7 класс. Геометрия. Параллельные прямые. Свойства параллельных прямых.

7 класс. Геометрия. Параллельные прямые. Свойства параллельных прямых.

Комментарии преподавателя

 Аксиома

Опре­де­ле­ние:

Две пря­мые на­зы­ва­ют­ся па­рал­лель­ны­ми, если они не пе­ре­се­ка­ют­ся (Рис. 1). Обо­зна­ча­ет­ся это так: .

Рис. 1

Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, про­хо­дит толь­ко одна пря­мая, па­рал­лель­ная дан­ной(Рис. 2).

Рис. 2

 Cледствия из аксиомы

След­ствие1:

Если пря­мая пе­ре­се­ка­ет одну из па­рал­лель­ных пря­мых, то она пе­ре­се­ка­ет и дру­гую.

Рис. 3

Дано:.

До­ка­зать:.

До­ка­за­тель­ство:

Будем до­ка­зы­вать от про­тив­но­го. Пред­по­ло­жим, что с не пе­ре­се­ка­ет пря­мую b(Рис. 4). 

Рис. 4

Тогда:(по усло­вию), (по пред­по­ло­же­нию). То есть через точку М про­хо­дят две пря­мые (а и c), па­рал­лель­ные пря­мой b. А это про­ти­во­ре­чит ак­сио­ме. Зна­чит, наше пред­по­ло­же­ние невер­ное. Тогда пря­мая c пе­ре­се­чет пря­мую b.

След­ствие 2:

Если две пря­мые па­рал­лель­ны тре­тьей пря­мой, то они па­рал­лель­ны(Рис. 5).

Рис. 5

Дано:.

До­ка­зать:.

До­ка­за­тель­ство:

Будем до­ка­зы­вать от про­тив­но­го. Пред­по­ло­жим, что пря­мые a и bпе­ре­се­ка­ют­ся в неко­то­рой точке М (Рис. 6).

Рис. 6

Таким об­ра­зом, по­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие с ак­си­о­мой: через точку М про­хо­дят две пря­мые, од­но­вре­мен­но па­рал­лель­ные тре­тьей пря­мой.

Сле­до­ва­тель­но, наше пред­по­ло­же­ние невер­но. Тогда .

 Теоремы о свойствах параллельных прямы

Тео­ре­ма 1:

Если две пря­мые пе­ре­се­че­ны се­ку­щей, то на­крест ле­жа­щие углы равны(Рис. 7).

Рис. 7

Дано:.

До­ка­зать:.

До­ка­за­тель­ство:

Будем до­ка­зы­вать от про­тив­но­го. Пред­по­ло­жим, что: .

Тогда от луча MNможно от­ло­жить един­ствен­ный угол PMN, ко­то­рый будет равен 2 (Рис. 7). Но тогда PMNи – на­крест ле­жа­щие и равны. Тогда пря­мые PMи b–  па­рал­лель­ны. Тогда через точку М про­хо­дят две пря­мые, па­рал­лель­ные тре­тьей. А имен­но:

По­лу­ча­ем про­ти­во­ре­чие с ак­си­о­мой. Зна­чит, наше пред­по­ло­же­ние невер­но. То есть: .

След­ствие:

Если пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­на одной из па­рал­лель­ных пря­мых, то она пер­пен­ди­ку­ляр­на и вто­рой.

Рис. 8

Дано:

До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство:

1.      с пе­ре­се­ка­ет а, а зна­чит, и пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ную ей пря­мую, то есть b. Тогда с – се­ку­щая по от­но­ше­нию к а и b.

2.      по­сколь­ку они яв­ля­ют­ся на­крест ле­жа­щи­ми. Тогда . То есть.

Тео­ре­ма 2:

Если две па­рал­лель­ные пря­мые пе­ре­се­че­ны се­ку­щей, то со­от­вет­ствен­ные углы равны.

Рис. 9

Дано: – се­ку­щая.

До­ка­зать: (Рис. 9).

До­ка­за­тель­ство:

Если , то из преды­ду­щей тео­ре­мы сле­ду­ет, что на­крест ле­жа­щие углы равны. То есть .

Тогда, по свой­ству вер­ти­каль­ных углов, .

Зна­чит, , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

Тео­ре­ма 3:

Если две па­рал­лель­ные пря­мые пе­ре­се­че­ны се­ку­щей, то сумма од­но­сто­рон­них углов равна 180°.

Рис. 10

Дано: – се­ку­щая.

До­ка­зать:.

До­ка­за­тель­ство:

Из того, что , вы­те­ка­ет, что ∠1 = ∠3, в силу преды­ду­щей тео­ре­мы. Но по свой­ству смеж­ных углов. Тогда , что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/parallelnye-pryamye/svoystva-parallelnyh-pryamyh

http://www.youtube.com/watch?v=q8-j4QfcpT4

http://www.youtube.com/watch?v=_fJkecAiJY0

http://www.youtube.com/watch?v=risGedETr-8

http://pedsovet.su/_ld/434/43400__7.ppt

http://100ballov.kz/mod/page/view.php?id=499

http://wiki.eduvdom.com/subjects/geometry/%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B8_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%B4%D0%B2%D1%83%D1%85_%D0%BF%D1%80%D1%8F%D0%BC%D1%8B%D1%85

 

Файлы