8 класс. Алгебра. Свойства квадратных корней.

8 класс. Алгебра. Свойства квадратных корней.

Комментарии преподавателя

На данном уроке мы познакомимся с одной из важнейших операций при работе с корнями – вынесение множителя из-под знака корня. Кроме того, мы научимся извлекать корень из квадрата положительных и отрицательных чисел. На этом уроке мы сформулируем и докажем свойства квадратных корней, связанных с вынесением множителя из-под знака корня, а также разберём ряд примеров на эти свойства.

 

 

Тема: Функ­ция . Свой­ства квад­рат­но­го корня

Урок: Пре­об­ра­зо­ва­ние вы­ра­же­ний с кор­ня­ми (вы­не­се­ние мно­жи­те­ля из-под знака корня)

 1. Повторение определения и свойств квадратного корня

На­пом­ним опре­де­ле­ние квад­рат­но­го корня:

квад­рат­ным кор­нем из неот­ри­ца­тель­но­го числа на­зы­ва­ет­ся такое число неот­ри­ца­тель­ное число , квад­рат ко­то­ро­го равен .

Из опре­де­ле­ния квад­рат­но­го корня сразу сле­ду­ет сле­ду­ю­щее тож­де­ство:

.

Рас­смот­рим несколь­ко при­ме­ров на вы­чис­ле­ние кор­ней: , т. к. , т. к. , т. к. .

На­пом­ним также ос­нов­ные свой­ства квад­рат­но­го корня:

1.  (). Если  и  – неот­ри­ца­тель­ные числа, то ко­рень из их про­из­ве­де­ния равен про­из­ве­де­нию кор­ней.

2.  (). Если  – неот­ри­ца­тель­ное число, а  – по­ло­жи­тель­ное число, то ко­рень из их от­но­ше­ния равен от­но­ше­нию кор­ней.

3.  ().

При­ме­ры:

1. .

2. .

 2. Свойство корня – вынесение множителя из-под знака корня

До­ка­жем те­перь ещё одно не менее важ­ное свой­ство квад­рат­но­го корня:

, т. е.: .

До­ка­за­тель­ство:

На­пом­ним вна­ча­ле опре­де­ле­ние мо­ду­ля: . При­ме­ры: .

Рас­смот­рим два слу­чая:

1. , т. к.  – можно поль­зо­вать­ся опре­де­ле­ни­ем корня квад­рат­но­го из неот­ри­ца­тель­но­го числа.

2. . В этом слу­чае: . Тогда для числа  можем вос­поль­зо­вать­ся ре­зуль­та­та­ми пер­во­го слу­чая: .

Утвер­жде­ние до­ка­за­но

Есте­ствен­ным обоб­ще­ни­ем дан­но­го свой­ства яв­ля­ет­ся фор­му­ла:

 .

 3. Примеры решения задач на вынесение множителя из-под знака корня

Рас­смот­рим ти­по­вые за­да­чи на при­ме­не­ние ука­зан­но­го свой­ства.

При­ме­ры:

1. 

.

2. 

.

3. 

.

4. 

.

Необ­хо­ди­мо по­ни­мать, что во всех рас­смот­рен­ных при­ме­рах зна­че­ние кор­ней все­гда по­лу­ча­ет­ся неот­ри­ца­тель­ным (несмот­ря на на­ли­чие перед неко­то­ры­ми от­ве­та­ми знака . К при­ме­ру, в при­ме­ре 4 ответ по­ло­жи­тель­ный, так как знак вы­ра­же­ния  , а перед самим вы­ра­же­ни­ем стоит ещё один . Как из­вест­но, минус на минус даёт плюс.

Решим ещё несколь­ко при­ме­ров, в ко­то­рых фи­гу­ри­ру­ют уже несколь­ко пе­ре­мен­ных:

5. 

 ( – по усло­вию,  – все­гда, так как квад­рат все­гда неот­ри­ца­тель­ный).

6. 

 ( – по усло­вию,  – все­гда, так как квад­рат все­гда неот­ри­ца­тель­ный).

7. 

( – по усло­вию,  – так как ).

8. 

 ( – по усло­вию,  – так как ).

Итак, мы рас­смот­ре­ли вы­не­се­ние мно­жи­те­ля из-под знака корня. Мы на­учи­лись вы­но­сить мно­жи­тель из-под корня с учё­том его знака, а также ре­ши­ли несколь­ко при­ме­ров.

На сле­ду­ю­щем уроке мы на­учим­ся вно­сить мно­жи­тель под знак квад­рат­но­го корня.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/funktsiya-y-x-svoystva-kvadratnogo-kornya/preobrazovanie-vyrazheniy-s-kornyami-vynesenie-mnozhitelya-iz-pod-znaka-kornya?konspekt&chapter_id=920

 

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=_QowbpPNMR8

Файлы