9 класс. Алгебра. Определение числовой функции. Способы задания функций.

Способы задания функции.

НАЗАД ДАЛЬШЕ

Способы задания функции.

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы начнем изучать способы задания функций и начнем с изучения аналитического способа задания функции, то есть с помощью формул. Вначале вспомним определение функции и сформулируем главное правило, которому должен подчиняться аналитический закон. Рассмотрим несколько примеров аналитического задания функции. Повторим построение графиков и нахождения области определения и области значений аналитически заданной функции. В конце решим ряд задач на построение функций, в том числе и задачи с параметром.

Тема: Числовые функции

Урок: Аналитический способ

1. Вступление

На уроке изучаются способы задания функции и рассматривается задание функции аналитическим способом, то есть с помощью формул.

Определение. Функцией называется закон (правило), по которому каждому элементу (числу) из множества ставится в соответствие единственный элемент (число) .

В определении: – независимая переменная (аргумент), - зависимая переменная (функция), множество – область определения, то есть множество всех допустимых значений аргумента.

Из определения ясно: чтобы задать функцию, надо задать закон или правило. Надо учесть единственное требование, которому должен удовлетворять этот закон : каждому должен соответствовать единственный элемент .

2. Конкретные примеры аналитического (формульного) задания функции

Линейная функция.

а.

б.

Рис. 1. График функции

Требуется: для каждой функции построить график, найти область определения и область значений.

Решение.

а. Строится график функции (см. Рис. 1).

Ответ:

б. Строится график функции (см. Рис. 2).

Ответ:

Рис. 2. График функции

Квадратичная функция.

а.

б.

Требуется: для каждой функции построить график, найти область определения и область значений.

Решение.

Рис. 3. График функции

а. Строим график функции (см. Рис. 3).

Ответ:

Чтение графика: если возрастает от до , то убывает от до ; если возрастает от до , то возрастает от до .

б. Строим график функции (см. Рис. 4).

Рис. 4. График функции

Ответ: область определения – проекция на ось . Область значений – проекция на ось .

Чтение графика: если возрастает от до , то убывает от до ; если возрастает от до , то возрастает от до .

3. Сопутствующая задача (на чтение графика)

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение , где :

1. Имеет хотя бы одно решение;

2. Имеет одно решение;

3. Имеет два решения.

Решение.

Решить задачу с параметром означает рассмотреть все значения параметра и при каждом из них указать ответ.

Решение задачи выполняется по алгоритму.

Рис. 5. График функций

и

1. Построить график функции, стоящей в левой части исходного уравнения , то есть график квадратичной функции (см. Рис. 4).

2. Рассечь график семейством прямых (см. Рис. 5).

3. Найти точки пересечения и их количество.

4. Выписать ответ.

Ответ:

1. Уравнение имеет хотя бы одно решение при (это следует из определения области значений, то есть каждое значение функции из области значений достигается хотя бы при одном значении аргумента);

2. Одно решение при ;

3. Два решения при .

Примечание. Данные задачи важны, так как встречаются на экзаменах в 9 и 11 классах.

4. Пример аналитического задания функции с помощью нескольких формул

Дана функция , где

Требуется:

1. Построить график функции;

2. Найти ее области определения и значений.

Решение. График функции изображен на Рис.6.

Рис. 6. График функции

Ответ: область определения – проекция графика функции на ось ; область значений – проекция графика функции на ось .

5. Сопутствующая задача (на чтение графика)

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение , где :

1. Имеет хотя бы одно решение;

2. Имеет только одно решение;

3. Имеет два решения.

Чтение графика: если возрастает от до , то возрастает от до ; если возрастает от до , то возрастает от до ; если возрастает от до , то убывает от до .

Решение. Воспользуемся соответствующим алгоритмом (см. п.3).

1. Построить график функции (см. Рис. 6).

2. Рассечь график функции семейством прямых (см. Рис. 7).

3. Найти точки пересечения и их количество.

4. Выписать ответ.

Рис. 7. График функции

и где

Ответ:

1. Уравнение имеет хотя бы одно решение при ;

2. Уравнение имеет только одно решение при ;

3. Уравнение имеет два решения при .

Урок: Графический и табличный способы задания функции

1. Вступление

Раннее рассматривался аналитический способ задания функции, то есть с помощью формулы. На этом уроке рассматриваются иные способы задания функции, а именно графический и табличный.

2. Требование к кривой, которая графически задает функцию

Определение. Функцией называется закон (правило), по которому каждому допустимому значению аргумента ставится в соответствие единственное значение функции .

Из определения функции следует требование к кривой (в координатной плоскости), которая задает графически функцию: любая вертикальная прямая , где – разрешенное значение аргумента, должна пересекать кривую в единственной точке.

Пояснение этого на примерах.

1. Какая кривая задает графически функцию?

Рис. 1. График окружности

а. Задан график окружности (см. Рис. 1).

Вертикальная прямая пересекает кривую в двух точках.Требование нарушается. Следовательно, данная кривая не задает графически функцию.

Рис. 2. График верхней полуокружности

Рис. 3. График нижней полуокружности

б. Задан график верхней полуокружности (см. Рис. 2).

Вертикальная прямая пересекает кривую в единственной точке. Следовательно, кривая задает функцию.

в. Задан график нижней полуокружности (см. Рис. 3).

Вертикальная прямая пересекает кривую в единственной точке. Следовательно, кривая задает функцию.

2. По графическому заданию функций в случаях б. (см. Рис. 2) и в. (см. Рис. 3) получить их аналитическое задание, то есть задание формулой (для полуокружностей это возможно).

а. график окружности задается уравнением

;