8 класс. Алгебра. Свойства числовых неравенств.

8 класс. Алгебра. Свойства числовых неравенств.

Комментарии преподавателя

Данный урок посвящён теме «Свойства числовых неравенств». В ходе этого занятия вы вспомните определение неравенства. Сможете получить представление об основных свойствах числовых неравенств, которые впоследствии пригодятся для решения задач.

 

 

Тема: Нера­вен­ства

Урок: Свой­ства чис­ло­вых нера­венств

 1. Что такое неравенство

Что такое чис­ло­вое нера­вен­ство.

Вспом­ним, что озна­ча­ют нера­вен­ства:  и :

 озна­ча­ет, что и  озна­ча­ет, что 

Вывод: число  счи­та­ет­ся боль­шим числа b, если раз­ность  яв­ля­ет­ся по­ло­жи­тель­ным чис­лом. Число  счи­та­ет­ся мень­ше числа b, если раз­ность  яв­ля­ет­ся от­ри­ца­тель­ным чис­лом.

Гео­мет­ри­че­ская ин­тер­пре­та­ция.

 

Если точка с ко­ор­ди­на­той  на­хо­дит­ся пра­вее, чем точка с ко­ор­ди­на­той b, зна­чит число  . И на­о­бо­рот. Не все­гда оче­вид­на ал­геб­ра­и­че­ская за­пись, по­это­му гео­мет­ри­че­ская ин­тер­пре­та­ция часто по­мо­га­ет. С по­ло­жи­тель­ны­ми чис­ла­ми это оче­вид­но, а с от­ри­ца­тель­ны­ми лучше поль­зо­вать­ся рас­по­ло­же­ни­ем этих чисел на чис­ло­вой оси.

Свой­ства чис­ло­вых нера­венств.

 2. Свойство неравенств №1

Если , то 

До­ка­за­тель­ство: По­сколь­ку по усло­вию , то раз­ни­цы и  яв­ля­ют­ся по­ло­жи­тель­ны­ми чис­ла­ми. Тогда по­ло­жи­тель­ной будет и их сумма  Имеем: .Таким об­ра­зом, раз­ни­ца  – по­ло­жи­тель­ное число, и от­сю­да сле­ду­ет, что .

 3. Свойство неравенств №2

Если  и с – любое число, то .

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим раз­ность Имеем: . По­сколь­ку по усло­вию , то раз­ность  – по­ло­жи­тель­ное число и . Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 4. Свойство неравенств №3

Если  и c – по­ло­жи­тель­ное число, то . И если  и c – от­ри­ца­тель­ное число, то .

До­ка­за­тель­ство:

Рас­смот­рим раз­ность Имеем:. По­сколь­ку по усло­вию , то раз­ность  – по­ло­жи­тель­ное число. Если  , то про­из­ве­де­ние  – по­ло­жи­тель­ное число, и раз­ность  по­ло­жи­тель­ная , т. е..

Если  , то про­из­ве­де­ние  – от­ри­ца­тель­ное число, и раз­ность  от­ри­ца­тель­ная, т. е. 

При­мер: , умно­жим обе части нера­вен­ства на 2 и по­лу­чим , но если обе части нера­вен­ства умно­жить на -2, то знак нера­вен­ства по­ме­ня­ет­ся на про­ти­во­по­лож­ный: .

 5. Действия с неравенствами

Свой­ство 4.

.Т. е. любые нера­вен­ства од­но­го знака можно скла­ды­вать.

Свой­ство 5.

Рас­смот­рим пе­ре­мно­же­ние нера­венств.

Если все числа по­ло­жи­тель­ные, то их можно пе­ре­мно­жить, и по­лу­чим . Если умно­жать на от­ри­ца­тель­ное число, то знак нера­вен­ства ме­ня­ет­ся на про­ти­во­по­лож­ный.

Свой­ство 6.

Рас­смот­рим воз­ве­де­ние в сте­пень нера­венств.

и тогда .

 6. Пример №1

Даны два по­ло­жи­тель­ных числа и .И . До­ка­зать, что их об­рат­ные ве­ли­чи­ны свя­за­ны про­ти­во­по­лож­ным нера­вен­ством: 

Ре­ше­ние. Пе­ре­не­сем в одну сто­ро­ну и вы­пол­ним необ­хо­ди­мые дей­ствия.

 

Так как даны по­ло­жи­тель­ные числа и то нужно убе­дить­ся, что  . Чтобы дробь была от­ри­ца­тель­ным чис­лом, надо, чтобы зна­ме­на­тель был от­ри­ца­тель­ным чис­лом. Умно­жа­ем  на -1 и по­лу­ча­ем .

 7. Пример №2

Дано: 

а) Оце­нить число 

Ре­ше­ние: Обе части нера­вен­ства умно­жа­ем на 2. Тогда . За­да­ча ре­ше­на.

б) Оце­нить число -3

Ре­ше­ние: будет ме­нять­ся в пре­де­лах . Умно­жа­ем нера­вен­ство на 3. По­лу­ча­ем 

в) Oце­нить раз­ность 

Ре­ше­ние:  . Нера­вен­ства од­но­го знака можно скла­ды­вать. По­лу­ча­ем:

 

Ответ: 

 8. Пример №3

Дано: 

Ре­ше­ние: Пе­ре­но­сим все в одну сто­ро­ну.. При­во­дим к об­ще­му зна­ме­на­те­лю: Зна­ме­на­тель по усло­вию , зна­чит и чис­ли­тель дол­жен быть по­ло­жи­тель­ным чис­лом, т. е. . Квад­рат числа все­гда равен по­ло­жи­тель­но­му числу, кроме, если а=1. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

Под­ве­де­ние итога урока.

На дан­ном уроке была рас­смот­ре­на тема: «Свой­ства чис­ло­вых нера­венств». В ходе этого за­ня­тия вы вспом­ни­ли опре­де­ле­ние нера­вен­ства. По­лу­чи­ли пред­став­ле­ние об ос­нов­ных свой­ствах чис­ло­вых нера­венств, ко­то­рые впо­след­ствии при­го­дят­ся для ре­ше­ния задач.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/neravenstva/svoystva-chislovyh-neravenstv?konspekt&chapter_id=17

 

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=oI4A1wh8WuM

Файлы