7 класс. Геометрия. Равнобедренный треугольник и его свойства.

7 класс. Геометрия. Равнобедренный треугольник и его свойства.

Комментарии преподавателя

 Определение равнобедренного треугольника

Опре­де­ле­ние: Рав­но­бед­рен­ным на­зы­ва­ет­ся тре­уголь­ник, у ко­то­ро­го равны две сто­ро­ны.

Рис. 1. Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник

АВ = АС – бо­ко­вые сто­ро­ны. ВС – ос­но­ва­ние.

Пло­щадь рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­вине про­из­ве­де­ния его ос­но­ва­ния на вы­со­ту.

 Определение равностороннего треугольника

Опре­де­ле­ние: Рав­но­сто­рон­ним на­зы­ва­ет­ся тре­уголь­ник, у ко­то­ро­го все три сто­ро­ны равны.

Рис. 2. Рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник

АВ = ВС = СА.

Пло­щадь рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна S = \frac{\sqrt 3}{4} a^2 = \frac{3 \sqrt 3}{4} R^2 = 3 \sqrt 3 r^2 = \frac{\sqrt 3}{36} P^2

 Теорема о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника

Тео­ре­ма 1: В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке углы при ос­но­ва­нии равны.

Дано: АВ = АС.

До­ка­зать: ∠В =∠С.

Рис. 3. Чер­теж к тео­ре­ме

До­ка­за­тель­ство: тре­уголь­ник АВС = тре­уголь­ни­ку АСВ по пер­во­му при­зна­ку (по двум рав­ным сто­ро­нам и углу между ними). Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство всех со­от­вет­ству­ю­щих эле­мен­тов. Зна­чит, ∠В = ∠С, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 Теорема о биссектрисе (медиане, высоте), проведенной к основанию равнобедренного треугольника

Тео­ре­ма 2: В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке бис­сек­три­са, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию, яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной и вы­со­той.

Дано: АВ = АС, ∠1 = ∠2.

До­ка­зать: ВD = DC, AD пер­пен­ди­ку­ляр­но BC.

 

Рис. 4. Чер­теж к тео­ре­ме 2

До­ка­за­тель­ство: тре­уголь­ник ADB = тре­уголь­ни­ку ADC по пер­во­му при­зна­ку (AD – общая, АВ = АС по усло­вию, ∠BAD = ∠DAC). Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство всех со­от­вет­ству­ю­щих эле­мен­тов. BD = DC, так как они лежат про­тив рав­ных углов. Зна­чит, AD яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной. Также ∠3 = ∠4, по­сколь­ку они лежат про­тив рав­ных сто­рон. Но, к тому же, они в сумме рав­ня­ют­ся . Сле­до­ва­тель­но, ∠3 = ∠4 = . Зна­чит, AD яв­ля­ет­ся вы­со­той тре­уголь­ни­ка, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

В един­ствен­ном слу­чае a = b = . В этом слу­чае пря­мые АС и ВD на­зы­ва­ют­ся пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми.

По­сколь­ку бис­сек­три­сой, вы­со­той и ме­ди­а­ной яв­ля­ет­ся один и тот же от­ре­зок, то спра­вед­ли­вы и сле­ду­ю­щие утвер­жде­ния:

- Вы­со­та рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию, яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной и бис­сек­три­сой.

- Ме­ди­а­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию, яв­ля­ет­ся вы­со­той и бис­сек­три­сой.

 Решение задач

При­мер 1: В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке ос­но­ва­ние в два раза мень­ше бо­ко­вой сто­ро­ны, а пе­ри­метр равен 50 см. Най­ди­те сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка.

Дано: АВ = АС, ВС = AC. Р = 50 см.

Найти: ВС, АС, АВ.

Ре­ше­ние:

Рис. 5. Чер­теж к при­ме­ру 1

Обо­зна­чим ос­но­ва­ние ВС как а, тогда АВ = АС = 2а.

2а + 2а + а = 50.

5а = 50, а = 10.

Ответ: ВС = 10 см, АС = АВ = 20 см.

При­мер 2: До­ка­жи­те, что в рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке все углы равны.

Дано: АВ = ВС = СА.

До­ка­зать: ∠А = ∠В = ∠С.

До­ка­за­тель­ство:

Рис. 6. Чер­теж к при­ме­ру       

∠В = ∠С, так как АВ=АС, а ∠А = ∠В, так как АС = ВС.                           

Сле­до­ва­тель­но, ∠А = ∠В = ∠С, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Ответ: До­ка­за­но.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/treugolnikib/ravnobedrennyy-treugolnik-i-ego-svoystva

http://www.youtube.com/watch?v=i45BFcjW_hs

http://www.youtube.com/watch?v=B_NvaxkkF2Q

http://school-assistant.ru/?predmet=geometr&theme=ravnobedrennij_treugolnik

http://nsportal.ru/sites/default/files/2014/11/24/7.rar

 

Файлы