8 класс. Алгебра. Исследование функции на монотонность.

Комментарии преподавателя

Урок: Ин­тер­ва­лы мо­но­тон­но­сти функ­ций и со­пут­ству­ю­щие за­да­чи

 1. Исследование квадратичной функции на монотонность

Мы опре­де­ли­ли по­ня­тия мо­но­тон­но­го воз­рас­та­ния и мо­но­тон­но­го убы­ва­ния функ­ций, ис­сле­до­ва­ли на мо­но­тон­ность ли­ней­ную функ­цию. Была также сфор­му­ли­ро­ва­на неко­то­рая ме­то­ди­ка ис­сле­до­ва­ния мо­но­тон­но­сти функ­ций. Мы вы­яс­ни­ли, что ли­ней­ные функ­ции толь­ко воз­рас­та­ют (при по­ло­жи­тель­ном ко­эф­фи­ци­ен­те ) или толь­ко убы­ва­ют (при от­ри­ца­тель­ном ко­эф­фи­ци­ен­те ). Пе­рей­дем к ис­сле­до­ва­нию дру­гих функ­ций.

При­мер№1.

По­стро­им и рас­смот­рим гра­фик функ­ции (рис. 1):

Рис. 1. Гра­фик функ­ции 

Это па­ра­бо­ла с на­прав­лен­ны­ми вверх вет­вя­ми, при­чем, оче­вид­но, что если то ха­рак­тер по­ве­де­ния функ­ции один, а если то ха­рак­тер по­ве­де­ния функ­ции ме­ня­ет­ся.

Если , нам надо до­ка­зать, что функ­ция убы­ва­ет. А если  то функ­ция воз­рас­та­ет.

Пусть . До­ка­зать, что функ­ция убы­ва­ю­щая.

До­ка­за­тель­ство: Пусть . При­чем: , тогда . До­ка­зать, что . Нужно в функ­цию под­ста­вить со­от­вет­ству­ю­щие зна­че­ния:

Раз­ность ; По усло­вию ; сумма двух от­ри­ца­тель­ных чисел есть число от­ри­ца­тель­ное . Имеем про­из­ве­де­ние по­ло­жи­тель­но­го числа и от­ри­ца­тель­но­го, зна­чит 

т. е., что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

II. Пусть . До­ка­зать, что функ­ция воз­рас­та­ю­щая.

Пусть , До­ка­зать, что .

До­ка­за­тель­ство: , по­то­му что сумма и раз­ность этих чисел – по­ло­жи­тель­ные числа. Зна­чит,  Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

При­мер№2 (для са­мо­сто­я­тель­но­го рас­смот­ре­ния)

Опре­де­лить ин­тер­ва­лы мо­но­тон­но­сти функ­ций: , 

На­гляд­но дан­ный при­мер ре­ша­ет­ся по гра­фи­ку (рис. 2, 3):

Рис. 2. Гра­фик функ­ции 

Рис. 3. Гра­фик функ­ции 

Неслож­но за­ме­тить, что ха­рак­тер мо­но­тон­но­сти обеих функ­ций оди­на­ков, при  обе функ­ции воз­рас­та­ют, а при  – убы­ва­ют.

Так, ко­эф­фи­ци­ент, сто­я­щий перед  опре­де­ля­ет по­ве­де­ние функ­ции «до нуля» и «после нуля».

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/neravenstva/intervaly-monotonnosti-funktsiy-i-soputstvuyuschie-zadachi?konspekt&chapter_id=17

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=XsMqe2U1fSg

Файлы