11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Логарифмические уравнения и неравенства.

11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Логарифмические уравнения и неравенства.

Комментарии преподавателя

Ло­га­риф­ми­че­ские нера­вен­ства

 1. Важные опорные факты

Клю­чом к ре­ше­нию ло­га­риф­ми­че­ских нера­венств яв­ля­ют­ся свой­ства ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции, т. е. функ­ции вида  (). Здесь t – неза­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, а – кон­крет­ное число, у – за­ви­си­мая пе­ре­мен­ная, функ­ция.

Вспом­ним ос­нов­ные свой­ства ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции.

График логарифмической функции при различных основаниях

Рис. 1. Гра­фик ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции при раз­лич­ных ос­но­ва­ни­ях

1. Об­ласть опре­де­ле­ния: ;

2. Об­ласть зна­че­ний: ;

3. Функ­ция мо­но­тон­на на всей своей об­ла­сти опре­де­ле­ния. При  мо­но­тон­но воз­рас­та­ет (когда ар­гу­мент воз­рас­та­ет от нуля до плюс бес­ко­неч­но­сти, функ­ция воз­рас­та­ет от минус до плюс бес­ко­неч­но­сти, ). При  мо­но­тон­но убы­ва­ет (когда ар­гу­мент воз­рас­та­ет от нуля до плюс бес­ко­неч­но­сти, функ­ция убы­ва­ет от плюс до минус бес­ко­неч­но­сти, ).

Имен­но мо­но­тон­ность ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции поз­во­ля­ет ре­шать про­стей­шие ло­га­риф­ми­че­ские нера­вен­ства.

 2. Методика решения простейших логарифмических неравенств с основанием большим единицы, пример 

Рас­смот­рим ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ско­го нера­вен­ства, когда ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма .

Нера­вен­ство необ­хо­ди­мо ре­шать, при­ме­няя эк­ви­ва­лент­ные, рав­но­силь­ные пре­об­ра­зо­ва­ния. Рас­смот­рим схему. По­сколь­ку мы рас­смат­ри­ва­ем ло­га­риф­ми­че­скую функ­цию с ос­но­ва­ни­ем, боль­шим еди­ни­цы, пом­ним, что функ­ция мо­но­тон­но воз­рас­та­ет. От­сю­да:

При этом необ­хо­ди­мо не за­быть про ОДЗ, т. к. под ло­га­риф­мом могут сто­ять стро­го по­ло­жи­тель­ные вы­ра­же­ния. ОДЗ пред­став­ле­но си­сте­мой:

Ре­ше­ни­ем ис­ход­но­го нера­вен­ства яв­ля­ет­ся эк­ви­ва­лент­ное нера­вен­ство , по­это­му для со­блю­де­ния ОДЗ до­ста­точ­но за­щи­тить мень­шее из чисел. По­лу­ча­ем си­сте­му нера­венств, ко­то­рая со­от­вет­ству­ет ис­ход­но­му нера­вен­ству:

На­при­мер:

Иллюстрация решения примера

Рис. 2. Ил­лю­стра­ция ре­ше­ния при­ме­ра

Ответ: 

 3.  Методика решения простейших логарифмических неравенств с основанием, лежащим в пределах от нуля до единицы, пример

Рас­смот­рим ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ско­го нера­вен­ства, когда ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма .

По­сколь­ку мы рас­смат­ри­ва­ем ло­га­риф­ми­че­скую функ­цию с ос­но­ва­ни­ем, ле­жа­щим в пре­де­лах от нуля до еди­ни­цы, пом­ним, что функ­ция мо­но­тон­но убы­ва­ет. От­сю­да:

При этом необ­хо­ди­мо не за­быть про ОДЗ, т. к. под ло­га­риф­мом могут сто­ять стро­го по­ло­жи­тель­ные вы­ра­же­ния. ОДЗ пред­став­ле­но си­сте­мой:

Ре­ше­ни­ем ис­ход­но­го нера­вен­ства яв­ля­ет­ся эк­ви­ва­лент­ное нера­вен­ство , по­это­му для со­блю­де­ния ОДЗ до­ста­точ­но за­щи­тить мень­шее из чисел. По­лу­ча­ем си­сте­му нера­венств, ко­то­рая со­от­вет­ству­ет ис­ход­но­му нера­вен­ству:

На­при­мер:

Иллюстрация решения примера

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция ре­ше­ния при­ме­ра

Ответ: нет ре­ше­ний

 

 4.  Обобщение методики

Вы­пол­ним обоб­ще­ние. Мы рас­смат­ри­ва­ем про­стей­шие ло­га­риф­ми­че­ские нера­вен­ства, т. е. нера­вен­ства вида:

Все осталь­ные более слож­ные ло­га­риф­ми­че­ские нера­вен­ства сво­дят­ся к про­стей­шим.

Ме­то­ди­ка ре­ше­ния:

1. Урав­нять ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов;

2. Срав­нить под­ло­га­риф­ми­че­ские вы­ра­же­ния:

- при  со­хра­нить знак нера­вен­ства;

- при  из­ме­нить знак нера­вен­ства на про­ти­во­по­лож­ный;

3. Учесть ОДЗ;

 

 5.  Решение примеров

При­мер 1 – ре­шить нера­вен­ство:

Урав­ня­ем ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов. Для этого число в пра­вой части пред­ста­вим в виде ло­га­риф­ма с нуж­ным ос­но­ва­ни­ем:

Итак, имеем нера­вен­ство:

Ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма мень­ше еди­ни­цы, имеем эк­ви­ва­лент­ную си­сте­му:

Иллюстрация решения примера 1

Рис. 4. Ил­лю­стра­ция ре­ше­ния при­ме­ра 1

Ответ: 

При­мер 2 – ре­шить нера­вен­ство:

Урав­ня­ем ос­но­ва­ния:

Имеем нера­вен­ство:

Ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма мень­ше еди­ни­цы, имеем эк­ви­ва­лент­ную си­сте­му:

Имеем си­сте­му двух про­стей­ших ло­га­риф­ми­че­ских нера­венств. Урав­ня­ем ос­но­ва­ния в каж­дом из них:

В обоих слу­ча­ях ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма боль­ше еди­ни­цы, за­пи­шем эк­ви­ва­лент­ные си­сте­мы:

Иллюстрация к решению примера 2

Рис. 5. Ил­лю­стра­ция к ре­ше­нию при­ме­ра 2

Ответ: 

Итак, мы изу­чи­ли про­стей­шие ло­га­риф­ми­че­ские нера­вен­ства. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/logarifmicheskie-neravenstva

http://www.youtube.com/watch?v=2HhlZQsciko

http://www.youtube.com/watch?v=w6W9_eWPAcM

http://www.youtube.com/watch?v=byYEupi3Ll0

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/4938274f13bc98046e8564063df40fcafe9fb762422d9929dbb48ce183e5bb38/56a2c71d/Odg6yN9ywrwT2cixdZsfiEDSD3e5Q69ddvKnYg8qBWJsyC7BArEtdQC84mMkIOZdV9PU-YKS3p_HWw0BvEuyHA%3D%3D?uid=0&filename=670.pdf&disposition=attachment&hash=aSLGLZV5IlrmNFQ9dfVZbUu5Mq4FVeCO/Cz5EcxDQsk%3D&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=5808072&hid=b5d4f65d7105982fb54709be551438ae&media_type=document&tknv=v2

http://ov1098.jimdo.com/учащимся/11-класс-тесты/

http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-urok-logarifmicheskie-neravenstva.pptx

http://cn25959.tmweb.ru/upload/iblock/d38/d3807320bd4498e36146d622d22d33df.jpg

 

Файлы