11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Логарифмические уравнения и неравенства.

11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Логарифмические уравнения и неравенства.

Область определения логарифмической функции - ...

Комментарии преподавателя

Ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ских нера­венств

 1. Введение

Клю­чом к ре­ше­нию ло­га­риф­ми­че­ских нера­венств яв­ля­ют­ся свой­ства ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции, т.е. функ­ции вида  (). Здесь t – неза­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, а= кон­крет­ное число, у – за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, функ­ция.

 2. Основные опорные факты 

Вспом­ним ос­нов­ные свой­ства ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции.

График логарифмической функции при различных основаниях

Рис. 1. Гра­фик ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции при раз­лич­ных ос­но­ва­ни­ях

Функ­ция мо­но­тон­на на всей своей об­ла­сти опре­де­ле­ния. При  мо­но­тон­но воз­рас­та­ет, т.е. боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции, . При  мо­но­тон­но убы­ва­ет, т.е. боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет мень­шее зна­че­ние функ­ции,, .

Имен­но мо­но­тон­ность ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции поз­во­ля­ет ре­шать про­стей­шие ло­га­риф­ми­че­ские нера­вен­ства.

 3. Решение простейшего логарифмического неравенства  

Рас­смот­рим ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ско­го нера­вен­ства, когда ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма .

То есть знак нера­вен­ства со­хра­ня­ет­ся.

При этом необ­хо­ди­мо не за­быть про ОДЗ, т.к. под ло­га­риф­мом могут сто­ять стро­го по­ло­жи­тель­ные вы­ра­же­ния. ОДЗ пред­став­ле­но си­сте­мой:

Ре­ше­ни­ем ис­ход­но­го нера­вен­ства яв­ля­ет­ся эк­ви­ва­лент­ное нера­вен­ство , по­это­му для со­блю­де­ния ОДЗ до­ста­точ­но за­щи­тить мень­шее из чисел по­лу­ча­ем си­сте­му нера­венств, ко­то­рая со­от­вет­ству­ет ис­ход­но­му нера­вен­ству:

 

 4.  Решение более сложных логарифмических неравенств

При­мер 1 – ре­шить нера­вен­ство:

Со­глас­но ме­то­ди­ке ре­ше­ния про­стей­ших ло­га­риф­ми­че­ких нера­венств, пер­вым дей­стви­ем необ­хо­ди­мо урав­нять ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов, в дан­ном слу­чае пред­ста­вить пра­вую часть в виде ло­га­риф­ма с тре­бу­е­мым ос­но­ва­ни­ем:

По­лу­ча­ем нера­вен­ство:

По­сколь­ку ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма боль­ше еди­ни­цы, в эк­ви­ва­лент­ной си­сте­ме знак нера­вен­ства со­хра­нит­ся:

Пре­об­ра­зу­ем:

Ответ: 

При­мер 2 – ре­шить нера­вен­ство:

Учтем ОДЗ:

ОДЗ: 

Со­глас­но свой­ству ло­га­риф­ма пре­об­ра­зу­ем в левой части сумму ло­га­риф­мов с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем в ло­га­рифм про­из­ве­де­ния:

Нам из­вест­но, что число Пи боль­ше еди­ни­цы (). По­это­му в эк­ви­ва­лент­ном нера­вен­стве знак ис­ход­но­го нера­вен­ства со­хра­ня­ет­ся:

Пре­об­ра­зу­ем по­лу­чен­ное нера­вен­ство:

Корни квад­рат­но­го урав­не­ния, сто­я­ще­го в левой части, со­глас­но тео­ре­ме Виета . Имеем па­ра­бо­лу, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Ин­те­ре­су­ю­щие нас зна­че­ния на­хо­дят­ся между кор­ней урав­не­ния:

Ответ с уче­том ОДЗ:  

Све­де­ние к про­стей­ше­му ло­га­риф­ми­че­ско­му нера­вен­ству часто осу­ществ­ля­ет­ся с по­мо­щью за­ме­ны пе­ре­мен­ных.

 

При­мер 3 – ре­шить нера­вен­ство:

При­ве­дем вто­рой член к ос­но­ва­нию 5:

По­лу­чи­ли нера­вен­ство:

Оче­вид­на за­ме­на: 

Имеем:

Со­глас­но тео­ре­ме Виета корни квад­рат­но­го урав­не­ния, сто­я­ще­го в левой части: . Имеем па­ра­бо­лу, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Ин­те­ре­су­ю­щие нас ре­ше­ния на­хо­дят­ся в ин­тер­ва­ле между кор­ня­ми.

Вер­нем­ся к ис­ход­ным пе­ре­мен­ным:

Пре­об­ра­зу­ем со­глас­но опре­де­ле­нию ло­га­риф­ма:

Ответ: 

 

При­мер 4 – ре­шить нера­вен­ство:

Учтем ОДЗ:

ОДЗ: 

Со­глас­но свой­ству ло­га­риф­ма пре­об­ра­зу­ем в левой части сумму ло­га­риф­мов с оди­на­ко­вым ос­но­ва­ни­ем в ло­га­рифм про­из­ве­де­ния:

Пре­об­ра­зу­ем пра­вую часть в ло­га­рифм с тре­бу­е­мым ос­но­ва­ни­ем:

Имеем нера­вен­ство:

Ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма боль­ше еди­ни­цы, по­лу­ча­ем эк­ви­ва­лент­ное нера­вен­ство с тем же зна­ком:

Пре­об­ра­зу­ем:

Со­глас­но тео­ре­ме Виета корни квад­рат­но­го урав­не­ния, сто­я­ще­го в левой части: . Имеем па­ра­бо­лу, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вверх. Ин­те­ре­су­ю­щие нас ре­ше­ния на­хо­дят­ся в ин­тер­ва­ле между кор­ня­ми:

Ответ с уче­том ОДЗ: 

Итак, мы рас­смот­ре­ли ре­ше­ние раз­лич­ных ти­по­вых ло­га­риф­ми­че­ских нера­венств. 

 

Ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ских нера­венств (про­дол­же­ние) 1. Введение

Пусть а – неко­то­рое фик­си­ро­ван­ное число, при чем , а – ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма. Ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет. Тогда нам из­вест­но эк­ви­ва­лент­ное ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ско­го нера­вен­ства:

 

 Те­перь пусть . Ло­га­риф­ми­че­ская функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет:

 2. Алгоритм решения простейших логарифмических неравенств с фиксированным основанием 

Рас­смот­рим слу­чай, когда ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма за­ви­сит от х . Тогда нужно рас­смот­реть два слу­чая:

Наша цель со­сто­ит в том, чтобы упро­стить по­лу­чен­ную гро­мозд­кую со­во­куп­ность.

 3. Алгоритм решения логарифмических неравенств с переменным основанием, два способа   

На­пом­ним важ­ный опор­ный факт:

Нам по­тре­бу­ют­ся сле­ду­ю­щие вы­ра­же­ния:

 

 4. Решение примера 

Те­перь нам проще ре­шить сле­ду­ю­щую за­да­чу.

 

Дано: 

До­ка­зать:

До­ка­за­тель­ство:

Мы опре­де­ли­ли, что за­дан­ное нера­вен­ство эк­ви­ва­лент­но сле­ду­ю­щей со­во­куп­но­сти:

Пре­об­ра­зу­ем:

Со­глас­но опор­но­му факту, по­лу­чен­ная со­во­куп­ность эк­ви­ва­лент­на си­сте­ме:

Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 5. Решение нестрогого неравенства с переменным основанием

При­мер 1 – ре­шить нера­вен­ство:

Урав­ня­ем ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов, в дан­ном слу­чае пред­ста­вим число в пра­вой части как ло­га­рифм с тре­бу­е­мым ос­но­ва­ни­ем:

Имеем нера­вен­ство:

Решим нера­вен­ство двумя спо­со­ба­ми.

            Спо­соб 1:

Про­ил­лю­стри­ру­ем ре­ше­ние:

Иллюстрация к решению примера 1

Иллюстрация к решению примера 1

Рис. 1. Ил­лю­стра­ция к ре­ше­нию при­ме­ра 1

Ответ: 

Со­ста­вим эк­ви­ва­лент­ную си­сте­му:

Про­ил­лю­стри­ру­ем ре­ше­ние дроб­но-ра­ци­о­наль­но­го нера­вен­ства:

Интервалы знакопостоянства

Рис. 2. Ин­тер­ва­лы зна­ко­по­сто­ян­ства

По­лу­ча­ем ре­ше­ние си­сте­мы:

Ответ: 

Те­перь рас­смот­рим ре­ше­ние нестро­го­го ло­га­риф­ми­че­ско­го нера­вен­ства , где 

За­дан­но­му нера­вен­ству эк­ви­ва­лент­на си­сте­ма:

 

 6. Решение примера

При­мер 2 – ре­шить нера­вен­ство:

Ре­ша­ем с по­мо­щью эк­ви­ва­лент­ной си­сте­мы (вто­рой спо­соб). Урав­ня­ем ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов, в дан­ном слу­чае пред­ста­вим число в пра­вой части как ло­га­рифм с тре­бу­е­мым ос­но­ва­ни­ем:

Имеем нера­вен­ство:

Со­ста­вим эк­ви­ва­лент­ную си­сте­му:

По­ка­жем ре­ше­ние пер­во­го нера­вен­ства ме­то­дом ин­тер­ва­лов:

Иллюстрация решения примера 2

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция ре­ше­ния при­ме­ра 2

Учи­ты­вая ОДЗ, имеем ответ: 

Итак, мы рас­смот­ре­ли ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ских нера­венств по­вы­щен­ной слож­но­сти. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/reshenie-logarifmicheskih-neravenstv

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/reshenie-logarifmicheskih-neravenstv-prodolzhenie

http://www.youtube.com/watch?v=fgzG30EqVys

http://www.youtube.com/watch?v=qSOFls26ICY

http://ege-ok.ru/2012/02/10/reshenie-logarifmicheskih-neravenstv

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/4938274f13bc98046e8564063df40fcafe9fb762422d9929dbb48ce183e5bb38/56a2c71d/Odg6yN9ywrwT2cixdZsfiEDSD3e5Q69ddvKnYg8qBWJsyC7BArEtdQC84mMkIOZdV9PU-YKS3p_HWw0BvEuyHA%3D%3D?uid=0&filename=670.pdf&disposition=attachment&hash=aSLGLZV5IlrmNFQ9dfVZbUu5Mq4FVeCO/Cz5EcxDQsk%3D&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=5808072&hid=b5d4f65d7105982fb54709be551438ae&media_type=document&tknv=v2

http://ov1098.jimdo.com/учащимся/11-класс-тесты/

 

 

Файлы