10 класс. Алгебра. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы.

10 класс. Алгебра. Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы.

Комментарии преподавателя

 Напоминание «Понятие производной »

Рас­смот­рим гра­фик функ­ции  (Рис. 1).

Рис. 1. Гра­фик функ­ции 

Функ­ция опи­сы­ва­ет некий ре­аль­ный про­цесс, на­при­мер поход на про­гул­ку,  – это рас­сто­я­ние от дома,  – фик­си­ро­ван­ный мо­мент вре­ме­ни. В этот мо­мент вре­ме­ни рас­сто­я­ние от дома было (Рис. 2).

 

Рис. 2. Зна­че­ние 

По про­ше­ствии вре­ме­ни  – при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та. По­лу­чил­ся мо­мент вре­ме­ни . В этот мо­мент вре­ме­ни рас­сто­я­ние от дома рав­ня­лось  (Рис. 3):

Рис. 3. При­ра­ще­ние ар­гу­мен­та , зна­че­ние 

Имеем зна­ме­ни­тый тре­уголь­ник (Рис. 4). Здесь  – при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та,  – при­ра­ще­ние функ­ции, а тан­генс это от­но­ше­ние , то есть за время  прой­де­но рас­сто­я­ние  – это сред­няя ско­рость, но если , то и чис­ли­тель и зна­ме­на­тель стре­мят­ся к нулю. И если эта дробь стре­мит­ся к неко­то­ро­му числу, то это число и на­зы­ва­ет­ся про­из­вод­ной дан­ной функ­ции в дан­ной точке. Она обо­зна­ча­ет­ся так:

Это опре­де­ле­ние про­из­вод­ной (Рис. 4). Те­перь нужно по­нять, каков смысл про­из­вод­ной.

 – это мгно­вен­ная ско­рость в дан­ной точке.

Если в этой точке про­ве­сти ка­са­тель­ную, ко­то­рая имеет угол на­кло­на , то про­из­вод­ная в этой точке есть тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной. .

Рис. 4. Опре­де­ле­ние про­из­вод­ной

Итак, нам надо ис­сле­до­вать функ­цию, рас­смот­рим ин­стру­мен­ты, име­ю­щи­е­ся у нас.

Из со­от­но­ше­ния  имеем:

 – это фи­зи­че­ский и гео­мет­ри­че­ский смысл про­из­вод­ной.

 Определение «Монотонные функции»

Мо­но­тон­но воз­рас­та­ю­щая функ­ция – это функ­ция, у ко­то­рой боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции.

Мо­но­тон­но убы­ва­ю­щая функ­ция – это функ­ция, у ко­то­рой боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет мень­шее зна­че­ние функ­ции.

 Связь производной и промежутков монотонности функции

Если , то знак при­ра­ще­ния  и знак про­из­вод­ной в точке  сов­па­да­ет со зна­ком . То есть если про­из­вод­ная  в этой точке боль­ше нуля, то  и по­нят­но, что функ­ция в окрест­но­сти этой точки будет воз­рас­тать. А если про­из­вод­ная мень­ше нуля, зна­чит,  и по­нят­но, что в окрест­но­сти этой точки функ­ция будет убы­вать.

Далее, про­из­вод­ная в точке  есть тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной (Рис. 5). Ка­са­тель­ная опи­сы­ва­ет­ся ли­ней­ной функ­ци­ей. В окрест­но­сти точки  кри­вая и ли­ней­ная функ­ция почти сов­па­да­ют. Если угол на­кло­на ост­рый, тан­генс будет по­ло­жи­тель­ным, уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент – ве­ли­чи­на по­ло­жи­тель­ная, и ли­ней­ная функ­ция воз­рас­та­ет, а зна­чит, в окрест­но­сти этой точки и сама функ­ция воз­рас­та­ет:

И на­о­бо­рот, если ли­ней­ная функ­ция убы­ва­ет, угол тупой, тан­генс – ве­ли­чи­на от­ри­ца­тель­ная, зна­чит, ли­ней­ная функ­ция убы­ва­ет, а с ней убы­ва­ет функ­ция .

Рис. 5. Угол на­кло­на ка­са­тель­ной в точке 

Так со­бы­тия раз­ви­ва­ют­ся в окрест­но­стях точки . Эти со­бы­тия под­чи­ня­ют­ся гео­мет­ри­че­ско­му смыс­лу про­из­вод­ной (ее фи­зи­че­ско­му смыс­лу, со­от­но­ше­нию ).

 Исследование промежутков монотонности функции с помощью производной

Рас­смот­рим функ­цию и ее по­ве­де­ние на всей ОДЗ (Рис. 6). Пред­по­ло­жим, что это гра­фик ис­сле­ду­е­мой функ­ции.

Рис. 6. Гра­фик функ­ции 

Есть точка . Ка­са­тель­ная на­кло­не­на под ост­рым углом  (Рис. 7). Зна­чит, в точке  функ­ция воз­рас­та­ет.

Рис. 7. Угол на­кло­на ка­са­тель­ной в точке 

В точке  ка­са­тель­ная па­рал­лель­на оси , зна­чит точка  – точка экс­тре­му­ма. Об этом мы по­го­во­рим от­дель­но.

Рис. 8.  – точка экс­тре­му­ма

В точке  угол  на­кло­на ка­са­тель­ной будет тупым, тан­генс будет ве­ли­чи­ной от­ри­ца­тель­ной, зна­чит, про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­ная и функ­ция здесь убы­ва­ет (Рис. 9).

Рис. 9. Угол на­кло­на ка­са­тель­ной в точке 

И, на­ко­нец, в точке  про­из­вод­ная равно нулю и даль­ше функ­ция воз­рас­та­ет (Рис. 10).

Рис. 10. Угол на­кло­на ка­са­тель­ной в точке  – точке экс­тре­му­ма

Вы­яс­ня­ет­ся, что функ­ция воз­рас­та­ет на ин­тер­ва­лах, где про­из­вод­ная боль­ше нуля:

Если же зна­че­ние про­из­вод­ной от­ри­ца­тель­ное, то функ­ция убы­ва­ет:

Вся ОДЗ со­сто­ит из от­дель­ных точек, зна­чит, надо вы­де­лить те ин­тер­ва­лы, на ко­то­рых про­из­вод­ная мень­ше нуля, на ко­то­рых про­из­вод­ная боль­ше нуля, и они опре­де­лят те участ­ки ОДЗ, на ко­то­рых функ­ция либо воз­рас­та­ет, либо убы­ва­ет. Этот же вывод мы по­лу­чим, рас­смат­ри­вая со­от­но­ше­ние . На тех об­ла­стях, на ко­то­рых про­из­вод­ная  мень­ше нуля,  функ­ция убы­ва­ет. Со­от­вет­ствен­но, на тех об­ла­стях ОДЗ, где про­из­вод­ная  боль­ше нуля,  функ­ция воз­рас­та­ет.

Те­перь мы го­то­вы на­пи­сать, где убы­ва­ет, а где воз­рас­та­ет (Рис. 11) дан­ная нам функ­ция:

 при 

Рис. 11. Про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния функ­ции 

Те­перь вы­яс­ним, где дан­ная функ­ция убы­ва­ет (Рис. 12):

 при 

 

Рис. 12. Про­ме­жут­ки убы­ва­ния функ­ции 

Тон­кий мо­мент: вклю­чать ли зна­че­ния в точ­ках ?

 не вклю­ча­ем, по­то­му что в них про­из­вод­ная равна нулю, а мы рас­смат­ри­ва­ем тот слу­чай, когда про­из­вод­ная мень­ше нуля. Но функ­ция убы­ва­ет, когда  при­над­ле­жит от­рез­ку .

При этом эти точки вклю­че­ны также в ин­тер­ва­лы, когда функ­ция воз­рас­та­ет.

При­хо­дим к важ­но­му вы­во­ду: ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства  яв­ля­ют­ся ин­тер­ва­ла­ми мо­но­тон­но­сти .

Цель урока: на­учить­ся на­хо­дить про­ме­жут­ки воз­рас­та­ния и убы­ва­ния функ­ции с по­мо­щью про­из­вод­ной. Вы­яс­ня­ет­ся, что надо найти про­из­вод­ную, вы­де­лить ее ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства и тем самым мы узна­ем, где эта функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет и где она мо­но­тон­но воз­рас­та­ет.

Далее нас ин­те­ре­су­ют точки экс­тре­му­мов функ­ции. Мы рас­смот­ре­ли слу­чаи, когда про­из­вод­ная мень­ше нуля, когда она боль­ше нуля, также важ­ный слу­чай, когда про­из­вод­ная равна нулю.

Вспом­ним, что такое точка мак­си­му­ма и точка ми­ни­му­ма функ­ции.

Рис. 13. Точки экс­тре­му­мов функ­ции 

Рас­смот­рим ри­су­нок (Рис 13). Точка  – точка мак­си­му­ма функ­ции (max), если су­ще­ству­ет окрест­ность точки , для ко­то­рой , то есть если зна­че­ние функ­ции в этой точке боль­ше, чем зна­че­ние функ­ции в любой точке ее окрест­но­сти.

Ана­ло­гич­ное опре­де­ле­ние для точки ми­ни­му­ма. Точка  – точка ми­ни­му­ма функ­ции (min), если су­ще­ству­ет окрест­ность точки , для ко­то­рой , то есть если зна­че­ние функ­ции в этой точке мень­ше, чем зна­че­ние функ­ции в любой точке ее окрест­но­сти.

При по­ис­ке наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го зна­че­ния функ­ции на всей ОДЗ, то есть ее гло­баль­ных экс­тре­му­мов, сле­ду­ет по­ни­мать, что они могут не сов­па­дать с ее ло­каль­ны­ми экс­тре­му­ма­ми, точ­ка­ми, где про­из­вод­ная ме­ня­ет знак.

 Пример локального и глобального экстремума

Рас­смот­рим функ­цию  (Рис. 14).

Здесь точка  – точка ло­каль­но­го мак­си­му­ма. Функ­ция здесь равна нулю.

Точка  – точка гло­баль­но­го мак­си­му­ма, в них функ­ция рав­ня­ет­ся 24.

Рис. 14. Гра­фик функ­ции 

На дан­ном уроке, когда го­во­рит­ся об экс­тре­му­мах, под­ра­зу­ме­ва­ют­ся ло­каль­ные экс­тре­му­мы.

Как узнать, где точка мак­си­му­ма, а где точка ми­ни­му­ма, под­ска­жет про­из­вод­ная. Вер­нем­ся к точке . На ри­сун­ке на­гляд­но по­ка­за­но, что до этой точки функ­ция воз­рас­та­ет, про­из­вод­ная , а после этой точки функ­ция убы­ва­ет, про­из­вод­ная . А зна­че­ние про­из­вод­ной в точке . Мы по­лу­чи­ли до­ста­точ­ный при­знак мак­си­му­ма: про­из­вод­ная равна нулю и при этом знак про­из­вод­ной ме­ня­ет­ся с плюса на минус при пе­ре­хо­де ар­гу­мен­та через точку .

Рас­смот­рим точку . Про­из­вод­ная в этой точке . Но яв­ля­ет­ся ли дан­ная точка точ­кой экс­тре­му­ма? Про­из­вод­ная слева от этой точки от­ри­ца­тель­на, ка­са­тель­ная на­кло­не­на под тупым углом. Про­из­вод­ная спра­ва по­ло­жи­тель­ная, зна­чит, про­из­вод­ная ме­ня­ет знак с ми­ну­са на плюс при пе­ре­хо­де через точку , зна­чит, точка  – точка ми­ни­му­ма.

Итак, мы рас­смот­ре­ли точку ми­ни­му­ма и точку мак­си­му­ма и до­ста­точ­ный при­знак точки ми­ни­му­ма и точки мак­си­му­ма.

Как узнать, яв­ля­ет­ся ли точка точ­кой ми­ни­му­ма или точ­кой мак­си­му­ма? Нужно взять про­из­вод­ную и при­рав­нять ее к нулю. Тогда мы най­дем точки  и т. д. Это внут­рен­ние точки об­ла­сти опре­де­ле­ния, в ко­то­рых про­из­вод­ная равна нулю.

Кри­ти­че­ская точка функ­ции – это внут­рен­няя точка об­ла­сти опре­де­ле­ния, в ко­то­рой про­из­вод­ная равна нулю или не су­ще­ству­ет. То есть точки  и  – кри­ти­че­ские точки.

 – т. max.

 – т. min.

Но так про­ис­хо­дит не все­гда.

 Точка перегиба

Рас­смот­рим сле­ду­ю­щую функ­цию (Рис. 15):

 

Рис. 15. Ил­лю­стра­ция точки пе­ре­ги­ба

Про­из­вод­ная в точке  равна нулю: , ка­са­тель­ная па­рал­лель­на оси . Яв­ля­ет­ся ли она точ­кой экс­тре­му­ма? Нет. По­че­му? По­то­му что до точки  про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на, функ­ция воз­рас­та­ет (Рис. 16):

 

Рис. 16. Воз­рас­та­ние функ­ции до точки пе­ре­ги­ба

После этой точки про­из­вод­ная также по­ло­жи­тель­на (Рис. 17):

 

Рис. 17. Воз­рас­та­ние функ­ции после точки пе­ре­ги­ба

Функ­ция воз­рас­та­ет и слева, и спра­ва от точки, зна­чит,  не яв­ля­ет­ся точ­кой экс­тре­му­ма.

 Лемма Ферма

Если функ­ция  имеет про­из­вод­ную и в точке  имеет экс­тре­мум, то зна­че­ние про­из­вод­ной в этой точке равно 0.

Это необ­хо­ди­мый мощ­ный при­знак, из него мы вы­яс­ня­ем, какие точки нам нужны для ис­сле­до­ва­ния. Все осталь­ные от­ме­та­ем.

Еще раз под­черк­нем, что нам ил­лю­стри­ру­ет дан­ный ри­су­нок: ра­вен­ство нулю – это лишь необ­хо­ди­мый при­знак экс­тре­му­ма, но не до­ста­точ­ный.

 Точка перегиба, локальный характер точек экстремума

Рас­смот­рим в ка­че­стве при­ме­ра функ­цию, гра­фик ко­то­рой изоб­ра­жен на ри­сун­ке (Рис. 18).

Рис. 18. Гра­фик функ­ции с несколь­ки­ми ло­каль­ны­ми экс­тре­му­ма­ми

– точ­ка­ми­ни­му­ма, – точ­ка­мак­си­му­ма– та­к­же­точ­ка­ми­ни­му­ма.

– точ­ка­ми­ни­му­ма, зна­чит, су­ще­ству­ет некая окрест­ность, где зна­че­ние функ­ции яв­ля­ет­ся наи­мень­шим, но су­ще­ству­ет также вто­рая точка ми­ни­му­ма.

 таким об­ра­зом, гло­баль­но, наи­мень­шим зна­че­ни­ем функ­ции на всей ОДЗ яв­ля­ет­ся зна­че­ние функ­ции в точке .

 – точ­ка­мак­си­му­мано наи­боль­ше­го зна­че­ния дан­ной функ­ции не су­ще­ству­ет, по­то­му что есть точки, в ко­то­рых зна­че­ние функ­ции зна­чи­тель­но боль­ше, чем в точке .

Таким об­ра­зом, дан­ным ри­сун­ком мы под­чер­ки­ва­ем ло­каль­ный ха­рак­тер точек экс­тре­му­ма. Можем за­пи­сать:

То есть зна­че­ние функ­ции в точке  мень­ше либо равно зна­че­нию функ­ции в любой дру­гой точке ОДЗ.

 Алгоритм

Мы знаем, как по знаку про­из­вод­ной найти ин­тер­ва­лы мо­но­тон­но­го воз­рас­та­ния или убы­ва­ния функ­ции, знаем, каким об­ра­зом опре­де­лить точки мак­си­му­ма и точки ми­ни­му­ма функ­ции. Пусть те­перь есть за­да­ча ис­сле­до­вать функ­цию на экс­тре­му­мы и на мо­но­тон­ность с по­мо­щью про­из­вод­ной.
Ал­го­ритм таков:

1. Найти .

2. Вы­де­лить ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства . Они опре­де­лят ин­тер­ва­лы мо­но­тон­но­сти .

3. Найти кри­ти­че­ские точки (внут­рен­ние точки ОДЗ, в ко­то­рых  или не су­ще­ству­ет).

4. Вы­де­лить из кри­ти­че­ских точек и кон­цов от­рез­ка точки экс­тре­му­ма и ис­сле­до­вать их.

 Задача

Найти ин­тер­ва­лы мо­но­тон­но­сти и точки экс­тре­му­ма функ­ции  (Рис. 19) с по­мо­щью .

Най­дем про­из­вод­ную:

 (Рис. 19)

При­рав­ни­ва­ем ее к нулю и на­хо­дим един­ствен­ное ре­ше­ние:

 – един­ствен­ная кри­ти­че­ская точка.

На ри­сун­ке в ниж­ней части изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной.

Рис. 19. Гра­фи­ки функ­ций  и 

На ин­тер­ва­ле левее про­из­вод­ная от­ри­ца­тель­на (Рис. 20), функ­ция убы­ва­ет (Рис. 21).

 

Рис. 20. Левый ин­тер­вал про­из­вод­ной

Рис. 21. Левый ин­тер­вал функ­ции

 

На ин­тер­ва­ле пра­вее про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на (Рис. 22), функ­ция воз­рас­та­ет (Рис. 23).

 

Рис. 22. Пра­вый ин­тер­вал про­из­вод­ной

Рис. 23. Пра­вый ин­тер­вал функ­ции

 

Ответ:

1.  при 

2. 

3.   – т. min. 

Итак, мы ре­ши­ли за­да­чу, ис­сле­до­ва­ли функ­цию с по­мо­щью про­из­вод­ной, но мы знали свой­ства этой функ­ции, знали, где она воз­рас­та­ет, где убы­ва­ет, и знали точку экс­тре­му­ма.

Видим, что ре­зуль­та­ты, ко­то­рые по­лу­че­ны с по­мо­щью про­из­вод­ной, сов­па­да­ют с ре­зуль­та­та­ми, най­ден­ны­ми ранее.

 Подведение итогов

Итак, мы рас­смот­ре­ли и узна­ли, каким об­ра­зом с по­мо­щью про­из­вод­ной ис­сле­до­вать функ­цию, а имен­но найти ее ин­тер­ва­лы мо­но­тон­но­го воз­рас­та­ния, убы­ва­ния и точки экс­тре­му­ма.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/primenenie-proizvodnoy-dlya-issledovaniya-funktsiy-na-monotonnost-i-ekstremumy-teoriya

http://www.youtube.com/watch?v=lw2lRNE58-U

http://www.youtube.com/watch?v=Fjwtn6LcaL4

http://www.youtube.com/watch?v=bJx6dxDxx30

http://nsportal.ru/sites/default/files/2013/09/13/issledovanie_funktsii_klyueva_v.v._10kl.pptm

http://fs01.infourok.ru/uploads/matematika/presentation/7617041009.rar

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

 

Файлы