9 класс. Алгебра. Системы уравнений.
9 класс. Алгебра. Системы уравнений.
Комментарии преподавателя
На этом уроке мы рассмотрим последний метод решения систем уравнений – метод введения новых переменных. Сформулируем суть метода и будем рассматривать его применение на конкретных задачах.
Тема: Системы уравнений
Урок: Метод введения новых переменных
1. Тема урока, введение
На предыдущих уроках для решения систем уравнений применялись графический метод, метод подстановки и метод алгебраического сложения. Сейчас будет рассмотрен метод введения новых переменных.
2. Пример на введение новых переменных
Введение новых переменных позволяет упростить исходную систему. Рассмотрим в качестве примера систему, которая предлагалась на вступительном экзамене в 1979 г. в МГУ на механико-математический факультет.
Пример 1. Решить систему 
Решение.
Полезно ввести новые переменные 
Довольно сложная исходная система свелась к более простой. Это система двух линейных уравнений относительно a и b. Решим ее методом алгебраического сложения, вычтем из первого уравнения второе.
Мы ввели новые переменные и решили систему относительно этих переменных. Возвращаемся к старым переменным.
Мы получили вторую систему двух линейных уравнений относительно x и y.
Решим систему методом подстановки.
Ответ: 
3. Основные сведения о квадратных уравнениях
Часто при замене переменных мы получаем квадратное уравнение. Напомним основные сведения о них:
Квадратное уравнение в общем виде: 
Формула корней квадратного уравнения через дискриминант:
Если b – четное число, имеем формулу: 
Напомним теорему Виета: Если 
корни квадратного уравнения 
, то 
Верно и обратное: Если числа 
удовлетворяют системе 
, то они являются корнями квадратного уравнения.
Напомним прием, который позволяет упростить нахождение корней квадратного уравнения. Умножим квадратное уравнение на 
Получим 
Получили новое уравнение относительно новой переменной 
Мы получили приведенное квадратное уравнение с целыми коэффициентами (если они были целыми в исходном уравнении).
4. Примеры приведенных квадратных уравнений с заменой переменных
Пример 2. Решить уравнение 
Решение:
;
Это приведенное уравнение, коэффициенты – целые числа.
По теореме Виета 
Ответ: 
Пример 3. Решить уравнение 
Решение:
Получили приведенное квадратное уравнение относительно z.
По теореме Виета 
Ответ: 
Мы рассмотрели еще один прием, который позволяет упростить нахождение корней квадратного уравнения.
5. Решение систем уравнений
После сделанных напоминаний для квадратных уравнений решим систему:
Пример 4. Решить систему 
Решение: Произведем замену: 
Вернемся к исходной системе:
Ответ:
Пример 5. Решить систему: 
Решение:
Введем новую переменную: 
Получаем квадратное уравнение относительно новой переменной.
Исходная система свелась к совокупности двух систем:
Каждую систему решаем методом подстановки.
1. 
2. 
Находим y при известных x.
Ответ: 
6. Пример симметрической системы
Следующая система – симметрическая. Симметрической называется такая система, которая не изменится, если переменные поменять местами.
Решение: Произведем замену 
Получаем систему:
Мы ввели новые переменные, и нашли их.
Вернемся к старым переменным. Получаем две системы:
1. 
2. 
нет решений.
Ответ: 
Заметим, что решением симметрической системы являются симметричные пары чисел.
http://interneturok.ru/ru/school/algebra/9-klass/sistemy-uravneniy/metod-vvedeniya-novyh-peremennyh?konspekt&chapter_id=26
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=hMUW7O1rPZE