10 класс. Геометрия. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

10 класс. Геометрия. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

Комментарии преподавателя

От­ме­тим, что сло­же­ние век­то­ров про­из­во­дит­ся ана­ло­гич­но пла­ни­мет­рии, толь­ко все дей­ствия вы­пол­ня­ют­ся в про­стран­стве.

Итак, пусть за­да­ны два про­из­воль­ных век­то­ра в про­стран­стве (рис. 1):

Рис. 1. Про­из­воль­ные век­то­ры в про­стран­стве

Опре­де­лим, что же на­зы­ва­ет­ся сум­мой двух этих век­то­ров.

Точно так же, как в пла­ни­мет­рии, из любой удоб­ной точки, на­зо­вем ее точ­кой А, можно един­ствен­ным об­ра­зом от­ло­жить век­тор, рав­ный век­то­ру . На­пом­ним, что за­дан­ные век­то­ры, как и любые дру­гие, сво­бод­ны, важно лишь на­прав­ле­ние и длина, сам век­тор можно па­рал­лель­но пе­ре­но­сить в любое место как на плос­ко­сти, так и в про­стран­стве. Так, мы по­лу­чи­ли век­тор  – в ре­зуль­та­те дей­ствия век­то­ра  точка А пе­ре­ме­сти­лась в точку В. Те­перь из точки В от­кла­ды­ва­ем един­ствен­но воз­мож­ным об­ра­зом век­тор , по­лу­ча­ем век­тор  – так, в ре­зуль­та­те дей­ствия век­то­ра  точка В пе­ре­ме­сти­лась в точку С. В ре­зуль­та­те точка А пе­ре­ме­сти­лась в точку С, по­лу­чен век­тор , ко­то­рый и на­зы­ва­ет­ся сум­мой век­то­ров  и  (рис. 2).

Рис. 2. Сумма двух век­то­ров в про­стран­стве

Так, по­лу­че­но пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка для сло­же­ния век­то­ров в про­стран­стве.

Пра­ви­ло тре­уголь­ни­ка

Из любой точки про­стран­ства (точка А) от­кла­ды­ва­ем пер­вый век­тор, из конца пер­во­го век­то­ра (точка В) от­кла­ды­ва­ем вто­рой век­тор и по­лу­ча­ем точку С. Век­тор, со­еди­ня­ю­щий на­ча­ло пер­во­го век­то­ра (точка А) и конец вто­ро­го (точка С), и будет ре­зуль­ти­ру­ю­щим.

От­ме­тим, что ре­зуль­тат сло­же­ния век­то­ров не за­ви­сит от вы­бо­ра на­чаль­ной точки, су­ще­ству­ет со­от­вет­ству­ю­щая тео­ре­ма, ко­то­рая это до­ка­зы­ва­ет на ос­но­ва­нии того, что из точки можно от­ло­жить век­тор, рав­ный за­дан­но­му, един­ствен­ным об­ра­зом.

Опре­де­ле­ние

Раз­но­стью двух век­то­ров на­зы­ва­ет­ся такой тре­тий век­тор, ко­то­рый, бу­дучи сло­жен­ным со вто­рым век­то­ром, даст пер­вый век­тор.

Вве­дем раз­ность век­то­ров  и , для этого сло­жим век­тор  с про­ти­во­по­лож­ным век­то­ром :

Итак, из про­из­воль­ной точки А от­кла­ды­ва­ем век­тор , по­лу­ча­ем точку В. Чтобы по­лу­чить век­тор  мы стро­им век­тор, рав­ный век­то­ру  по длине, но про­ти­во­на­прав­лен­ный. По­лу­чен­ный век­тор от­кла­ды­ва­ем из точки В – по­лу­ча­ем точку D. Век­тор  и будет ис­ко­мым век­то­ром раз­но­сти.

Про­ил­лю­стри­ру­ем (рис. 3):

Рис. 3. Вы­чи­та­ние двух век­то­ров в про­стран­стве

По­стро­им на за­дан­ных век­то­рах  и  па­рал­ле­ло­грамм (рис. 4):

Рис. 4. Па­рал­ле­ло­грамм на двух за­дан­ных век­то­рах

Т. к. век­тор ; ана­ло­гич­но .

По пра­ви­лу тре­уголь­ни­ка:

Так, одна из диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма, по­стро­ен­но­го на двух век­то­рах, со­от­вет­ству­ет сумме этих век­то­ров.

Рас­смот­рим раз­ность век­то­ров. По пра­ви­лу тре­уголь­ни­ка:

.

Так, вто­рая диа­го­наль па­рал­ле­ло­грам­ма, по­стро­ен­но­го на двух век­то­рах, со­от­вет­ству­ет раз­но­сти этих век­то­ров.

Для сло­же­ния и вы­чи­та­ния несколь­ких век­то­ров при­ме­ня­ет­ся пра­ви­ло мно­го­уголь­ни­ка. Пусть за­да­ны век­то­ры  и :

Рис. 5. Три век­то­ра в про­стран­стве

Необ­хо­ди­мо по­стро­ить век­тор .

Видим, что перед неко­то­ры­ми век­то­ра­ми стоят чис­лен­ные мно­жи­те­ли. На­пом­ним, что при умно­же­нии век­то­ра на число по­лу­ча­ем со­на­прав­лен­ный век­тор, длина ко­то­ро­го – это длина ис­ход­но­го век­то­ра, умно­жен­ная на за­дан­ное число. По­лу­чим век­то­ры  и . Век­тор  со­на­прав­лен с век­то­ром , длина его в три раза боль­ше. Век­тор  про­ти­во­на­прав­лен век­то­ру , длина его в два раза боль­ше. Про­ил­лю­стри­ру­ем (рис. 6):

Рис. 6. Умно­же­ние век­то­ра на число

При­сту­па­ем к сло­же­нию. Из про­из­воль­ной точки А от­кла­ды­ва­ем по­лу­чен­ный век­тор  – по­лу­ча­ем точку В. Из точки В от­кла­ды­ва­ем век­тор  – по­лу­ча­ем точку С. Из точки С от­кла­ды­ва­ем век­тор  – по­лу­ча­ем точку D. Со­глас­но пра­ви­лу мно­го­уголь­ни­ка, век­тор  со­от­вет­ству­ет ис­ко­мо­му век­то­ру :

Рис. 7. Сло­же­ние век­то­ров по пра­ви­лу мно­го­уголь­ни­ка

За­да­ча 1:

Задан тет­ра­эдр ABCD (ри­су­нок 8). До­ка­зать:

  

Рис. 8. Тет­ра­эдр, за­да­ча 1

Ре­ше­ние:

По пра­ви­лу тре­уголь­ни­ка: 

Ана­ло­гич­но: 

, ч. т. д.

По пра­ви­лу тре­уголь­ни­ка: 

Ана­ло­гич­но: , ч. т. д.

За­да­ча 2

Упро­стить вы­ра­же­ние: 

Рас­смот­рим от­дель­но сумму двух век­то­ров: , ее зна­че­ние оче­вид­но:

Про­ил­лю­стри­ру­ем (рис. 9):

Рис. 9. Сумма двух век­то­ров

Те­перь со­кра­тим про­ти­во­по­лож­ные век­то­ры:

Можно было сразу за­ме­тить:

.

В ре­зуль­та­те упро­ще­ния по­лу­че­но:

.

Итак, мы ввели опе­ра­ции сло­же­ния и вы­чи­та­ния век­то­ров, умно­же­ния век­то­ра на число в сте­рео­мет­рии, от­ме­ти­ли, что опе­ра­ции ана­ло­гич­ны таким же для пла­ни­мет­рии. Кроме того, ре­ши­ли несколь­ко задач, ба­зи­ру­ю­щих­ся на опи­сан­ных опе­ра­ци­ях.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/10-klass/vektory-v-prostranstve/slozhenie-i-vychitanie-vektorov-umnozhenie-vektora-na-chislo

http://www.youtube.com/watch?v=a0ohdyq56vQ

http://www.youtube.com/watch?v=JQzv4c5ak-0

http://www.youtube.com/watch?v=4-aBOwveRdA

http://www.youtube.com/watch?v=sKCfeWlmsLk

http://azdekor.ru/Spektr/SREDN_SKOOL/MATEM/026/images/Vkt3.jpg

https://www.kursoteka.ru/teacher//index.cfm/getfile/2364/7703/4155

 http://azdekor.ru/Spektr/SREDN_SKOOL/MATEM/026/images/Vkt4.jpg

http://portfoliosmolgu.ucoz.ru/_ph/8/2/143950352.jpg?1445058118

http://www.mathprofi.ru/vektory_dlya_chainikov.html

 

Файлы