , прибавим к нему вектор , получим их сумму . К этой сумме прибавим вектор , получим результат 
(см. Рис. 4).
Рис. 4
В правой части выражения мы сначала получили сумму векторов 
, после прибавили ее к вектору и получили результат: 
(см. Рис. 5).
Таким образом, мы доказали сочетательный закон сложения векторов.
Рис. 5
3. Правило сложения нескольких векторов
Правило многоугольника
Чтобы сложить несколько векторов, нужно из произвольной точки отложить первый вектор, из его конца отложить второй вектор, из конца второго вектора отложить третий и так далее; когда все векторы отложены, соединив начальную точку с концом последнего вектора, получим сумму нескольких векторов (см. Рис. 6).
Рис. 6
По аналогии с действительными числами после того, как мы научились их складывать, нужна обратная операция – вычитание.
4. Правило вычитания векторов
Пусть задано два вектора – векторы и . Найдем разность этих двух векторов 
.
Определение
Разностью двух векторов и называют такой третий вектор, сумма которого с вектором равна вектору .
Если задан вектор , то можно построить противоположный ему вектор 
, который будет равен по длине, но противонаправлен. Сумма противоположных векторов всегда есть нулевой вектор: 
. Таким образом, 
.
Отложим из произвольной точки вектор , из его конца отложим вектор 
, получим в результате вектор (см. Рис. 7).
Рис. 7
Рассмотрим вычитание векторов на параллелограмме. Из точки А отложим векторы и 
. Из точек В и D отложим векторв и 
соответственно. Диагональ АС – это сумма векторов и : . Но в параллелограмме есть еще вторая диагональ – BD. Прибавим к вектору 
вектор 
, получим вектор 
(см. Рис. 8).
Рис. 8
Итак, на данном уроке мы вывели правила сложения и вычитания векторов при помощи треугольника и параллелограмма, сформулировали законы сложения векторов.
ИСТЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/vektory/slozhenie-i-vychitanie-vektorov
http://www.youtube.com/watch?v=r8icqcsv5AQ
http://www.youtube.com/watch?v=KYaz65dkg2c
http://metodbook.ru/index.php/matematika/9-testy-po-geometrii-9-klass/4-test-po-geometrii-9-klass-tema-slozhenie-i-vychitanie-vektorov-variant-1.html
http://gdz-matem.ru/8class/25-9.2-slozhenie-i-vychitanie-vektorov.html
http://www.lenbaza.ru/baza/pict/111.jpg