4 класс. Математика. Взаимосвязь между скоростью, временем и расстоянием.

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы рассмотрим решение задач на встречное движение. Вначале вспомним понятие средней скорости, то, как связаны скорость, время и расстояние. Далее решим три задачи на нахождение каждой из величин, по условиям которых объекты будут двигаться навстречу друг другу. Познакомимся с понятием «скорость сближения».

 Вступление

Вы уже зна­ко­мы с по­ня­ти­ем «сред­няя ско­рость» и зна­е­те, как свя­за­ны ве­ли­чи­ны ско­рость, время и рас­сто­я­ние. Решим более слож­ные за­да­чи.

 Задача 1 (1 способ)

Два лыж­ни­ка вышли од­но­вре­мен­но нав­стре­чу друг другу из двух по­сел­ков и встре­ти­лись через 3 часа. Пер­вый лыж­ник шел со сред­ней ско­ро­стью 12 км/ч, вто­рой – 14 км/ч. Най­ди­те рас­сто­я­ние между по­сел­ка­ми. Смот­ри­те ил­лю­стра­цию на ри­сун­ке 1.

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 1

Ре­ше­ние

1 спо­соб

Чтобы найти рас­сто­я­ние между по­сел­ка­ми, нам нужно знать, какое рас­сто­я­ние про­шел каж­дый лыж­ник. Чтобы найти рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­шел лыж­ник, надо знать его сред­нюю ско­рость дви­же­ния и время, ко­то­рое он был в пути.

Мы знаем, что лыж­ни­ки вышли нав­стре­чу друг другу од­но­вре­мен­но и были в пути 3 часа. Зна­чит, каж­дый лыж­ник был в пути три часа.

Сред­няя ско­рость од­но­го лыж­ни­ка 12 км/ч, время в пути 3 часа. Если ско­рость мно­жить на время, то узна­ем, какое рас­сто­я­ние про­шел пер­вый лыж­ник:

1.       (км)

Сред­няя ско­рость дви­же­ния вто­ро­го лыж­ни­ка – 14 км/ч, время в пути такое же, как и у пер­во­го лыж­ни­ка – три часа. Чтобы узнать, какое рас­сто­я­ние про­шел вто­рой лыж­ник, умно­жим его сред­нюю ско­рость на его время в пути:

2.       (км)

Те­перь можем найти рас­сто­я­ние между по­сел­ка­ми.

3.       (км)

Ответ: рас­сто­я­ние между по­сел­ка­ми – 78 км.

 Задача 1 (2 способ)

За пер­вый час один лыж­ник про­шел 12 км, за этот же час вто­рой лыж­ник про­шел нав­стре­чу пер­во­му лыж­ни­ку 14 км. Можем найти ско­рость сбли­же­ния:

1.       (км/ч)

Мы знаем, что за каж­дый час лыж­ни­ки при­бли­жа­лись друг к другу на 26 км. Тогда можем найти, на какое рас­сто­я­ние они при­бли­зи­лись за 3 часа.

2.       (км)

Умно­жив ско­рость сбли­же­ния на время, мы узна­ли, какое рас­сто­я­ние про­шли два лыж­ни­ка, то есть узна­ли рас­сто­я­ние между по­сел­ка­ми.

Ответ: рас­сто­я­ние между по­сел­ка­ми 78 км.

 Задача 2

Из двух по­сел­ков, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми – 78 км, вышли од­но­вре­мен­но нав­стре­чу друг другу два лыж­ни­ка. Пер­вый лыж­ник шел со сред­ней ско­ро­стью 12 км/ч, а вто­рой – 14 км/ч. Через сколь­ко часов они встре­ти­лись? (Смот­ри ри­су­нок 2).

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 2

Чтобы найти время, через ко­то­рое встре­тят­ся лыж­ни­ки, надо знать рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­шли лыж­ни­ки, и ско­рость обоих лыж­ни­ков.

Мы знаем, что каж­дый час пер­вый лыж­ник при­бли­жал­ся к месту встре­чи на 12 км, а вто­рой лыж­ник при­бли­жал­ся к месту встре­чи на 14 км. То есть вме­сте они при­бли­жа­лись за каж­дый час на:

1.  (км/ч)

Мы нашли ско­рость сбли­же­ния лыж­ни­ков.

Мы знаем все рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­шли лыж­ни­ки, и знаем ско­рость сбли­же­ния. Если рас­сто­я­ние раз­де­лить на ско­рость, то мы по­лу­чим время, через ко­то­рое встре­ти­лись лыж­ни­ки.

2.  (ч)

Ответ: лыж­ни­ки встре­ти­лись через 3 часа.

 Задача 3

Из двух по­сел­ков, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми – 78 км, вышли од­но­вре­мен­но нав­стре­чу друг другу два лыж­ни­ка и встре­ти­лись через 3 часа. Пер­вый лыж­ник шел со сред­ней ско­ро­стью 12 км/ч. С какой сред­ней ско­ро­стью шел вто­рой лыж­ник? (Смот­ри ри­су­нок 3.)

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 3

Ре­ше­ние

Чтобы узнать сред­нюю ско­рость дви­же­ния вто­ро­го лыж­ни­ка, надо узнать, какое рас­сто­я­ние про­шел лыж­ник до места встре­чи и какое время он был в пути. Чтобы узнать, какое рас­сто­я­ние до места встре­чи про­шел вто­рой лыж­ник, надо знать, какое рас­сто­я­ние про­шел пер­вый лыж­ник, и общее рас­сто­я­ние. Общее рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­шли оба лыж­ни­ка, мы знаем – 78 км. Чтобы найти рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­шел пер­вый лыж­ник, надо знать его сред­нюю ско­рость дви­же­ния и время, ко­то­рое он был в пути. Сред­няя ско­рость дви­же­ния пер­во­го лыж­ни­ка – 12 км/ч, в пути он был три часа. Если ско­рость умно­жить на время, мы по­лу­чим рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­шел пер­вый лыж­ник.

1.   (км)

Мы знаем общее рас­сто­я­ние, 78 км, и рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­шел пер­вый лыж­ник – 36 км. Можем найти какое рас­сто­я­ние про­шел вто­рой лыж­ник.

2.    (км)

Мы те­перь знаем, какое рас­сто­я­ние про­шел вто­рой лыж­ник, и знаем, какое время он был в пути – 3 часа. Если рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­шел вто­рой лыж­ник, раз­де­лить на время, ко­то­рое он был в пути, по­лу­чим его сред­нюю ско­рость.

3.  42:3=14 (км/ч)

Ответ: сред­няя ско­рость дви­же­ния вто­ро­го лыж­ни­ка – 14 км/ч.

Вы уже зна­ко­мы с ве­ли­чи­на­ми «ско­рость», «время», «рас­сто­я­ние» и зна­е­те, как эти ве­ли­чи­ны свя­за­ны друг с дру­гом. Мы уже ре­ша­ли за­да­чи, в ко­то­рых объ­ек­ты дви­га­лись в одном на­прав­ле­нии или нав­стре­чу друг другу. Те­перь рас­смот­рим за­да­чи, когда объ­ек­ты дви­жут­ся в про­ти­во­по­лож­ных на­прав­ле­ни­ях. И по­зна­ко­мим­ся с по­ня­ти­ем «ско­рость уда­ле­ния».

 Задача 1 (1 способ)

Из по­сел­ка вышли од­но­вре­мен­но два пе­ше­хо­да и пошли в про­ти­во­по­лож­ных на­прав­ле­ни­ях. Сред­няя ско­рость од­но­го пе­ше­хо­да – 5 км/ч, дру­го­го – 4 км/ч. На каком рас­сто­я­нии друг от друга будут пе­ше­хо­ды через 3 часа (рис. 1)?

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 1

Ре­ше­ние

1 спо­соб

Чтобы найти рас­сто­я­ние, на ко­то­ром будут два пе­ше­хо­да через три часа, надо узнать, какое рас­сто­я­ние прой­дет каж­дый за это время. Чтобы найти, какое рас­сто­я­ние про­шел пе­ше­ход, нужно знать его сред­нюю ско­рость дви­же­ния и его время в пути. Мы знаем, что пе­ше­хо­ды вышли из по­сел­ка од­но­вре­мен­но и были в пути три часа, зна­чит, каж­дый из пе­ше­хо­дов был в пути три часа. Мы знаем сред­нюю ско­рость пер­во­го пе­ше­хо­да – 5 км/ч и знаем его время в пути – 3 часа. Можем найти, какое рас­сто­я­ние про­шел пер­вый пе­ше­ход. Умно­жим его ско­рость на его время в пути.

1.  (км)

Мы знаем сред­нюю ско­рость вто­ро­го пе­ше­хо­да – 4 км/ч и знаем его время в пути – 3 часа. Умно­жим его ско­рость на его время в пути, по­лу­чим рас­сто­я­ние, ко­то­рое он про­шел:

2.  (км)

Те­перь мы знаем рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­шел каж­дый из пе­ше­хо­дов, и можем найти рас­сто­я­ние между пе­ре­хо­да­ми.

3.  (км)

Ответ: через 3 часа пе­ше­хо­ды будут друг от друга на рас­сто­я­нии 27 км.

 Задача 1 (2 способ)

За пер­вый час один пе­ше­ход уда­лит­ся от по­сел­ка на 5 км, за этот же час вто­рой пе­ше­ход уда­лит­ся от по­сел­ка на 4 км. Можем найти ско­рость уда­ле­ния пе­ше­хо­дов друг от друга.

1.  (км/ч)

Мы знаем, что за каж­дый час пе­ше­хо­ды уда­ля­лись друг от друга на 9 км. Можем узнать, на сколь­ко они уда­лят­ся друг от друга за три часа.

2.  (км)

Умно­жив ско­рость уда­ле­ния на время, мы узна­ли рас­сто­я­ние между пе­ше­хо­да­ми.

Ответ: через 3 часа пе­ше­хо­ды будут друг от друга на рас­сто­я­нии 27 км.

 Задача 2

Из по­сел­ка вышли од­но­вре­мен­но в про­ти­во­по­лож­ных на­прав­ле­ни­ях два пе­ше­хо­да. Сред­няя ско­рость од­но­го пе­ше­хо­да – 5 км/ч, дру­го­го – 4 км/ч. Через сколь­ко часов рас­сто­я­ние между ними будет 27 км (рис. 2)?

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 2

Ре­ше­ние

Чтобы найти время дви­же­ния пе­ше­хо­дов, нужно знать рас­сто­я­ние и ско­рость пе­ше­хо­дов. Мы знаем, что за каж­дый час один пе­ше­ход уда­ля­ет­ся от по­сел­ка на 5 км, а дру­гой пе­ше­ход уда­ля­ет­ся от по­сел­ка на 4 км. Можем найти их ско­рость уда­ле­ния.

1.  (км/ч)

Мы знаем ско­рость уда­ле­ния и знаем все рас­сто­я­ние – 27 км. Можем найти время, через ко­то­рое пе­ше­хо­ды уда­лят­ся друг от друга на 27 км, для этого нужно рас­сто­я­ние раз­де­лить на ско­рость.

2.  (ч)

Ответ: через три часа рас­сто­я­ние между пе­ре­хо­да­ми будет 27 км.

 Задача 3

Из по­сел­ка вышли од­но­вре­мен­но в про­ти­во­по­лож­ных на­прав­ле­ни­ях два пе­ше­хо­да. Через 3 часа рас­сто­я­ние между ними было 27 км. Пер­вый пе­ше­ход шел со ско­ро­стью 5 км/ч. С какой ско­ро­стью шел вто­рой пе­ше­ход (рис. 3)?

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к за­да­че 3

Ре­ше­ние

Чтобы узнать ско­рость вто­ро­го пе­ше­хо­да, надо знать рас­сто­я­ние, ко­то­рое он про­шел, и его время в пути. Чтобы узнать, какое рас­сто­я­ние про­шел вто­рой пе­ше­ход, надо знать, какое рас­сто­я­ние про­шел пер­вый пе­ше­ход и общее рас­сто­я­ние. Общее рас­сто­я­ние мы знаем. Чтобы найти рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­шел пер­вый пе­ше­ход, надо знать его ско­рость и его время в пути. Сред­няя ско­рость дви­же­ния пер­во­го пе­ше­хо­да – 5 км/ч, его время в пути – 3 часа. Если сред­нюю ско­рость умно­жить на время в пути, по­лу­чим рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­шел пе­ше­ход:

1.  (км)

Мы знаем общее рас­сто­я­ние и знаем рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­шел пер­вый пе­ше­ход. Можем те­перь узнать, какое рас­сто­я­ние про­шел вто­рой пе­ше­ход.

2.  (км)

Те­перь мы знаем рас­сто­я­ние, ко­то­рое про­шел вто­рой пе­ше­ход, и время, про­ве­ден­ное им в пути. Можем найти его ско­рость.

3.  (км/ч)

Ответ: ско­рость вто­ро­го пе­ше­хо­да – 4 км/ч.

 

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/matematika/4-klass/umnozhenie-na-chisla-okanchivajushiesja-nuljami/reshenie-zadach-na-vstrechnoe-dvizhenie?konspekt

http://interneturok.ru/ru/school/matematika/4-klass/delenie-chisel-okanchivajushihsja-nuljami/reshenie-zadach-na-dvizhenie-v-protivopolozhnyh-napravleniyah?konspekt

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=-dUZwfCYNfw

Файлы

Нет дополнительных материалов для этого занятия.