Идеальный газ в МКТ. Основное уравнение МКТ. Физика. 10 класс.

Идеальный газ в МКТ. Основное уравнение МКТ. Физика. 10 класс.

Комментарии преподавателя

Ос­нов­ное урав­не­ние мо­ле­ку­ляр­но-ки­не­ти­че­ской тео­рии

Идеальный газ

Изу­че­ние любой об­ла­сти фи­зи­ки все­гда на­чи­на­ет­ся с вве­де­ния некой мо­де­ли, в рам­ках ко­то­рой идет изу­че­ние в даль­ней­шем. На­при­мер, когда мы изу­ча­ли ки­не­ма­ти­ку, мо­де­лью тела была ма­те­ри­аль­ная точка, когда изу­ча­ли пла­не­тар­ные дви­же­ния, пла­не­ты при­ни­ма­лись за сферы и т. д. Как вы уже до­га­да­лись, мо­дель ни­ко­гда не будет со­от­вет­ство­вать ре­аль­но про­ис­хо­дя­щим про­цес­сам, но часто она очень силь­но при­бли­жа­ет­ся к этому со­от­вет­ствию.

Мо­ле­ку­ляр­ная фи­зи­ка, и в част­но­сти МКТ, не яв­ля­ет­ся ис­клю­че­ни­ем. Над про­бле­мой опи­са­ния мо­де­ли ра­бо­та­ли мно­гие учё­ные, на­чи­ная с во­сем­на­дца­то­го века: М. Ло­мо­но­сов, Д. Джо­уль, Р. Кла­у­зи­ус (Рис. 1). По­след­ний, соб­ствен­но, и ввёл в 1857 году мо­дель иде­аль­но­го газа.

Рис. 1. Джеймс Джо­уль, Ми­ха­ил Ло­мо­но­сов, Ру­дольф Кла­у­зи­ус со­от­вет­ствен­но

Опре­де­ле­ние. Иде­аль­ный газ – мо­дель газа, в рам­ках ко­то­ро­го мо­ле­ку­лы и атомы газа пред­став­ле­ны в виде очень ма­лень­ких (ис­че­за­ю­щих раз­ме­ров) упру­гих ша­ри­ков, ко­то­рые не вза­и­мо­дей­ству­ют друг с дру­гом (без непо­сред­ствен­но­го кон­так­та), а толь­ко стал­ки­ва­ют­ся (см. Рис. 2).

Сле­ду­ет от­ме­тить, что раз­ре­жен­ный во­до­род (под очень ма­лень­ким дав­ле­ни­ем) прак­ти­че­ски пол­но­стью удо­вле­тво­ря­ет мо­де­ли иде­аль­но­го газа.

Рис. 2.

Микро- и макропараметры газа

Те­перь можно при­сту­пить к опи­са­нию па­ра­мет­ров иде­аль­но­го газа. Они де­лят­ся на две груп­пы:

 Па­ра­мет­ры иде­аль­но­го газа       

 

То есть мик­ро­па­ра­мет­ры опи­сы­ва­ют со­сто­я­ние от­дель­но взя­той ча­сти­цы (мик­ро­те­ла), а мак­ро­па­ра­мет­ры – со­сто­я­ние всей пор­ции газа (мак­ро­те­ла). За­пи­шем те­перь со­от­но­ше­ние, свя­зы­ва­ю­щее одни па­ра­мет­ры с дру­ги­ми, или же ос­нов­ное урав­не­ние МКТ:

Здесь:  - сред­няя ско­рость дви­же­ния ча­стиц;

Опре­де­ле­ние.  – кон­цен­тра­ция ча­стиц газа – ко­ли­че­ство ча­стиц, при­хо­дя­щих­ся на еди­ни­цу объ­ё­ма; ; еди­ни­ца из­ме­ре­ния – .

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории

Таким об­ра­зом, ос­нов­ное урав­не­ние МКТ вво­дит нам прямо про­пор­ци­о­наль­ную за­ви­си­мость мак­ро­па­ра­мет­ра дав­ле­ния от мик­ро­па­ра­мет­ров массы мо­ле­ку­лы и сред­ней ско­ро­сти дви­же­ния в квад­ра­те. То есть чем тя­же­лее ча­сти­цы и чем боль­ше их ско­ро­сти, тем силь­нее они вре­за­ют­ся в стен­ки со­су­да и тем боль­шее ока­зы­ва­ют дав­ле­ние.

Воз­мож­ны и дру­гие формы за­пи­си этого урав­не­ния, если вспом­нить неко­то­рые фор­му­лы из более ран­них раз­де­лов фи­зи­ки:

 - сред­няя ки­не­ти­че­ская энер­гия по­сту­па­тель­но­го дви­же­ния

Или же:

 – плот­ность газа

Выведение основного уравнения МКТ

Вспом­ним ос­нов­ные све­де­ния про мо­дель иде­аль­но­го газа:

- мо­ле­ку­лы дви­жут­ся ха­о­ти­че­ски;

- ме­ха­низм дав­ле­ния иде­аль­но­го газа – это со­уда­ре­ние от­дель­ных мо­ле­кул со стен­ка­ми со­су­да.

Пусть иде­аль­ный газ на­хо­дит­ся в ци­лин­дри­че­ском со­су­де (см. Рис. 1). Опре­де­лим дав­ле­ние p этого газа на пор­шень.

Рис. 1. Иде­аль­ный газ (мо­ле­ку­лы) в ци­лин­дри­че­ском со­су­де

По опре­де­ле­нию дав­ле­ние – ве­ли­чи­на, рав­ная от­но­ше­нию силы (F), дей­ству­ю­щей пер­пен­ди­ку­ляр­но по­верх­но­сти, к пло­ща­ди этой по­верх­но­сти (S).

 

Вы­чис­лим силу (F), с ко­то­рой мо­ле­ку­лы дей­ству­ют на пор­шень:

1. Опре­де­лим силу удара одной мо­ле­ку­лы о стен­ку со­су­да.

Пусть мо­ле­ку­ла иде­аль­но­го газа мас­сой  дви­жет­ся в плос­ко­сти XOYсо ско­ро­стью  и, уда­рив­шись о пор­шень, от­ска­ки­ва­ет от него со ско­ро­стью  (см. Рис. 2). Со­глас­но вто­ро­му за­ко­ну Нью­то­на, сила, дей­ству­ю­щая на мо­ле­ку­лу со сто­ро­ны порш­ня во время удара, равна:

,

где a – уско­ре­ние мо­ле­ку­лы при ударе;   – из­ме­не­ние ско­ро­сти дви­же­ния мо­ле­ку­лы при ударе;  – про­дол­жи­тель­ность удара.

Рис. 2. Столк­но­ве­ние мо­ле­ку­лы с порш­нем

Про­ек­ция ско­ро­сти на ось OY не из­ме­ня­ет­ся, по­это­му всё из­ме­не­ние ско­ро­сти  равно из­ме­не­нию ско­ро­сти вдоль оси X:

 

Так как:

 

 

То:

 

Со­глас­но тре­тье­му за­ко­ну Нью­то­на, сила, с ко­то­рой мо­ле­ку­ла дей­ству­ет на пор­шень, равна по мо­ду­лю силе , с ко­то­рой пор­шень дей­ству­ет на мо­ле­ку­лу. Сле­до­ва­тель­но:

 

2. Рас­счи­та­ем число мо­ле­кул N, уда­рив­ших­ся о пор­шень за ин­тер­вал .

За ин­тер­вал вре­ме­ни  до порш­ня успе­ют до­ле­теть толь­ко те мо­ле­ку­лы, ко­то­рые дви­жут­ся в на­прав­ле­нии порш­ня и уда­ле­ны от него на рас­сто­я­ние  (см. Рис. 3). То есть фак­ти­че­ски по­ло­ви­на числа мо­ле­кул, за­клю­чён­ных в ци­лин­дре объ­ё­мом . Сле­до­ва­тель­но, число мо­ле­кул, уда­рив­ших­ся о пор­шень за ин­тер­вал , равно:

 

 – общее число мо­ле­кул, ко­то­рое равно про­из­ве­де­нию кон­цен­тра­ции на объём:

 

 

Рис. 3. Мо­ле­ку­лы, уда­рив­ши­е­ся о пор­шень за время

3. Опре­де­лим общую силу уда­ров мо­ле­кул о пор­шень.

Эта сила будет равна про­из­ве­де­нию силы удара одной мо­ле­ку­лы на общее число уда­ров:

 

Мы живём в трёх­мер­ном мире, то есть любая мо­ле­ку­ла имеет про­ек­цию ско­ро­сти . Так как все мо­ле­ку­лы дви­га­ют­ся ха­о­тич­но, то на­прав­ле­ния их дви­же­ния рав­но­прав­ные, по­это­му можно на­пи­сать, что в сред­нем, для сред­ней квад­ра­тич­ной ско­ро­сти,  оди­на­ко­вые (). Сле­до­ва­тель­но, за­ме­ня­ем квад­рат про­ек­ции ско­ро­сти на сред­ний квад­рат про­ек­ции ско­ро­сти:

 

Под­став­ля­ем это зна­че­ние в фор­му­лу силы уда­ров мо­ле­кул о пор­шень:

 

Зна­че­ние дан­ной силы под­ста­вим в фор­му­лу дав­ле­ния:

 

 – ос­нов­ное урав­не­ние МКТ иде­аль­но­го газа,

где мак­ро­па­ра­мет­ры ;

мик­ро­па­ра­мет­ры .

Второй способ записи основного уравнения МКТ

Ос­нов­ное урав­не­ние МКТ можно за­пи­сать в дру­гом виде, в ко­то­ром дав­ле­ние свя­зы­ва­ет­ся не с мас­сой и ско­ро­стью мо­ле­ку­лы, а с их ком­би­на­ци­ей, то есть со сред­ней ки­не­ти­че­ской энер­ги­ей одной мо­ле­ку­лы.

Сред­нюю ки­не­ти­че­скую энер­гию по­сту­па­тель­но­го дви­же­ния мо­ле­кул газа можно рас­счи­тать по фор­му­ле:

 

Сле­до­ва­тель­но, ос­нов­ное урав­не­ние МКТ будет вы­гля­деть так:

 – дав­ле­ние иде­аль­но­го газа равно двум тре­тям сред­ней ки­не­ти­че­ской энер­гии по­сту­па­тель­но­го дви­же­ния мо­ле­кул, со­дер­жа­щих­ся в еди­ни­це объ­е­ма

К занятию прикреплен файл  «Это интересно!». Вы можете скачать файл  в любое удобное для вас время.
 

Использованные источники: 

  • http://interneturok.ru/ru/school/physics/10-klass/
  • http://www.youtube.com/watch?v=PXyIVNgxfvM
  • http://www.youtube.com/watch?v=S-gPuzj-tyw
  • http://www.youtube.com/watch?v=QnU097BS6KU
  • http://www.youtube.com/watch?v=xbfSY4M6ce0
     

 

Файлы