7 класс. Алгебра. Сокращение алгебраических дробей. Тождества.

Комментарии преподавателя

На данном уроке мы сформируем понятие и дадим определение тождества, сформулируем его отличия от уравнения. Кроме того, мы научимся определять допустимые значения переменных. Мы решим много различных примеров, связанных с тождествами и тождественными преобразованиями.

 

 

Тема: Раз­ло­же­ние мно­го­чле­нов на мно­жи­те­ли

Урок: Тож­де­ства

 1. Формулировка понятия тождества

Рас­смот­рим при­ме­ры.

При­мер 1:

;

Дан­ное урав­не­ние мы ре­ша­ли ме­то­дом вы­де­ле­ния пол­но­го квад­ра­та и по­лу­чи­ли корни  или 

При­мер 2:

;

Дан­ное урав­не­ние мы также ре­ша­ли ме­то­дом вы­де­ле­ния пол­но­го квад­ра­та и по­лу­чи­ли ответ  или .

Это озна­ча­ет, что в слу­чае при­ме­ра 1 толь­ко при  или  урав­не­ние пре­вра­ща­лось в вер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство, для вто­ро­го при­ме­ра толь­ко при  или  урав­не­ние пре­вра­ща­лось в вер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство.

 По­вто­рим ход ре­ше­ния при­ме­ра 1. После пре­об­ра­зо­ва­ний мы по­лу­чи­ли урав­не­ние , из ко­то­ро­го явно видно, что  и  яв­ля­ют­ся ре­ше­ни­я­ми дан­но­го урав­не­ния.

Урав­не­ние из при­ме­ра 2 рас­кла­ды­ва­лось так:  и от­сю­да тоже явно сле­ду­ет ответ.

Для нас важно то, что при­ве­ден­ные выше вы­ра­же­ния спра­вед­ли­вы каж­дое толь­ко для своей пары зна­че­ний пе­ре­мен­ной и эти зна­че­ния имеют на­зва­ние корни урав­не­ния.

 Но су­ще­ству­ют такие вы­ра­же­ния, ко­то­рые спра­вед­ли­вы при любых зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ных, ко­то­рые в них вхо­дят. Рас­смот­рим при­ме­ры:

При­мер 3:

;

Под­ста­вив в вы­ра­же­ние любые зна­че­ния , мы по­лу­чим вер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство.

При­мер 4:

;

Фор­му­ла квад­ра­та раз­но­сти утвер­жда­ет, что дан­ное вы­ра­же­ние спра­вед­ли­во при любых зна­че­ни­ях 

Вы­ра­же­ния из при­ме­ров 3 и 4 мы будем на­зы­вать тож­де­ства­ми. По­доб­ных при­ме­ров можно при­ве­сти очень много:

При­мер 5:

;

Дан­ное вы­ра­же­ние также спра­вед­ли­во при любых зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ных

В этом и за­клю­ча­ет­ся прин­ци­пи­аль­ное от­ли­чие урав­не­ния от тож­де­ства. Тож­де­ство – это такое ра­вен­ство, ко­то­рое верно при любых зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ных, ко­то­рые в него вхо­дят, урав­не­ние же спра­вед­ли­во толь­ко при неко­то­рых зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ных.

Уточ­ним, что зна­чит любые зна­че­ния пе­ре­мен­ных. Рас­смот­рим эле­мен­тар­ное ра­вен­ство:

;

какое бы зна­че­ние  не при­ни­мал, ра­вен­ство будет спра­вед­ли­вым.

Раз­де­лим обе сто­ро­ны на 

Дан­ное вы­ра­же­ние будет спра­вед­ли­во при любых , кроме , по­то­му что в зна­ме­на­те­ле обеих дро­бей стоит дву­член , и эти дроби опре­де­ле­ны, то есть их можно вы­чис­лить, толь­ко если зна­ме­на­тель не равен нулю:  , то есть .

При­мер 6:

Дан­ное вы­ра­же­ние яв­ля­ет­ся тож­де­ством, так как оно спра­вед­ли­во во всех слу­ча­ях кроме тех, когда зна­ме­на­тель равен нулю. То есть, оно спра­вед­ли­во при всех , кроме , так как в этом слу­чае дробь не имеет смыс­ла.

 2. Решение простых примеров

Итак, по­яви­лись зна­че­ния пе­ре­мен­ных, при ко­то­рых даже само вы­ра­же­ние не имеет смыс­ла, в связи с этим скор­рек­ти­ру­ем опре­де­ле­ние тож­де­ства: тож­де­ство это вы­ра­же­ние, об­ра­ща­ю­ще­е­ся в вер­ное ра­вен­ство при всех до­пу­сти­мых зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ных, ко­то­рые в него вхо­дят.

Рас­смот­рим за­да­чи.

При­мер 7 – до­ка­зать тож­де­ство:

;

Мы уже встре­ча­лись с по­доб­ны­ми при­ме­ра­ми, го­во­ри­ли, что .

Те­перь до­ка­жем, что вы­ра­же­ние под квад­ра­том можно умно­жить на минус еди­ни­цу и по­лу­чит­ся вер­ное ра­вен­ство. Для этого в за­дан­ном вы­ра­же­нии рас­кро­ем скоб­ки:

;

Мы знаем, что от пе­ре­ме­ны мест сла­га­е­мых сумма не ме­ня­ет­ся, таким об­ра­зом, тож­де­ство до­ка­за­но.

Но его можно до­ка­зать и дру­гим спо­со­бом:

;

При­мер 8:

;

Пре­об­ра­зу­ем левую часть:

;

После пре­об­ра­зо­ва­ний по­лу­ча­ем:

;

Тож­де­ство до­ка­за­но.

За­ме­тим, что тож­де­ствен­ные пре­об­ра­зо­ва­ния – это те пре­об­ра­зо­ва­ния, при ко­то­рых одно вы­ра­же­ние за­ме­ня­ет­ся дру­гим, тож­де­ствен­но ему рав­ным.

При­мер 9:

;

Есть два спо­со­ба ре­ше­ния дан­ной за­да­чи. Пер­вый – это на­пря­мую в левой части рас­крыть квад­рат, вы­пол­нить умно­же­ние од­но­чле­на на дву­член, при­ве­сти по­доб­ные члены и по­смот­реть, ока­жет­ся ли вы­ра­же­ние тож­де­ством или нет.

Вто­рой спо­соб – пре­об­ра­зо­вать левую часть при по­мо­щи ме­то­да вы­не­се­ния об­ще­го мно­жи­те­ля:

;

Те­перь мы видим, что левая часть – это раз­ность квад­ра­тов. Пре­об­ра­зу­ет ее:

;

По­лу­ча­ем вы­ра­же­ние:

;

Тож­де­ство до­ка­за­но.

При­мер 10 – до­ка­зать, что если , , , то вы­ра­же­ния   и  тож­де­ствен­но равны при любых зна­че­ни­ях  :

Рас­смот­ри два за­дан­ных вы­ра­же­ния. В пер­вом  стоят с плю­сом, а  с ми­ну­сом, во вто­ром на­о­бо­рот  стоит с плю­сом, а  стоят с ми­ну­сом, зна­чит пер­вое вы­ра­же­ние равно вто­ро­му, взя­то­му с про­ти­во­по­лож­ным зна­ком. То есть имеем неко­то­рое вы­ра­же­ние :

, , , 

под­ста­вим зна­че­ния A, B и С в за­дан­ное вы­ра­же­ние:

;

Упро­стим вы­ра­же­ние:

;

При­ве­дем по­доб­ные члены:

;

;

Тож­де­ство до­ка­за­но.

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/glava-5-razlozhenie-mnogochlenov-na-mnozhiteli/tozhdestva?konspekt&chapter_id=921

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=h-WOLz8Py4U

Файлы