8 класс. Алгебра. Квадратные уравнения.
8 класс. Алгебра. Квадратные уравнения.
Комментарии преподавателя
На данном уроке мы вспомним метод выделения полного квадрата, решим с помощью него несколько конкретных квадратных уравнений. Затем выведем общую формулу для корней квадратных уравнений.
Метод выделения полного квадрата на примере решения квадратного уравнения
Напомним, что квадратным уравнением называется уравнение вида:
, причем 
.
На прошлом уроке мы рассмотрели неполные квадратные уравнения и методы их решения. Сейчас мы поговорим о полных квадратных уравнениях, то есть уравнениях, в которых ни один из коэффициентов не равен 0 (
).
Основной метод, который используется для выведения формул корней квадратных уравнений, – метод выделения полного квадрата. Мы уже изучали его в 7 классе, однако необходимо вспомнить его более подробно.
Рассмотрим несколько конкретных примеров квадратных уравнений, которые мы решим с помощью использования этого метода.
Пример 1
Решить квадратное уравнение: 
.
Решение:
Коэффициенты данного квадратного уравнения: 
.
Для применения метода выделения полного квадрата воспользуемся следующей формулой: 
.
Метод выделения полного квадрата для данного примера состоит в том, чтобы подобрать число 
так, чтобы 
. Значит, 
.
Получаем:
Данное уравнение можно решать двумя способами.
Способ 1
. Отсюда или: 
, или: 
.
Ответ:
.
Способ 2
. Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из его множителей равен 0. Поэтому данное уравнение эквивалентно двум: 
и: 
.
Ответ:.
Более сложный случай использования метода выделения полного квадрата
Мы рассмотрели метод выделения полного квадрата на частном примере. Давайте рассмотрим еще один, чуть более сложный пример, в котором старший коэффициент не будет равняться 1.
Пример 2
Решить квадратное уравнение: 
.
Решение:
Коэффициенты данного квадратного уравнения: 
.
Прежде чем выделять полный квадрат, вынесем 2 за скобки в первых двух слагаемых: 
.
Теперь в скобках выделим полный квадрат. Опять же, необходимо подобрать 
так, чтобы: 
.
Получаем следующее уравнение:
.
Отсюда:
.
Отсюда: 
или 
.
Ответ: 
.
Вывод формулы корней квадратного уравнения
Разобрав конкретные примеры, можем перейти к получению общей формулы корней квадратного уравнения.
Итак, рассмотрим уравнение . Вынесем старший коэффициент за скобки в первых двух слагаемых: 
. Теперь выделим в скобочках полный квадрат: 
.
Далее: 
.
Теперь поделим обе части уравнения на 
, так как знаем, что в квадратном уравнении : 
.
Выражение 
называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой 
.
Пока мы будем считать, что в нашем уравнении 
, то есть из него можно извлечь корень.
Тогда получаем: 
. Или:
.
Это и есть формула для корней квадратного уравнения в общем виде.
Если расписать ее, то можно получить две формулы для каждого из корней:
Если теперь мы вернемся к нашим примерам, то в уравнении дискриминант равен: 
. Тогда:
Применение полученных формул, выводы
На этом уроке мы вспомнили метод выделения полного квадрата, разобрали решение конкретных квадратных уравнений с помощью этого метода. Кроме того, мы вывели формулу корней квадратного уравнения и узнали, что такое дискриминант.
На следующем уроке мы рассмотрим применение формул корней квадратных уравнений.
Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/8-klass/kvadratnye-uravneniya-prodolzhenie/formuly-korney-kvadratnyh-uravneniy?konspekt&chapter_id=16
Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=y-r-RckVIqE