5 класс. Математика. Умножение и деление натуральных чисел

5 класс. Математика. Умножение и деление натуральных чисел

Комментарии преподавателя

На данном уроке вы научитесь умножать натуральные числа, познакомитесь со свойствами умножения, а также научитесь применять полученные знания на практике.

 

Умножение натуральных чисел

Если сумма со­сто­ит из рав­ных сла­га­е­мых, то ее можно за­пи­сать ко­ро­че: 25 + 25 можно за­пи­сать, как 25 * 2.  

.

На­ту­раль­ное число m умно­жить на на­ту­раль­ное число n – это зна­чит найти зна­че­ние суммы, ко­то­рая со­сто­ит из nсла­га­е­мых, каж­дое из ко­то­рых равно mm яв­ля­ет­ся пер­вым мно­жи­те­лем, n яв­ля­ет­ся вто­рым мно­жи­те­лем, m * nяв­ля­ет­ся про­из­ве­де­ни­ем (рис. 1).

Рис. 1. Умно­же­ние

При­ме­ры: 1.

Про­из­ве­де­ние чисел 8 и x

8 * x.

2. Про­из­ве­де­ние суммы чисел a и b и числа 15

(а + в) * 15.

3. Про­из­ве­де­ние (m + 2) и (k - 3) (m + 2) * (k - 3).

Пер­вый мно­жи­тель – (m + 2), вто­рой мно­жи­тель – (k - 3)

4. Про­из­ве­де­ние 4ab со­сто­ит из трех мно­жи­те­лей: пер­вый мно­жи­тель – 4, вто­рой мно­жи­тель – a, тре­тий мно­жи­тель – в.

5. Число 12 можно пред­ста­вить в виде про­из­ве­де­ния несколь­ки­ми спо­со­ба­ми:

12 * 1

6 * 2

4 * 3

.

Сравнение произведений

Если про­из­ве­де­ние со­дер­жит оди­на­ко­вый мно­жи­тель, то из них боль­ше то, у ко­то­ро­го вто­рой мно­жи­тель боль­ше.

1.

2. 

3. 195 * 12 > 190 * 8, так как пер­вый мно­жи­тель пер­во­го про­из­ве­де­ния боль­ше пер­во­го мно­жи­те­ля вто­ро­го про­из­ве­де­ния. Вто­рой мно­жи­тель пер­во­го про­из­ве­де­ния, ана­ло­гич­но, боль­ше вто­ро­го мно­жи­те­ля вто­ро­го про­из­ве­де­ния. Оче­вид­но, что пер­вое про­из­ве­де­ние боль­ше.

Если оба мно­жи­те­ля пер­во­го про­из­ве­де­ния боль­ше обоих мно­жи­те­лей вто­ро­го про­из­ве­де­ния, то пер­вое про­из­ве­де­ние боль­ше.

Эти свой­ства можно ис­поль­зо­вать при до­ка­за­тель­стве сле­ду­ю­ще­го нера­вен­ства:

20 * 30 < 23 * 35 < 30 * 40

Свойства умножения

При ре­ше­нии раз­лич­ных задач при­ме­ня­ют свой­ства умно­же­ния.

1. Пе­ре­ме­сти­тель­ное: от пе­ре­ста­нов­ки мест мно­жи­те­лей зна­че­ние про­из­ве­де­ния не ме­ня­ет­ся.

2. Со­че­та­тель­ное: чтобы число умно­жить на про­из­ве­де­ние двух чисел, можно его сна­ча­ла умно­жить на пер­вый мно­жи­тель, а затем по­лу­чен­ное про­из­ве­де­ние умно­жить на вто­рой.

3. Умно­же­ние на еди­ни­цу: если число умно­жить на еди­ни­цу, то число не из­ме­нит­ся.

4. Умно­же­ние числа на нуль: если число умно­жить на нуль, то по­лу­чит­ся нуль.

Т. е., при умно­же­нии лю­бо­го числа на нуль, по­лу­чит­ся нуль.

При­ме­ры.

1.

2. 

3. 

4. 

5. .

Все эти свой­ства удоб­но при­ме­нять при ре­ше­нии раз­лич­ных при­ме­ров.

Примеры

1. 

2. 2500 * 40 = 25 * 100 * 4 * 10 = 25 * 4 * 100 * 10 = 100000.

3. 

4.  

5. 125 * (42 * 80) = 125 * (80 * 42) = (125 * 80) * 42 = 10000 * 42 = 420000

При­ме­ним сна­ча­ла пе­ре­ме­сти­тель­ный закон в скоб­ках, по­лу­чим 125 умно­жить на про­из­ве­де­ние чисел 80 и 42. Те­перь при­ме­ним со­че­та­тель­ный закон и в итоге по­лу­чим 10000 умно­жить на 42. По­лу­ча­ем 420000.

Про­из­ве­де­ние боль­ших чисел удоб­нее на­хо­дить в стол­бик. Вы этому учи­лись в на­чаль­ной школе.

Изу­чив дей­ствие умно­же­ния, круг ре­ше­ния задач рас­ши­ря­ет­ся.

Задача

В пер­вом ящике – 12 кг по­ми­дор, во вто­ром ящике – в три раза боль­ше, чем в пер­вом. Сколь­ко кг в обоих ящи­ках?

 

Пер­вым дей­стви­ем мы узна­ем, сколь­ко кг по­ми­дор во вто­ром ящике. 1. 12 * 3 = 36 (кг) – по­ми­дор во вто­ром ящике; Вто­рым дей­ствие узна­ем, сколь­ко кг по­ми­дор в двух ящи­ках. 2. 36 + 12 = 48 (кг) – по­ми­дор в двух ящи­ках. Ответ: в обоих ящи­ках 48 кг по­ми­дор.

На данном уроке вы сможете изучить новое действие – деление натуральных чисел, а также деление натуральных чисел с остатком, узнаете свойства деления и научитесь применять деление на практике, используя его для решения различных задач.

 

Деление

Дей­ствие, с по­мо­щью ко­то­ро­го по про­из­ве­де­нию и од­но­му из мно­жи­те­лей на­хо­дят дру­гой мно­жи­тель, на­зы­ва­ют де­ле­ни­ем.

Пишут, 48:12=4.

Число, ко­то­рое делят (48), на­зы­ва­ютде­ли­мым. Число, на ко­то­рое делят (12), на­зы­ва­ют де­ли­те­лем. Ре­зуль­тат де­ле­ния (4) на­зы­ва­ют част­ным.

На­зо­ви­те де­ли­мое и де­ли­тель в част­ных:

1.(254 + 781) : (97 - 92); (254 + 781) – де­ли­мое, (97 - 92) – де­ли­тель

2. 18c : a; 18c – де­ли­мое, a – де­ли­тель

3. (3 - y) : m; (3 - y) – де­ли­мое, m – де­ли­тель

4. x : (b + 5); x – де­ли­мое, (b + 5) – де­ли­тель

При де­ле­нии на­ту­раль­ных чисел можно ис­поль­зо­вать сле­ду­ю­щие свой­ства:

1. а : 0 !!!

Ни одно число нель­зя де­лить на нуль.

2. а : 1 = a

При де­ле­нии числа на еди­ни­цу по­лу­чит­ся то же самое число.

3. а : a = 1, a

При де­ле­нии числа на это же число, если оно не равно нулю, по­лу­чит­ся еди­ни­ца.

4. 0 : a = 0, a

При де­ле­нии нуля на любое число, если оно не равно нулю, по­лу­чит­ся нуль.

На­при­мер, 0 : 27 = 0; 85 : 1 = 85; 87 : 87 = 1.

Примеры

1. При каких зна­че­ни­ях буквы верно ра­вен­ство:

25 : a = 25, верно при a = 1

y : 14 = 1, верно при y = 14

1 : x = 1, верно при x = 1

m : 5 = 0, верно при m = 0

d : d = 1, верно при d – любое, кроме нуля

p : 1 = 1, верно при p = 1

2. Изу­чив дей­ствия сло­же­ния, вы­чи­та­ния, умно­же­ния и де­ле­ния, мы можем ре­шать раз­лич­ные урав­не­ния. Решим несколь­ко урав­не­ний:

1. 

   x - 12 = 56:8

   x -12 = 7

   x = 7 + 12

   x = 19

  Ответ: x = 19

2. (y + 25):8 = 6

   y + 25 =  

   y + 25 = 48

   y = 48 - 25

   y = 23

  Ответ: y = 23

3. 124 : (5 - x) = 31

   5 - x = 124 : 31

   5 - x = 4

   x = 5 - 4

   x = 1

  Ответ: x = 1

 

4. 44 : z + 9 = 20

  44 : z = 20 - 9

  44 : z = 11

   z = 44 : 11

   z = 4

  Ответ: z = 4

5. 25b + 49 = 149

  25b = 149 - 49

  25b = 100

  b = 100:25

  b = 4

  Ответ: b = 4

6. 9x - 54 = 126

  9x = 126 + 54

  9x = 180

  x = 180 : 9

  x = 20

  Ответ: x = 20

7. 69 – 8y = 45

  8y = 69 - 45

  8y = 24

  y = 24 : 8

  y = 3

  Ответ: y = 3

 

 

Деление с остатком

Не все­гда де­ле­ние од­но­го на­ту­раль­но­го числа на дру­гое воз­мож­но. Рас­смот­рим сле­ду­ю­щий при­мер,

23 : 4 = 5 (ост. 3)

23 = 5 * 4 + 3

23 яв­ля­ет­ся де­ли­мым, 4 яв­ля­ет­ся де­ли­те­лем, 5 яв­ля­ет­ся непол­ным част­ным и 3 – оста­ток. Оста­ток дол­жен быть все­гда мень­ше де­ли­те­ля. Чтобы найти де­ли­мое при де­ле­нии с остат­ком, нужно непол­ное част­ное умно­жить на де­ли­тель и к этому про­из­ве­де­нию при­ба­вить оста­ток. При­ме­ры: Ука­жи­те непол­ное част­ное, де­ли­тель и оста­ток:

1. 2053 = + 37.

2053 – де­ли­мое, 24 – непол­ное част­ное, 84 – де­ли­тель, 37 – оста­ток.

2. 2891 = 

2891 – де­ли­мое, 2 – непол­ное част­ное, 1000 – де­ли­тель, 891 – оста­ток. Если по­ме­нять мно­жи­те­ли ме­ста­ми, при­ме­нив пе­ре­ме­сти­тель­ное свой­ство умно­же­ния, то ка­за­лось бы, мы ни­че­го не из­ме­ни­ли. Но не может быть де­ли­тель, а он бы стал 2, быть мень­ше остат­ка. По­это­му за­пись «1000 + 891» не верна. Если бы мы ее встре­ти­ли, нам при­ш­лось бы, как раз на­о­бо­рот, при­ме­нить пе­ре­ме­сти­тель­ный закон умно­же­ния.

Если оста­ток равен нулю, то го­во­рят, что де­ли­мое де­лит­ся на де­ли­тель на­це­ло. И можно тогда пред­ста­вить про­из­ве­де­ние: де­ли­тель умно­жить на част­ное.

24 = 8 * 3

Задачи на неполное частное

Сколь­ко де­та­лей по 18 кг можно от­лить из 10 бол­ва­нок по 20 кг? И сколь­ко кг чу­гу­на оста­нет­ся?

Ра­бо­та про­ис­хо­дит в ли­тей­ном цехе, т. к. гла­гол был «от­лить». По­это­му нам необ­хо­ди­мо найти массу всего чу­гу­на.

1. (кг) – масса всего чу­гу­на;

2. 200:18 = 11 (д) по­лу­чит­ся и 2 кг чу­гу­на оста­нет­ся;

Ответ: по­лу­чит­ся 11 де­та­лей, и 2 кг оста­нет­ся.

Но если бы ра­бо­та­ли в то­кар­ном цеху, то нель­зя было бы на­хо­дить массу всего чу­гу­на, тогда бы из одной бол­ван­ки по­лу­чи­лась бы толь­ко одна де­таль.

 

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/matematika/5-klass/bumnozhenie-i-delenie-naturalnyh-chiselb/umnozhenie-naturalnyh-chisel-i-ego-svoystva?konspekt&chapter_id=769

http://interneturok.ru/ru/school/matematika/5-klass/bumnozhenie-i-delenie-naturalnyh-chiselb/delenie-delenie-s-ostatkom?konspekt&chapter_id=769

Источник теста: alfusja-bahova.ucoz.ru/load/

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=qDd6OJ-70vk

Источник файла:http://ppt4web.ru/matematika/umnozhenie-i-delenie-naturalnykh-chisel1.html

Файлы