11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Логарифмические уравнения и неравенства.

11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Логарифмические уравнения и неравенства.

Число e — иррациональное, т. е. представляет собой бесконечную ...

Комментарии преподавателя

 1. Повторение основных свойств функции y=e^x,

На­пом­ним, что по­ка­за­тель­ной на­зы­ва­ет­ся функ­ция вида . Гра­фик вы­гля­дит так:

Рис. 1. Гра­фик по­ка­за­тель­ной функ­ции

Гра­фик функ­ции воз­рас­та­ет, если ; если ос­но­ва­ние  лежит в пре­де­лах то функ­ция убы­ва­ет.

Вспом­ним ос­нов­ные свой­ства.

1.      может при­ни­мать любые дей­стви­тель­ные зна­че­ния;

2.       может при­ни­мать любые по­ло­жи­тель­ные зна­че­ния;

3.       Гра­фи­ки всех функ­ций при любом зна­че­нии  про­хо­дят через эту точку;

4.      Функ­ция воз­рас­та­ет, если ;

5.      Функ­ция убы­ва­ет, если .

Итак, мы вспом­ни­ли, что такое по­ка­за­тель­ная функ­ция и ка­ко­вы ее ос­нов­ные свой­ства.

 2. Определение числа e

Число 

Рас­смот­рим две кон­крет­ные по­ка­за­тель­ные функ­ции с ос­но­ва­ни­ем 

Вот гра­фик функ­ции :

Рис. 2. Гра­фик функ­ции 

Вот гра­фик функ­ции :

Рис. 3. Гра­фик функ­ции 

В точке , если про­ве­дем ка­са­тель­ную к од­но­му и вто­ро­му гра­фи­ку, об­на­ру­жим, что ка­са­тель­ная к пер­во­му гра­фи­ку на­кло­не­на к оси при­мер­но на (мень­ше ).

Во вто­ром слу­чае ка­са­тель­ная на­кло­не­на к оси при­мер­но на (боль­ше ).

Пред­по­ла­га­ем, и во­об­ще это до­ка­за­но, что су­ще­ству­ет между ос­но­ва­ни­я­ми  такое число , что гра­фик  имеет ка­са­тель­ную в точке , ко­то­рая на­кло­не­на к оси ровно на .

Рис. 4. Ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции 

Итак, в пер­вом слу­чае ка­са­тель­ная на­кло­не­на под углом мень­ше , во вто­ром слу­чае ка­са­тель­ная на­кло­не­на под углом боль­ше . И, ока­зы­ва­ет­ся, есть такое число , что ка­са­тель­ная в точке  на­кло­не­на к оси  под углом ровно  Это число , во-пер­вых, рас­по­ло­же­но  и, во-вто­рых, ир­ра­ци­о­наль­но. Вот вы­пи­са­но несколь­ко де­ся­тич­ных зна­ков этого числа: . Таким об­ра­зом, мы ввели очень важ­ное число 

Те­перь рас­смот­рим свой­ства по­ка­за­тель­ной функ­ции с ос­но­ва­ни­ем 

 

 3. Свойства функции y=e

Гра­фик функ­ции вы­гля­дит так:

Рис. 5. Гра­фик функ­ции 

Свой­ства ана­ло­гич­ны свой­ствам функ­ции с ос­но­ва­ни­ем:

;

Функ­ция воз­рас­та­ет;

Функ­ция не огра­ни­че­на свер­ху, но огра­ни­че­на снизу;

Не су­ще­ству­ет ни наи­боль­ше­го  ни наи­мень­ше­го  зна­че­ний;

Функ­ция непре­рыв­на;

При­ни­ма­ет все зна­че­ния, когда ;

Функ­ция вы­пук­ла вниз;

Функ­ция диф­фе­рен­ци­ру­е­ма. Что это зна­чит прак­ти­че­ски? Что ка­са­тель­ную к экс­по­нен­те можно про­ве­сти в любой точке.

Та­ко­вы свой­ства дан­ной функ­ции.

 4. Производная функции

По­го­во­рим о про­из­вод­ной этой функ­ции. Что мы на дан­ный мо­мент о ней знаем и без до­ка­за­тель­ства по­ни­ма­ем?

Мы го­во­ри­ли, что функ­ция  диф­фе­рен­ци­ру­е­ма. Это зна­чит, что ка­са­тель­ная в любой точке су­ще­ству­ет, то есть про­из­вод­ная су­ще­ству­ет в любой точке. Но как ее найти? Мы знаем, что про­из­вод­ная в точке До­ка­зан важ­ный факт:

 При любом дей­стви­тель­ном зна­че­нии  То есть от­сю­да видна осо­бен­ность числа . Про­из­вод­ная, то есть ско­рость роста функ­ции в точке  равна зна­че­нию функ­ции в этой же точке. Это ос­нов­ная фор­му­ла, ко­то­рая поз­во­лит нам диф­фе­рен­ци­ро­вать все по­ка­за­тель­ные функ­ции.

 5. Некоторые типовые задачи

Те­перь рас­смот­рим неко­то­рые ти­по­вые за­да­чи на про­из­вод­ную функ­ции

При­мер 1.

Дано:

Найти: Про­из­вод­ную

Ре­ше­ние.

Вот ос­нов­ная фор­му­ла , мы умеем диф­фе­рен­ци­ро­вать слож­ную функ­цию.

Ответ:=

При­мер 2.

Дано:

Найти: Про­из­вод­ную

Ре­ше­ние.

По тем же пра­ви­лам, по ко­то­рым мы диф­фе­рен­ци­ру­ем все функ­ции, про­диф­фе­рен­ци­ру­ем и эту.

Ответ:=

Итак, зная ос­нов­ную фор­му­лу , мы можем ре­шать при­ме­ры на на­хож­де­ние про­из­вод­ных.

 6. Задача на касательную

Сле­ду­ю­щая стан­дарт­ная за­да­ча на ка­са­тель­ную.

При­мер 3.

Дано:абс­цис­са точки ка­са­ния;

Найти: Урав­не­ние ка­са­тель­ной к дан­ной кри­вой с абс­цис­сой в .

Ре­ше­ние.

Вспо­ми­на­ем урав­не­ние ка­са­тель­ной и стан­дарт­ную ме­то­ди­ку ее по­стро­е­ния:

Какие дей­ствия нужно сде­лать, чтобы со­ста­вить урав­не­ние ка­са­тель­ной?

Найти ко­ор­ди­на­ты точки ка­са­ния:

Итак, точка с ко­ор­ди­на­та­ми – это точка ка­са­ния (рис. 6).

Рис. 6. Точка ка­са­ния

Найти про­из­вод­ную в любой точке 

Найти кон­крет­ное зна­че­ние про­из­вод­ной в точке :

У нас все есть, чтобы за­пол­нить урав­не­ние ка­са­тель­ной.

За­пол­ня­ем, по­лу­ча­ем:

Ответ:

Неболь­шой ана­лиз:

Тан­генс угла на­кло­на

 

Ор­ди­на­та пе­ре­се­че­ния точки с осью :

За­да­ча ре­ше­на.

 7. Задача на нахождение наименьшего значения функции

При­мер 4.

Найти наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции.

Ре­ше­ние.

Имеем про­из­вод­ную про­из­ве­де­ния:

При­рав­ни­ва­ем про­из­вод­ную к нулю и убеж­да­ем­ся, что , так как по свой­ству по­ка­за­тель­ной функ­ции все­гда боль­ше нуля.

Итак, имеем един­ствен­ную кри­ти­че­скую точку (рис. 7).

Рис. 7. Кри­ти­че­ская точка

Если , то и функ­ция убы­ва­ет. Если , то .

Мы уже го­во­ри­ли, что  – един­ствен­ная кри­ти­че­ская точка. По­счи­та­ем зна­че­ние функ­ции в ней:

Рис. 8. Точка наи­мень­ше­го зна­че­ния функ­ции

И по­лу­ча­ем ответ: наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся в точке . Рис. 8.

Ответ: 

Итак, мы по­зна­ко­ми­лись с чис­лом , по­ка­за­тель­ной функ­ци­ей с ос­но­ва­ни­ем 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/chislo-e-funktsiya-y-e-x-ee-svoystva-grafik-differentsirovanie

http://www.youtube.com/watch?v=2Z2j4KqZ3QY

http://www.youtube.com/watch?v=NXssLveA78g

http://www.youtube.com/watch?v=AMPDXpOUov8

http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-chislo-e-funktsiya-grafik.pptx

http://multiurok.ru/urokimat/files/rabota-moiei-uchienitsy-eksponienta.html

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

 

Файлы