7 класс. Геометрия. Смежные и вертикальные углы.

7 класс. Геометрия. Смежные и вертикальные углы.

Комментарии преподавателя

 Понятие «смежные углы», сумма смежных углов

Нач­нем наш урок с по­ня­тия «смеж­ные углы». На ри­сун­ке 1 изоб­ра­жен раз­вер­ну­тый угол ∠АОС и луч ОВ, ко­то­рый делит дан­ный угол на 2 угла.

                                

Рис. 1. Угол ∠АОС

Рас­смот­рим углы ∠АОВ и ∠ВОС. Вполне оче­вид­но, что они имеют общую сто­ро­ну ВО, а сто­ро­ны АО и ОС яв­ля­ют­ся про­ти­во­ле­жа­щи­ми. Лучи ОА и ОС до­пол­ня­ют друг друга, а зна­чит, они лежат на одной пря­мой. Углы ∠АОВ и ∠ВОС яв­ля­ют­ся смеж­ны­ми.

Опре­де­ле­ние: Если два угла имеют общую сто­ро­ну, а две дру­гие сто­ро­ны яв­ля­ют­ся до­пол­ня­ю­щи­ми лу­ча­ми, то дан­ные углы на­зы­ва­ют­ся смеж­ны­ми.

Тео­ре­ма 1: Сумма смеж­ных углов – 180о.

                              

Рис. 2. Чер­теж к тео­ре­ме 1

∠МОL + ∠LON = 180o. Дан­ное утвер­жде­ние яв­ля­ет­ся вер­ным, так как луч OL делит раз­вер­ну­тый угол ∠MON на два смеж­ных угла. То есть мы не знаем гра­дус­ных мер ни од­но­го из смеж­ных углов, а знаем лишь их сумму – 180о.

 Вертикальные углы

Рас­смот­рим пе­ре­се­че­ние двух пря­мых. На ри­сун­ке изоб­ра­же­но пе­ре­се­че­ние двух пря­мых  в точке О.

    

Рис. 3. Вер­ти­каль­ные углы ∠ВОА и ∠СОD

Опре­де­ле­ние: Если сто­ро­ны од­но­го угла яв­ля­ют­ся про­дол­же­ни­ем вто­ро­го угла, то такие углы на­зы­ва­ют­ся вер­ти­каль­ны­ми. Имен­но по­это­му на ри­сун­ке изоб­ра­же­но две пары вер­ти­каль­ных углов: ∠АОВ и ∠СОD, а также ∠AOD и ∠ВОС.

Тео­ре­ма 2: Вер­ти­каль­ные углы равны.

Ис­поль­зу­ем ри­су­нок 3. Рас­смот­рим раз­вер­ну­тый угол ∠АОС. ∠АОВ = ∠АОС – ∠ВОС = 180о – β. Рас­смот­рим раз­вер­ну­тый угол ∠ВОD. ∠CОD = ∠BОD – ∠BОС = 180о – β.

Из этих со­об­ра­же­ний мы де­ла­ем вывод, что ∠АОВ = ∠СОD = α. Ана­ло­гич­но, ∠AOD = ∠ВОС = β.

 Следствия из теорем о смежных и вертикальных углах

След­ствие 1: Угол между бис­сек­три­са­ми смеж­ных углов равен 90о.

                             

Рис. 4. Чер­теж к след­ствию 1

По­сколь­ку ОL – бис­сек­три­са угла ∠ВОА, то угол ∠LOB =  , ана­ло­гич­но ∠ВОК =  . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK =  +    =  . Сумма углов α + β равна 180о, по­сколь­ку дан­ные углы – смеж­ные.

След­ствие 2: Угол между бис­сек­три­са­ми вер­ти­каль­ных углов равен 180о.

                  

Рис. 5. Чер­теж к след­ствию 2

Оче­вид­но, что ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL =  o. Сумма углов α + β равна 180о, так как дан­ные углы – смеж­ные.

 Задачи

Рас­смот­рим неко­то­рые за­да­чи:

При­мер 1:

Най­ди­те угол, смеж­ный с ∠АOС, если ∠АOС = 111о.

Ре­ше­ние:

Вы­пол­ним чер­теж к за­да­че:

                             

Рис. 6. Чер­теж к при­ме­ру 1

Ре­ше­ние

По­сколь­ку ∠АОС = β и ∠СOD = α смеж­ные углы, то α + β = 180о. То есть 111о + β = 180о.

Зна­чит, β = 69о.

Этот тип задач экс­плу­а­ти­ру­ет тео­ре­му о сумме смеж­ных углов.

При­мер 2:

Один из смеж­ных углов пря­мой, каким (ост­рым, тупым или пря­мым) яв­ля­ет­ся дру­гой угол?

Ре­ше­ние:

Если один из углов пря­мой, а сумма двух углов 180о, то и дру­гой угол тоже пря­мой. Эта за­да­ча про­ве­ря­ет зна­ния о сумме смеж­ных углов.

При­мер 3:

Верно ли, что если смеж­ные углы равны, то они пря­мые?

Ре­ше­ние:

Со­ста­вим урав­не­ние: α + β = 180о, но по­сколь­ку α = β, то β + β = 180о, зна­чит, β = 90о.

Ответ: Да, утвер­жде­ние верно.

При­мер 4:

Даны два рав­ных угла. Верно ли, что и смеж­ные им углы тоже будут равны?

Ре­ше­ние:

                                                   

Рис. 7. Чер­теж к при­ме­ру 4

Если два угла равны α, то со­от­вет­ству­ю­щие им смеж­ные углы будут 180о – α. То есть они будут равны между собой.

Ответ: Утвер­жде­ние верно.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/7-klass/nachalnye-geometricheskie-svedeniya/smezhnye-i-vertikalnye-ugly

http://www.youtube.com/watch?v=i787jb_oWzc

http://www.youtube.com/watch?v=hFHoprRwoCE

http://www.youtube.com/watch?v=ZUuItx4QsXY

http://school-assistant.ru/?predmet=geometr&theme=vertikalnie_i_smeznie_ugli

http://istudy.su/wp-content/uploads/2013/01/2_%D0%A1%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D0%B8-%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5-%D1%83%D0%B3%D0%BB%D1%8B-731x1024.jpg

https://www.euroki.net/books/gdzs/1204/585711.png

http://www.uchportal.ru/_ld/339/33950____.rar

 

Файлы