11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Логарифмические уравнения и неравенства.

11 класс. Алгебра. Показательная и логарифмическая функции. Логарифмические уравнения и неравенства.

Уравнения, содержащие переменную...

Комментарии преподавателя

 1. Важные теоретические факты

На­пом­ним цен­траль­ное опре­де­ле­ние – опре­де­ле­ние ло­га­риф­ма. Оно свя­за­но с ре­ше­ни­ем по­ка­за­тель­но­го урав­не­ния . Дан­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень, его на­зы­ва­ют ло­га­риф­мом b по ос­но­ва­нию а: 

Опре­де­ле­ние:

Ло­га­риф­мом числа b по ос­но­ва­нию а на­зы­ва­ет­ся такой по­ка­за­тель сте­пе­ни, в ко­то­рую нужно воз­ве­сти ос­но­ва­ние а, чтобы по­лу­чить число b.

На­пом­ним ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство.

Вы­ра­же­ние  (вы­ра­же­ние 1) яв­ля­ет­ся кор­нем урав­не­ния  (вы­ра­же­ние 2). Под­ста­вим зна­че­ние х из вы­ра­же­ния 1 вме­сто х в вы­ра­же­ние 2 и по­лу­чим ос­нов­ное ло­га­риф­ми­че­ское тож­де­ство:

Итак мы видим, что каж­до­му зна­че­нию  ста­вит­ся в со­от­вет­ствие зна­че­ние . Обо­зна­чим b за х (), с за у, и таким об­ра­зом по­лу­ча­ем ло­га­риф­ми­че­скую функ­цию:

На­при­мер: 

Вспом­ним ос­нов­ные свой­ства ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции.

Еще раз об­ра­тим вни­ма­ние, здесь , т. к. под ло­га­риф­мом может сто­ять стро­го по­ло­жи­тель­ное вы­ра­же­ние,  как ос­но­ва­ние ло­га­риф­ма.

Рис. 1. Гра­фик ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции при раз­лич­ных ос­но­ва­ни­ях

Гра­фик функ­ции  при  изоб­ра­жен чер­ным цве­том. Рис. 1. Если ар­гу­мент воз­рас­та­ет от нуля до бес­ко­неч­но­сти, функ­ция воз­рас­та­ет от минус до плюс бес­ко­неч­но­сти.

Гра­фик функ­ции  при  изоб­ра­жен крас­ным цве­том. Рис. 1.

Свой­ства дан­ной функ­ции:

Об­ласть опре­де­ле­ния: ;

Об­ласть зна­че­ний: ;

Функ­ция мо­но­тон­на на всей своей об­ла­сти опре­де­ле­ния. При  мо­но­тон­но (стро­го) воз­рас­та­ет, боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет боль­шее зна­че­ние функ­ции. При  мо­но­тон­но (стро­го) убы­ва­ет, боль­ше­му зна­че­нию ар­гу­мен­та со­от­вет­ству­ет мень­шее зна­че­ние функ­ции.

Свой­ства ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции яв­ля­ют­ся клю­чом к ре­ше­нию раз­но­об­раз­ных ло­га­риф­ми­че­ских урав­не­ний.

 2. Методика решения простейших логарифмических уравнений

Рас­смот­рим про­стей­шее ло­га­риф­ми­че­ское урав­не­ние, все осталь­ные ло­га­риф­ми­че­ские урав­не­ния, как пра­ви­ло, сво­дят­ся к та­ко­му виду.

По­сколь­ку равны ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов и сами ло­га­риф­мы, равны и функ­ции, сто­я­щие под ло­га­риф­мом, но мы долж­ны не упу­стить об­ласть опре­де­ле­ния. Под ло­га­риф­мом может сто­ять толь­ко по­ло­жи­тель­ное число, имеем:

Мы вы­яс­ни­ли, что функ­ции f и g равны, по­это­му до­ста­точ­но вы­брать одно любое нера­вен­ство чтобы со­б­лю­сти ОДЗ.

Таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли сме­шан­ную си­сте­му, в ко­то­рой есть урав­не­ние и нера­вен­ство:

Нера­вен­ство, как пра­ви­ло, ре­шать необя­за­тель­но, до­ста­точ­но ре­шить урав­не­ние и най­ден­ные корни под­ста­вить в нера­вен­ство, таким об­ра­зом вы­пол­нить про­вер­ку.

Сфор­му­ли­ру­ем метод ре­ше­ния про­стей­ших ло­га­риф­ми­че­ских урав­не­ний:

Урав­нять ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов;

При­рав­нять под­ло­га­риф­ми­че­ские функ­ции;

Вы­пол­нить про­вер­ку.

 3. Примеры решения уравнений

Рас­смот­рим кон­крет­ные при­ме­ры.

При­мер 1 – ре­шить урав­не­ние:

Ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов из­на­чаль­но равны, имеем право при­рав­нять под­ло­га­риф­ми­че­ские вы­ра­же­ния, не за­бы­ва­ем про ОДЗ, вы­бе­рем для со­став­ле­ния нера­вен­ства пер­вый ло­га­рифм:

Най­дем ко­рень и под­ста­вим его в нера­вен­ство:

Ответ: 

При­мер 2 – ре­шить урав­не­ние:

Дан­ное урав­не­ние от­ли­ча­ет­ся от преды­ду­ще­го тем, что ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов мень­ше еди­ни­цы, но это никак не вли­я­ет на ре­ше­ние:

Ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов из­на­чаль­но равны, имеем право при­рав­нять под­ло­га­риф­ми­че­ские вы­ра­же­ния, не за­бы­ва­ем про ОДЗ, вы­бе­рем для со­став­ле­ния нера­вен­ства вто­рой ло­га­рифм:

Най­дем ко­рень и под­ста­вим его в нера­вен­ство:

По­лу­чи­ли невер­ное нера­вен­ство, зна­чит, най­ден­ный ко­рень не удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ.

Ответ: 

При­мер 3 – ре­шить урав­не­ние:

Ос­но­ва­ния ло­га­риф­мов из­на­чаль­но равны, имеем право при­рав­нять под­ло­га­риф­ми­че­ские вы­ра­же­ния, не за­бы­ва­ем про ОДЗ, вы­бе­рем для со­став­ле­ния нера­вен­ства вто­рой ло­га­рифм:

Най­дем ко­рень и под­ста­вим его в нера­вен­ство:

Оче­вид­но, что толь­ко пер­вый ко­рень удо­вле­тво­ря­ет ОДЗ.

Ответ: 

Итак, мы при­сту­пи­ли к изу­че­нию важ­ной темы – ре­ше­ние ло­га­риф­ми­че­ских урав­не­ний. Мы рас­смот­ре­ли ме­то­ди­ку ре­ше­ния про­стей­ших урав­не­ний и несколь­ко при­ме­ров ее при­ме­не­ния. 

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/logarifmicheskie-uravneniya?seconds=0&chapter_id=732

http://www.youtube.com/watch?v=Rnw6OM26PwE

http://www.youtube.com/watch?v=3jNN5D81rr0

http://mathematics-tests.com/matematika/11-klass/algebra-11-klass-urok-logarifmicheskie-uravneniya.pptx

https://downloader.disk.yandex.ru/disk/197fa925c280a3c019e8f0b97c7065779aec80a75626f3c3c7877370509af9a4/56a1139b/gl1wdmatkHwr1IvHwfPzjlCbLxx51K2AXTrKx-khOfQ1WIGwVJDIxTfxWZJp9W23tYCJlb2c61QroEWHqjfeTQ%3D%3D?uid=0&filename=%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&disposition=attachment&hash=Ev/JAxs9FONy74%2BMIKGz214ILPNlyMZo/xnQbixz5Z8%3D%3A/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%BA%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87-%D0%90.%D0%93.-%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0-%D0%B8-%D0%BD%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0-%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7%D0%B0.11-%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81-%D0%A7%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C-1.pdf&limit=0&content_type=application%2Fpdf&fsize=18366111&hid=c9e0cd334be9f7c6de02c1f2d04edf87&media_type=document&tknv=v2

http://www.uchportal.ru/load/26-1-0-1610

 

 

 

 

Файлы