7 класс. Геометрия. Окружность. Типовые задачи.

7 класс. Геометрия. Окружность. Типовые задачи.

Комментарии преподавателя

 Определение окружности и ее элементов

Окруж­ность – это гео­мет­ри­че­ская фи­гу­ра, со­сто­я­щая из мно­же­ства точек, ко­то­рые рав­но­уда­ле­ны от за­дан­ной точки.

На ри­сун­ке 1 изоб­ра­же­на окруж­ность.

Рис. 1. Окруж­ность

Со­кра­щен­ная за­пись за­дан­ной окруж­но­сти – это Окр (O, r), что чи­та­ет­ся: «Окруж­ность с цен­тром в точке О и ра­ди­у­сом r». Точка, от ко­то­рой осталь­ные точки яв­ля­ют­ся рав­но­уда­лен­ны­ми, на­зы­ва­ет­ся цен­тром окруж­но­сти. От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий центр и точку, ле­жа­щую на окруж­но­сти, на­зы­ва­ет­ся ра­ди­у­сом. Если со­еди­нить две точки, ле­жа­щие на окруж­но­сти, можно про­ве­сти от­ре­зок, ко­то­рый на­зы­ва­ет­ся хор­дой. Хорда, про­хо­дя­щая через центр окруж­но­сти, на­зы­ва­ет­ся диа­мет­ром.

Таким об­ра­зом, су­ще­ству­ют сле­ду­ю­щие обо­зна­че­ния:

О – центр окруж­но­сти;

OM = r – ра­ди­ус окруж­но­сти;

OM = ON = r – ра­ди­у­сы окруж­но­сти;

MN – хорда;

АМ – диа­метр;

АM = 2r – связь между ра­ди­у­сом и диа­мет­ром.

 Решение задач

Любые две точки рас­се­ка­ют окруж­ность на две дуги, на­при­мер: дуги NLMи NAM для за­дан­ных точек N и M.

При­мер 1: На ри­сун­ке 2 изоб­ра­же­на окруж­ность. Опре­де­лить центр, ра­ди­ус, хорды, диа­метр и воз­мож­ные дуги.

Ре­ше­ние:

Рис. 2. Чер­теж к при­ме­ру 1

Опре­де­лим ос­нов­ные эле­мен­ты дан­ной окруж­но­сти:

О – центр окруж­но­сти;

OE = OD = OA = OC – ра­ди­у­сы окруж­но­сти;

EF, BA – хорды;

DС – диа­метр.

В дан­ный мо­мент вспом­ним опре­де­ле­ние круга. Круг – это часть плос­ко­сти, огра­ни­чен­ная окруж­но­стью. Со­вер­шен­но по­нят­но, что раз­ли­чие окруж­но­сти от круга сле­ду­ю­щее: окруж­ность – это линия, а круг – это часть плос­ко­сти, ко­то­рую огра­ни­чи­ва­ет дан­ная линия. К при­ме­ру, на ри­сун­ке 3 изоб­ра­жен круг.

                                                                   

Рис. 3. Круг

При­мер 2: На ри­сун­ке изоб­ра­же­на окруж­ность с диа­мет­ра­ми АВ и СD. До­ка­жи­те, что хорды АС и BD равны. До­ка­жи­те, что хорды ВС и АD равны. До­ка­жи­те, что углы BАD и BСD равны.

                                                  

Рис. 4. Чер­теж к при­ме­ру 2

Ре­ше­ние:

Для на­ча­ла вы­яс­ним, что СО = ОD = ОВ = ОА, так как ука­зан­ные от­рез­ки – ра­ди­у­сы одной и той же окруж­но­сти.  Будем до­ка­зы­вать ука­зан­ные утвер­жде­ния це­поч­ка­ми тре­уголь­ни­ков. На­при­мер,  по пер­во­му при­зна­ку, так как ОВ = ОА как ра­ди­у­сы, СО = ОD ана­ло­гич­но,  как вер­ти­каль­ные. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что АС = ВD.

Далее до­ка­жем, что  ана­ло­гич­но по пер­во­му при­зна­ку. ОD = ОА, СО = ОВ как ра­ди­у­сы, а  как вер­ти­каль­ные. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что АD = ВC.

Далее до­ка­жем, что  по тре­тье­му при­зна­ку. АD – общая сто­ро­на у тре­уголь­ни­ков, АС = ВD по до­ка­зан­но­му утвер­жде­нию в п. 1, АВ = СD как диа­мет­ры окруж­но­сти. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет, что 

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

При­мер 3: от­ре­зок МК – диа­метр окруж­но­сти, а РМ и РК – рав­ные хорды. Най­ди­те угол РОМ.

                                          

Рис. 5. Чер­теж к при­ме­ру 3

Ре­ше­ние:

По опре­де­ле­нию,   – рав­но­бед­рен­ный, так как РК = РМ. По­сколь­ку ОК – ОМ – ра­ди­у­сы окруж­но­стей, то РО – ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию . По свой­ству рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию, яв­ля­ет­ся вы­со­той, со­от­вет­ствен­но,.

Ответ: 90°.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/okruzhnost-4

http://www.youtube.com/watch?v=qj515IEM3qA

http://nsportal.ru/sites/default/files/2012/02/26/geometriya7.ppt

http://school-assistant.ru/?predmet=matematika&theme=okruznost_i_krug

http://gaonula.com/images/55aa5aad90ae9.jpg

http://i.ytimg.com/vi/suVm1I42W1k/maxresdefault.jpg

 

Файлы