9 класс. Алгебра. Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций.

Комментарии преподавателя

В этом уроке мы рассмотрим задачи на движение, переведем реальные ситуации на математический язык, составим математические модели – нелинейные системы уравнений – и решим их, тем самым решив исходную задачу.

 

 

 Решение простейшей задачи

За­да­ча 1.

Рас­сто­я­ние между двумя пунк­та­ми по реке со­став­ля­ет 14 км. Лодка про­хо­дит этот путь по те­че­нию за 2 часа, про­тив те­че­ния – за 2 часа 48 минут. Най­ди­те ско­рость лодки в сто­я­чей воде и ско­рость те­че­ния реки.

Ре­ше­ние:

Вспом­ним урав­не­ние пря­мо­ли­ней­но­го рав­но­мер­но­го дви­же­ния:

S – рас­сто­я­ние,

V – ско­рость,

T – время.

Пе­ре­ве­дем 2 часа 48 минут в часы, это со­ста­вит 

Пусть x км/ч – ско­рость лодки в сто­я­чей воде, y км/ч – ско­рость те­че­ния реки. Со­ста­вим ма­те­ма­ти­че­скую мо­дель.

Если лодка дви­жет­ся по те­че­нию, то она имеет ско­рость км/ч  и прой­дет 14 км за время  Если лодка дви­жет­ся про­тив те­че­ния, она идет со ско­ро­стью  км/ч и прой­дет 14 км за время .

Мы по­лу­чи­ли ма­те­ма­ти­че­скую мо­дель. То же самое можно по­лу­чить с по­мо­щью таб­ли­цы.

	S	V	T
По те­че­нию	14
Про­тив те­че­ния	14

Решим по­лу­чен­ную си­сте­му.

Ответ: 6 км/ч; 1 км/ч.

 Решение опорных задач

Перед тем как при­сту­пить к более слож­ным за­да­чам, решим две опор­ные за­да­чи на дви­же­ние.

1. Пер­вая опор­ная за­да­ча (сбли­же­ние).

Из пунк­тов А и В од­но­вре­мен­но вы­еха­ли нав­стре­чу друг другу два по­ез­да.

Дано: 

x, y – ско­ро­сти по­ез­дов, км/ч.

Найти: Время t до их встре­чи, и рас­сто­я­ния  прой­ден­ные до мо­мен­та их встре­чи каж­дым из по­ез­дов.

Ре­ше­ние:

Най­дем ско­рость сбли­же­ния: 

Най­дем время t до встре­чи: 

Най­дем ис­ко­мые рас­сто­я­ния: 

Ответ: 

2. Вто­рая опор­ная за­да­ча.

Пер­вый ту­рист вышел из пунк­та А. Од­но­вре­мен­но вто­рой ту­рист вышел из пунк­та В. Оба дви­га­ют­ся в на­прав­ле­нии луча АВ. Пер­вый до­гнал вто­ро­го в пунк­те С.

Дано: 

x, y – ско­ро­сти пер­во­го и вто­ро­го ту­ри­стов, км/ч.

Найти: Время t до встре­чи ту­ри­стов, рас­сто­я­ния  прой­ден­ные пер­вым и вто­рым ту­ри­ста­ми до встре­чи.

Ре­ше­ние:

Най­дем ско­рость сбли­же­ния: 

Най­дем время t до встре­чи: 

Най­дем ис­ко­мые рас­сто­я­ния: 

Ответ: 

 Решение задач

За­да­ча 2.

Из двух го­ро­дов, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 700 км, од­но­вре­мен­но нав­стре­чу друг другу от­прав­ля­ют­ся два по­ез­да, и встре­ча­ют­ся через 5 часов. Если вто­рой поезд от­пра­вит­ся на 7 часов рань­ше пер­во­го, то они встре­тят­ся через два часа после от­прав­ле­ния пер­во­го по­ез­да. Найти ско­рость каж­до­го по­ез­да.

Ре­ше­ние:

Пусть x км/ч, y км/ч – ско­ро­сти пер­во­го и вто­ро­го по­ез­дов.

S – рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми.

Рас­смот­рим вна­ча­ле пер­вый слу­чай. Легко уви­деть, что это за­да­ча на сбли­же­ние, т.е. мы смо­жем поль­зо­вать­ся дан­ны­ми, по­лу­чен­ны­ми в пер­вой опор­ной за­да­че.

700 км оба по­ез­да прой­дут за 5 часов со ско­ро­стью сбли­же­ния 

 

Вто­рой слу­чай: те же усло­вия, но пер­вый поезд начал дви­же­ние через 7 часов после вто­ро­го. За 7 часов вто­рой поезд про­шелкм, оста­лось  км, и толь­ко тогда на­чи­на­ет дви­же­ние пер­вый поезд. На­чи­на­ет­ся сбли­же­ние. По­ез­дам нужно прой­ти  км с  общей ско­ро­стью  и они встре­тят­ся через 2 часа, т.е. 

Мы по­лу­чи­ли ма­те­ма­ти­че­скую мо­дель.

Упро­стим по­лу­чен­ные урав­не­ния.

 

 

 

Ответ: 80 км/ч, 60 км/ч.

За­да­ча 3.

При­ста­ни В и С на­хо­дят­ся ниже при­ста­ни А по те­че­нию реки со­от­вет­ствен­но на 30 км и 45 км. Мо­тор­ная лодка от­хо­дит от при­ста­ни А, до­хо­дит до С, сразу по­во­ра­чи­ва­ет назад и при­хо­дит в В, за­тра­тив на весь путь 4 часа 40 минут. В дру­гой раз эта же лодка ото­шла от при­ста­ни, дошла до А, сразу по­вер­ну­ла назад и при­ш­ла в В, за­тра­тив на весь путь 7 часов. Чему равна соб­ствен­ная ско­рость лодки и ско­рость те­че­ния реки?

Ре­ше­ние:

Пусть x км/ч – соб­ствен­ная ско­рость лодки, y км/ч – ско­рость те­че­ния реки.

Время дви­же­ния пе­ре­ве­дем в часы, 4 часа 40 минут = 

Опи­шем пер­вый рейс: 

Из А в С лодка шла 45 км по те­че­нию со ско­ро­стью  км/ч, время в пути со­ста­ви­ло  ч.

Из С в В лодка шла 15 км про­тив те­че­ния, т.е.  ч. Сум­мар­ное время в пути со­ста­ви­ло  ч, т.е.  

Опи­шем вто­рой рейс: 

Из С в А лодка шла 45 км про­тив те­че­ния, т.е. была в пути  ч. Из А в В шла 30 км по те­че­нию, т.е. была в пути  ч. Общее время в пути со­ста­ви­ло 7 ч, т.е.  

Ре­ша­ем по­лу­чен­ную си­сте­му:

 

Про­из­ве­дем за­ме­ну пе­ре­мен­ных:

 

Пе­ре­хо­дим к ста­рым пе­ре­мен­ным:

 

Ответ: 12 км/ч, 3 км/ч.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/sistemy-uravneniy/sistemy-uravneniy-v-zadachah-na-dvizhenie?konspekt&chapter_id=26

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=yL1Jiym5ol8

Файлы