10 класс. Алгебра. Производная. Определение производной, ее физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной.

10 класс. Алгебра. Производная. Определение производной, ее физический и геометрический смысл. Алгоритм нахождения производной.

Комментарии преподавателя

Опре­де­ле­ние про­из­вод­ной, её фи­зи­че­ский и гео­мет­ри­че­ский смысл. Ал­го­ритм на­хож­де­ния про­из­вод­ной

 1. Введение новых понятий

График функции y=f(x)

Рис. 1. Гра­фик функ­ции .

Рас­смот­рим функ­цию , ее гра­фик и дадим фи­зи­че­скую ин­тер­пре­та­цию.

По­стро­им си­сте­му ко­ор­ди­нат и кри­вую  (см. рис.1), где

 неза­ви­си­мая пе­ре­мен­ная или ар­гу­мент (время),

 – за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная или функ­ция (рас­сто­я­ние),

 – закон или пра­ви­ло, по ко­то­ро­му каж­до­му зна­че­нию  ста­вит­ся в со­от­вет­ствие толь­ко одно зна­че­ние .

За­фик­си­ру­ем мо­мент вре­ме­ни  (см. рис.2). В этот мо­мент вре­ме­ни можно вы­чис­лить по за­дан­но­му за­ко­ну  , т.е. имеем точку . Эта точка по­ка­зы­ва­ет, что в дан­ный мо­мент вре­ме­ни , рас­сто­я­ние -  . Дадим ар­гу­мен­ту при­ра­ще­ние , т.е. про­шло неко­то­рое время . Мо­мент вре­ме­ни, ко­то­рый будет рас­смат­ри­вать­ся  - это  .

Секущая к графику функции y=f(x)

Рис. 2. Се­ку­щая к гра­фи­ку функ­ции .

 – при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та – это раз­ность между новым зна­че­ни­ем ар­гу­мен­та и ста­рым.

Итак, в новый мо­мент вре­ме­ни, рас­сто­я­ние (от дома) - . Это рас­сто­я­ние можно вы­чис­лить по за­дан­но­му за­ко­ну, т.е. если под­ста­вить в функ­цию новое зна­че­ние неза­ви­си­мой пе­ре­мен­ной (ар­гу­мен­та), то можно вы­чис­лить новое зна­че­ние функ­ции. Так по­лу­чи­лась точка . В ре­зуль­та­те по­лу­чи­лась се­ку­щая , ко­то­рая на­кло­не­на к оси   под углом .

 – се­ку­щая,  – ее угол на­кло­на. Этот угол, во – пер­вых, в верх­ней по­лу­плос­ко­сти и, во – вто­рых, с по­ло­жи­тель­ным на­прав­ле­ни­ем оси .

Рас­смот­рим тре­уголь­ник  (см. рис.3). Он пря­мо­уголь­ный. В этом тре­уголь­ни­ке ост­рый угол – это угол -  угол  на­кло­на се­ку­щей. Один из ка­те­тов - это при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та, а вто­рой катет – это раз­ность между зна­че­ни­ем функ­ции в новой точке и зна­че­ни­ем функ­ции в ста­рой точке.

Приращение функции и приращение аргумента.

Рис. 3. При­ра­ще­ние функ­ции и при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та.

Ве­ли­чи­на  на­зы­ва­ет­ся  – при­ра­ще­ние функ­ции и вы­чис­ля­ет­ся как раз­ность зна­че­ний функ­ции в новый мо­мент вре­ме­ни минус зна­че­ние функ­ции в ста­рый мо­мент вре­ме­ни

.

 2. Физический смысл отношения ∆f/∆x

Рас­смот­рим от­но­ше­ние  , где  – при­ра­ще­ние функ­ции,  – при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та (см. рис.4).

Из фи­зи­че­ских со­об­ра­же­ний ясно, что от­но­ше­ние рас­сто­я­ния ко вре­ме­ни – это сред­няя ско­рость . В этом за­клю­ча­ет­ся фи­зи­че­ский смысл от­но­ше­ния  .

Физический и геометрический смысл отношения

Рис. 4. Фи­зи­че­ский и гео­мет­ри­че­ский смысл от­но­ше­ния   .

С дру­гой сто­ро­ны от­но­ше­ние ка­те­та  к ка­те­ту  – это тан­генс угла  – тан­генс угла на­кло­на се­ку­щей, т.е. гео­мет­ри­че­ский смысл от­но­ше­ния   – это тан­генс угла на­кло­на се­ку­щей  .

 3. Определение производной

Пусть . По­нят­но, что и . Точка  будет стре­мить­ся к точке , а по­ло­же­ние се­ку­щей  будет стре­мить­ся за­нять по­ло­же­ние ка­са­тель­ной в точке  к кри­вой   (см. рис.4). Имеем

За­фик­си­ру­ем эту ка­са­тель­ную,  – угол на­кло­на этой ка­са­тель­ной. Если за­фик­си­ро­вать точку , то от­но­ше­ние   за­ви­сит толь­ко от ве­ли­чи­ны .

Если от­но­ше­ние    при  стре­мит­ся к ка­ко­му-то числу, то это число на­зы­ва­ет­ся про­из­вод­ной функ­ции  в точке  и обо­зна­ча­ет­ся .

Опре­де­ле­ние. Про­из­вод­ной функ­ции  в точке  на­зы­ва­ет­ся число, к ко­то­ро­му стре­мит­ся раз­ност­ное со­от­но­ше­ние    при .

Опре­де­ле­ние про­из­вод­ной с по­мо­щью пре­де­лов.

Пре­дел при  раз­ност­но­го от­но­ше­ния  , если он су­ще­ству­ет, на­зы­ва­ет­ся про­из­вод­ной функ­ции в точке  и обо­зна­ча­ет­ся .

 4. Геометрический и физический смысл производной

, где  – мгно­вен­ная ско­рость в мо­мент . В этом за­клю­ча­ет­ся фи­зи­че­ский смысл про­из­вод­ной. Про­из­вод­ная – это также тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной , где  - угол на­кло­на ка­са­тель­ной к кри­вой  в точке с абс­цис­сой .

 5. Алгоритм нахождения производной

Для того чтобы найти  нужно:

1) За­дать при­ра­ще­ние  – это при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та и вы­чис­лить со­от­вет­ству­ю­щее при­ра­ще­ние функ­ции  или .

2) Найти раз­ност­ное со­от­но­ше­ние  , упро­стить его и со­кра­тить на  .

3) Если от­но­ше­ние   при  стре­мит­ся к ка­ко­му-то числу, то это число будет .

 6. Итог урока

Итак, на уроке было рас­смот­ре­но по­ня­тие про­из­вод­ной. Для этого ввели два новых по­ня­тия: при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та и при­ра­ще­ние функ­ции. Также были рас­смот­ре­ны со­бы­тия, когда при­ра­ще­ние ар­гу­мен­та и при­ра­ще­ние функ­ции кон­крет­ные числа, тогда со­от­но­ше­ние   имеет смысл фи­зи­че­ский – это сред­няя ско­рость за время  и гео­мет­ри­че­ский смысл – это тан­генс угла на­кло­на се­ку­щей. Далее было рас­смот­ре­но, какие про­цес­сы про­ис­хо­дят, когда . Если , тогда и  , и се­ку­щая стре­мит­ся за­нять по­ло­же­ние ка­са­тель­ной. Если раз­ност­ное от­но­ше­ние    при  стре­мит­ся к неко­то­ро­му числу, то это число на­зы­ва­ет­ся про­из­вод­ной функ­ции  в точке . Фи­зи­че­ский смысл про­из­вод­ной в мо­мент  – это мгно­вен­ная ско­рость в мо­мент , а гео­мет­ри­че­ский  – это тан­генс угла на­кло­на ка­са­тель­ной, ко­то­рая про­ве­де­на к кри­вой в точке с абс­цис­сой . Рас­смот­рен ал­го­ритм на­хож­де­ния про­из­вод­ной: нужно дать при­ра­ще­ние ар­гу­мен­ту и по­лу­чить новую точку . По­лу­чи­ли зна­че­ние функ­ции в новой точке и нашли при­ра­ще­ние функ­ции. Надо раз­де­лить  на  и упро­стить это от­но­ше­ние так, чтобы со­кра­тил­ся , и то, что по­лу­чит­ся при стрем­ле­нии к нулю будет на­зы­вать­ся про­из­вод­ной функ­ции в кон­крет­ной точке . Даль­ней­шее из­ло­же­ние за­ви­сит от вида функ­ции.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/10-klass/proizvodnaya/opredelenie-proizvodnoy-eyo-fizicheskiy-i-geometricheskiy-smysl-algoritm-nahozhdeniya-proizvodnoy

http://www.youtube.com/watch?v=cEpWZ69O3zk

http://www.youtube.com/watch?v=OniFjwZ3b00

http://www.youtube.com/watch?v=W7Tdvy5MzV8

http://11book.ru/images/shcoolbook_ru/10/10_a_mord_baz.pdf

http://nsportal.ru/sites/default/files/2011/08/01/OPREDELENIE_PROIZVODNOY.pptx

http://vklasse.org/10-klass/reshebniki/algebra/ag-mordkovich-2009-zadachnik/glava-5-proizvodnaya/27-opredelenie-proizvodnoj

 

Файлы