10 класс. Алгебра. Производная. Уравнение касательной к графику функции.

10 класс. Алгебра. Производная. Уравнение касательной к графику функции.

Комментарии преподавателя

Урав­не­ние ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции

 1. Уравнение касательной к графику функции

На преды­ду­щих за­ня­ти­ях были рас­смот­ре­ны за­да­чи на тех­ни­ку диф­фе­рен­ци­ро­ва­ния. Это очень важ­ные за­да­чи, и на­хож­де­ние про­из­вод­ных необ­хо­ди­мо в раз­ных за­да­чах, в том числе и в со­став­ле­нии урав­не­ния ка­са­тель­ной.

 По­стро­им кри­вую  (см. рис.1).

 

Рис. 1. Гра­фик функ­ции .

За­фик­си­ру­ем точку . Если , то зна­че­ние функ­ции равно . Зна­чит, имеем точку с ко­ор­ди­на­та­ми (.

За­да­ча: со­ста­вить урав­не­ние ка­са­тель­ной. Более стро­гая фор­му­ли­ров­ка – на­пи­сать урав­не­ние ка­са­тель­ной к функ­ции  в точке с абс­цис­сой , в ко­то­рой  - су­ще­ству­ет.

Урав­не­ние ка­са­тель­ной – это пря­мая,  ко­то­рая за­да­ет­ся фор­му­лой  

Любая пря­мая, в том числе и ка­са­тель­ная, опре­де­ля­ет­ся двумя чис­ла­ми: и . Ис­хо­дя из гео­мет­ри­че­ско­го смыс­ла про­из­вод­ной  (тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной) – это есть уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент .

Па­ра­метр  най­дем из усло­вия, что ка­са­тель­ная про­хо­дит через точку (, то есть  

 .

Стало быть  .

За­пи­шем урав­не­ние ка­са­тель­ной

.

Или, .

По­лу­чи­ли урав­не­ние ка­са­тель­ной к кри­вой  в точке с абс­цис­сой .

 2. Смысл элементов уравнения касательной

Смысл каж­до­го эле­мен­та, ко­то­рый вхо­дит в урав­не­ние ка­са­тель­ной.

1) ( – точка ка­са­ния ка­са­тель­ной и гра­фи­ка функ­ции.

2)  - уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции.

3)  – про­из­воль­ная точка на ка­са­тель­ной.

Очень много задач, когда за­да­на точка, ко­то­рая не лежит на гра­фи­ке функ­ции, и через нее надо про­ве­сти ка­са­тель­ную к дан­ной функ­ции. Надо четко по­ни­мать, что   – это про­из­воль­ная точка на ка­са­тель­ной.

Итак, по­лу­чи­ли урав­не­ние ка­са­тель­ной, про­ана­ли­зи­ро­ва­ли смысл каж­до­го эле­мен­та этой ка­са­тель­ной, и те­перь при­ве­дем при­мер, и на нем из­ло­жим ме­то­ди­ку по­стро­е­ния ка­са­тель­ной.

 3. Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции

За­да­ча.

К кри­вой  в точке с абс­цис­сой  про­ве­сти ка­са­тель­ную. Про­ил­лю­стри­ру­ем поиск ка­са­тель­ной на ри­сун­ке (см. рис.2).

 

Рис. 2. Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции .

За­фик­си­ру­ем точку . Зна­че­ние функ­ции в этой точке  равно 1.

Ал­го­ритм со­став­ле­ния урав­не­ния ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции:

1)  Найти  и точку ка­са­ния. 

 - дано.Точка ка­са­ния: (;.

2) Найти про­из­вод­ную в любой точке .

.

3) Найти зна­че­ние про­из­вод­ной в точке с абс­цис­сой .

 .

4) Вы­пи­сать и про­ана­ли­зи­ро­вать урав­не­ние ка­са­тель­ной.

.

Упро­ща­ем и по­лу­ча­ем:  .

Ответ: .

 4. Сопутствующие задачи

За­да­ча 1.

Пусть дано урав­не­ние ка­са­тель­ной .

Най­ди­те точки пе­ре­се­че­ния ка­са­тель­ной с осями ко­ор­ди­нат.

Если , то  – это пер­вая точка.

Если , то   - вто­рая точка.

Итак, пер­вая точка – это точка  с ко­ор­ди­на­та­ми . Вто­рая точка – точка пе­ре­се­че­ния с осью  , точка  с ко­ор­ди­на­та­ми  (см. рис.3).

Рис.3. Точки пе­ре­се­че­ния ка­са­тель­ной к гра­фи­ку функ­ции  с осями ко­ор­ди­нат. За­да­ча 2.

Найти длину от­рез­ка ка­са­тель­ной, ко­то­рая от­се­ка­ет­ся осями ко­ор­ди­нат, то есть надо найти длину от­рез­ка .

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник (Рис. 3). Длина ка­те­та  равна 1. Длина ка­те­та   . Длину от­рез­ка  из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

 

За­да­ча 3.

Найти пло­щадь тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го ка­са­тель­ной и осями ко­ор­ди­нат. Ясно, что это пло­щадь тре­уголь­ни­ка (Рис. 3) - пло­щадь тре­уголь­ни­ка, об­ра­зо­ван­но­го ка­са­тель­ной и осями ко­ор­ди­нат.

Сле­ду­ю­щая за­да­ча для са­мо­сто­я­тель­но­го ре­ше­ния.

Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник . Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка .

 5. Касательная к графику тригонометрической функции

Рас­смот­рим при­мер.

Дана функ­ция . На­пи­сать урав­не­ние ка­са­тель­ной к дан­ной кри­вой в точке с дан­ной абс­цис­сой.

Рас­смот­рим гра­фи­че­скую ил­лю­стра­цию (см. рис.4).

Рис. 4. Ка­са­тель­ная к  гра­фи­ку функ­ции .

На­хож­де­ние точки ка­са­ния.

1.   Точка ка­са­ния имеет ко­ор­ди­на­ты .

2. Найти .

3. Найти 

И, по­след­нее дей­ствие, – на­пи­сать урав­не­ние ка­са­тель­ной.

4. .

 Упро­стим и по­лу­чим  .

За­ме­тим в точке  си­ну­со­и­да и ка­са­тель­ная со­при­ка­са­ют­ся. В рай­оне точки  си­ну­со­и­да и пря­мая почти не раз­ли­ча­ют­ся.

 6. Итог урока

Итак, мы вы­ве­ли урав­не­ние ка­са­тель­ной. Рас­смот­ре­ли все эле­мен­ты этой ка­са­тель­ной. Вы­яс­ни­ли их смысл. Сфор­му­ли­ро­ва­ли одну из ме­то­дик на­хож­де­ния ка­са­тель­ных в кон­крет­ных функ­ци­ях, в кон­крет­ных точ­ках и ре­ши­ли неко­то­рые со­пут­ству­ю­щие за­да­чи.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/uravnenie-kasatelnoy-k-grafiku-funktsii

http://www.youtube.com/watch?v=3M16hzw6s3c

http://www.youtube.com/watch?v=x8O5GGKgAoc

http://v.5klass.net/zip/457286d0df8865f8084b5db13cbd6e95.zip

http://school.xvatit.com/index.php?title=%D3%F0%E0%E2%ED%E5%ED%E8%E5_%EA%E0%F1%E0%F2%E5%EB%FC%ED%EE%E9_%EA_%E3%F0%E0%F4%E8%EA%F3_%F4%F3%ED%EA%F6%E8%E8

http://itest.kz/lekciya_uglovoj_koehfficzient_kasatelnoj_i_ee_uravnenie_ru

http://www.postupivuz.ru/vopros/12822.htm

 

Файлы