7 класс. Алгебра. Многочлены.

Комментарии преподавателя

Урок: При­ве­де­ние мно­го­чле­на к стан­дарт­но­му виду. Ти­по­вые за­да­чи

Приведение многочлена к стандартному виду.

На­пом­ним ос­нов­ное опре­де­ле­ние: мно­го­член – это сумма од­но­чле­нов. Каж­дый од­но­член, вхо­дя­щий в со­став мно­го­чле­на как сла­га­е­мое на­зы­ва­ет­ся его чле­ном. На­при­мер:

  – дву­член;

  – мно­го­член;

  – дву­член;

По­сколь­ку мно­го­член со­сто­ит из од­но­чле­нов, то пер­вое дей­ствие с мно­го­чле­ном сле­ду­ет от­сю­да – нужно при­ве­сти все од­но­чле­ны к стан­дарт­но­му виду. На­пом­ним, что для этого нужно пе­ре­мно­жить все чис­лен­ные мно­жи­те­ли – по­лу­чить чис­лен­ный ко­эф­фи­ци­ент, и пе­ре­мно­жить со­от­вет­ству­ю­щие сте­пе­ни – по­лу­чить бук­вен­ную часть. Кроме того, об­ра­тим вни­ма­ние на тео­ре­му о про­из­ве­де­нии сте­пе­ней: при умно­же­нии сте­пе­ней по­ка­за­те­ли их скла­ды­ва­ют­ся.

Рас­смот­рим важ­ную опе­ра­цию – при­ве­де­ние мно­го­чле­на к стан­дарт­но­му виду. При­мер:

Ком­мен­та­рий: чтобы при­ве­сти мно­го­член к стан­дарт­но­му виду, нужно при­ве­сти к стан­дарт­но­му виду все од­но­чле­ны, вхо­дя­щие в его со­став, после этого, если есть по­доб­ные од­но­чле­ны – а это од­но­чле­ны с оди­на­ко­вой бук­вен­ной ча­стью – вы­пол­нить дей­ствия с ними.

Итак, мы рас­смот­ре­ли первую ти­по­вую за­да­чу – при­ве­де­ние мно­го­чле­на к стан­дарт­но­му виду.

Вычисление значения многочлена.

Сле­ду­ю­щая ти­по­вая за­да­ча – вы­чис­ле­ние кон­крет­но­го зна­че­ния мно­го­чле­на при за­дан­ных чис­лен­ных зна­че­ни­ях вхо­дя­щих в него пе­ре­мен­ных. Про­дол­жим рас­смат­ри­вать преды­ду­щий при­мер и за­да­дим зна­че­ния пе­ре­мен­ных:

, , ;

;

Ком­мен­та­рий: на­пом­ним, что еди­ни­ца в любой на­ту­раль­ной сте­пе­ни равна еди­ни­це, а ноль в любой на­ту­раль­ной сте­пе­ни равен нулю, кроме того, на­пом­ним, что при умно­же­нии лю­бо­го числа на ноль по­лу­ча­ем ноль.

При­мер 1

– при­ве­сти к стан­дарт­но­му виду:

;

Ком­мен­та­рий: пер­вое дей­ствие – при­во­дим од­но­чле­ны к стан­дарт­но­му виду, нужно при­ве­сти пер­вый, вто­рой и ше­стой; вто­рое дей­ствие – при­во­дим по­доб­ные члены, то есть вы­пол­ня­ем над ними за­дан­ные ариф­ме­ти­че­ские дей­ствия: пер­вый скла­ды­ва­ем с пятым, вто­рой с тре­тьим, осталь­ные пе­ре­пи­сы­ва­ем без из­ме­не­ний, так как у них нет по­доб­ных.

При­мер 2 – вы­чис­лить зна­че­ние мно­го­чле­на из при­ме­ра 1 при за­дан­ных зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ных:

;

Ком­мен­та­рий: при вы­чис­ле­нии сле­ду­ет вспом­нить, что еди­ни­ца в любой на­ту­раль­ной сте­пе­ни это еди­ни­ца, при за­труд­не­нии вы­чис­ле­ний сте­пе­ней двой­ки можно вос­поль­зо­вать­ся таб­ли­цей сте­пе­ней.

При­мер 3 – вме­сто звез­доч­ки по­ста­вить такой од­но­член, чтобы ре­зуль­тат не со­дер­жал пе­ре­мен­ной :

Ком­мен­та­рий: неза­ви­си­мо от по­став­лен­ной за­да­чи, пер­вое дей­ствие все­гда оди­на­ко­во – при­ве­сти мно­го­член к стан­дарт­но­му виду. В нашем при­ме­ре это дей­ствие сво­дит­ся к при­ве­де­нию по­доб­ных чле­нов. После этого сле­ду­ет еще раз вни­ма­тель­но про­чи­тать усло­вие и по­ду­мать, каким об­ра­зом мы можем из­ба­вить­ся от од­но­чле­на . оче­вид­но, что для этого нужно к нему при­ба­вить такой же од­но­член, но с про­ти­во­по­лож­ным зна­ком - . далее за­ме­ня­ем звез­доч­ку этим од­но­чле­ном и убеж­да­ем­ся в пра­виль­но­сти на­ше­го ре­ше­ния.

При­мер 4 – при­ве­сти мно­го­член  к стан­дарт­но­му виду и за­пи­сать его по убы­ва­ю­щим сте­пе­ням , если его пе­ре­мен­ная  – это тоже мно­го­член, за­ви­ся­щий от :

, ;

;

Ком­мен­та­рий: для ре­ше­ния та­ко­го типа задач нужно под­ста­вить в ис­ход­ный мно­го­член  вы­ра­же­ние вто­ро­го за­дан­но­го мно­го­чле­на – в дан­ном слу­чае , после этого вы­пол­нить необ­хо­ди­мые дей­ствия – в дан­ном слу­чае рас­крыть скоб­ки, а после этого при­ве­сти по­лу­чен­ный мно­го­член к стан­дарт­но­му виду.

При­мер 5 – при­ве­сти мно­го­член к стан­дарт­но­му виду и опре­де­лить, при каких зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной он равен еди­ни­це:

;

;

, 

 

;

Ком­мен­та­рий: вы­пол­ним при­ве­де­ние к стан­дарт­но­му виду – в дан­ном слу­чае при­ве­де­ние по­доб­ных чле­нов, а после этого решим эле­мен­тар­ное урав­не­ние.

Вывод: в дан­ном уроке мы на­учи­лись ре­шать ос­нов­ные ти­по­вые за­да­чи на мно­го­чле­ны, вы­пол­ни­ли несколь­ко раз­лич­ных при­ме­ров для за­креп­ле­ния тех­ни­ки.

Урок: Сло­же­ние и вы­чи­та­ние мно­го­чле­нов. Ти­по­вые за­да­чи.

Правило сложения и вычитания многочленов.

Рас­смот­рим при­мер – сло­жить за­дан­ные мно­го­чле­ны:

За­да­ние под­ра­зу­ме­ва­ет, что нужно найти такой мно­го­член, ко­то­рый равен сумме двух за­дан­ных:

;

;

Итак, сфор­му­ли­ру­ем пра­ви­ло сло­же­ния мно­го­чле­нов:

- за­пи­сать опе­ра­цию сло­же­ния, по­ме­стив ис­ход­ные мно­го­чле­ны в скоб­ки, а между скоб­ка­ми по­ста­вив знак плюс. По­лу­ча­ем новый мно­го­член, так как при сло­же­нии двух мно­го­чле­нов мы по­лу­ча­ем сумму од­но­чле­нов - мно­го­член;

- рас­крыть скоб­ки, учи­ты­вая знаки внут­ри ско­бок;

- при­ве­сти по­доб­ные члены;

Пра­ви­ло для вы­чи­та­ния зву­чит ана­ло­гич­ным об­ра­зом, с един­ствен­ным от­ли­чи­ем: между скоб­ка­ми ста­вит­ся знак минус.

При­мер 2 – вы­пол­нить сло­же­ние:

;

;

;

Ком­мен­та­рий: при­мер ре­ша­ет­ся ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му со­глас­но пра­ви­лу сло­же­ния мно­го­чле­нов.

При­мер 3 – про­из­ве­сти вы­чи­та­ние:

;

;

Ком­мен­та­рий: вы­чи­та­ние про­из­во­дит­ся по пра­ви­лу, но сле­ду­ет об­ра­тить вни­ма­ние на знаки, так как перед скоб­кой стоит минус, нужно все од­но­чле­ны вто­ро­го мно­го­чле­на при рас­кры­тии скоб­ки умно­жать на минус один.

Об­ра­тим вни­ма­ние на то, что перед тем, как вы­пол­нять сло­же­ние или вы­чи­та­ние мно­го­чле­нов, нужно каж­дый из них при­ве­сти к стан­дарт­но­му виду.

При­мер 4 – найти ал­геб­ра­и­че­скую сумму мно­го­чле­нов :

;

;

;

Ком­мен­та­рий: вы­пол­ня­ем дей­ствия со­глас­но пра­ви­лу, об­ра­тив вни­ма­ние на то, что в дан­ном вы­ра­же­нии между скоб­ка­ми по усло­вию есть и знак плюс, и минус, нужно быть вни­ма­тель­ны­ми и пра­виль­но рас­крыть скоб­ки.

При­мер 1:

;

;

Найти мно­го­член , удо­вле­тво­ря­ю­щий усло­вию: 

;

Ком­мен­та­рий: в мно­го­члене  мы видим од­но­член , а в мно­го­члене  - 9, неслож­но до­га­дать­ся, что в мно­го­члене  долж­но быть  чтобы вы­пол­ня­лось за­дан­ное усло­вие. Ана­ло­гич­но на­хо­дим недо­ста­ю­щее число - .

При­мер 2:

;

;

Найти мно­го­член , удо­вле­тво­ря­ю­щий усло­вию: 

;

Ком­мен­та­рий: при­мер ре­ша­ет­ся ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му.

  Решение уравнений

Решим урав­не­ние:

;

;

;

x = 3;

Ком­мен­та­рий: чтобы ре­шить дан­ное урав­не­ние нужно вы­пол­нить опе­ра­цию ал­геб­ра­и­че­ско­го сло­же­ния, по­дроб­но разо­бран­ную в на­ча­ле урока, а затем ре­шить про­стей­шее урав­не­ние.

Вывод:

в дан­ном уроке были рас­смот­ре­ны опе­ра­ции сло­же­ния и вы­чи­та­ния мно­го­чле­нов, ре­ше­ны несколь­ко при­ме­ров, ти­по­вые за­да­чи и урав­не­ние.

Урок: Умно­же­ние мно­го­чле­на на од­но­член. Ти­по­вые за­да­чи

 

Опе­ра­ция умно­же­ния мно­го­чле­на на од­но­член яв­ля­ет­ся ос­но­вой для рас­смот­ре­ния опе­ра­ции умно­же­ния мно­го­чле­на на мно­го­член и нужно сна­ча­ла на­учить­ся умно­жать мно­го­член на од­но­член, чтобы разо­брать­ся в умно­же­нии мно­го­чле­нов.

Ос­но­вой дан­ной опе­ра­ции яв­ля­ет­ся рас­пре­де­ли­тель­ный закон умно­же­ния. На­пом­ним его:

;

По су­ще­ству, мы видим пра­ви­ло умно­же­ния мно­го­чле­на, в дан­ном слу­чае дву­чле­на, на од­но­член и это пра­ви­ло можно сфор­му­ли­ро­вать так: чтобы умно­жить мно­го­член на од­но­член, нужно каж­дый член мно­го­чле­на умно­жить на этот од­но­член. Сло­жить ал­геб­ра­и­че­ски по­лу­чен­ные про­из­ве­де­ния, после чего про­из­ве­сти над мно­го­чле­ном необ­хо­ди­мые дей­ствия – а имен­но при­ве­сти его к стан­дарт­но­му виду.

Правило умножения многочлена на одночлен.

Рас­смот­рим при­мер:

Ком­мен­та­рий: дан­ный при­мер ре­ша­ет­ся, точно сле­дуя пра­ви­лу: каж­дый член мно­го­чле­на умно­жа­ет­ся на од­но­член. Для того, чтобы хо­ро­шо по­нять и усво­ить рас­пре­де­ли­тель­ный закон, в дан­ном при­ме­ре члены мно­го­чле­на были за­ме­не­ны на х и у со­от­вет­ствен­но, а од­но­член на с, после этого вы­пол­не­но эле­мен­тар­ное дей­ствие в со­от­вет­ствии с рас­пре­де­ли­тель­ным за­ко­ном и вы­пол­не­на под­ста­нов­ка ис­ход­ных зна­че­ний. Сле­ду­ет быть вни­ма­тель­ны­ми со зна­ка­ми и пра­виль­но вы­пол­нить умно­же­ние на минус еди­ни­цу.

Рас­смот­рим при­мер умно­же­ния трех­чле­на на од­но­член и убе­дим­ся, что оно ничем не от­ли­ча­ет­ся от такой же опе­ра­ции с дву­чле­ном:

Пе­рей­дем к ре­ше­нию при­ме­ров:

При­мер 1:

Ком­мен­та­рий: дан­ный при­мер ре­ша­ет­ся со­глас­но рас­пре­де­ли­тель­но­му за­ко­ну и ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му при­ме­ру - каж­дый член мно­го­чле­на умно­жа­ет­ся на од­но­член, по­лу­чен­ный мно­го­член уже за­пи­сан в стан­дарт­ном виде, по­это­му упро­стить его нель­зя.

При­мер 2 – вы­пол­нить дей­ствия и по­лу­чить мно­го­член в стан­дарт­ном виде:

;

Ком­мен­та­рий: для ре­ше­ния дан­но­го при­ме­ра сна­ча­ла про­из­ве­дем умно­же­ние для пер­во­го и вто­ро­го дву­чле­нов со­глас­но рас­пре­де­ли­тель­но­му за­ко­ну, после этого при­ве­дем по­лу­чен­ный мно­го­член к стан­дарт­но­му виду - при­ве­дем по­доб­ные члены.

Те­перь сфор­му­ли­ру­ем ос­нов­ные за­да­чи, свя­зан­ные с опе­ра­ци­ей умно­же­ния мно­го­чле­на на од­но­член, и при­ве­дем при­ме­ры их ре­ше­ния.

За­да­ча1

– упро­стить вы­ра­же­ние:

;

Ком­мен­та­рий: дан­ный при­мер ре­ша­ет­ся ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му, а имен­но вна­ча­ле про­из­во­дит­ся умно­же­ние мно­го­чле­нов на со­от­вет­ству­ю­щие од­но­чле­ны, после этого при­ве­де­ние по­доб­ных.

За­да­ча 2

– упро­стить и вы­чис­лить:

:;    

;

;

Ком­мен­та­рий: дан­ный при­мер ре­ша­ет­ся ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му, с тем лишь до­пол­не­ни­ем, что после при­ве­де­ния по­доб­ных чле­нов нужно вме­сто пе­ре­мен­ной под­ста­вить ее кон­крет­ное зна­че­ние и вы­чис­лить зна­че­ние мно­го­чле­на. На­пом­ним, чтобы легко умно­жить де­ся­тич­ную дробь на де­сять, нужно пе­ре­ме­стить за­пя­тую на один раз­ряд впра­во.

При­мер 2: 

Найти зна­че­ние мно­го­чле­на при 

;

За­да­ча 3

– ре­шить урав­не­ние:

При­мер 1: ;

;

;

.

Ком­мен­та­рий: для ре­ше­ния дан­но­го урав­не­ния упро­стим левую его часть: про­из­ве­дем умно­же­ние мно­го­чле­нов на со­от­вет­ству­ю­щие им од­но­чле­ны, а сво­бод­ный член пе­ре­не­сем в пра­вую часть. После при­ве­де­ния по­доб­ных оста­ет­ся ре­шить эле­мен­тар­ное урав­не­ние.

При­мер 2: 

;

;

;

Ком­мен­та­рий: дан­ный при­мер ре­ша­ет­ся ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му.

Типичные ошибки:

Хо­те­лось бы об­ра­тить вни­ма­ние на ти­по­вые ошиб­ки во из­бе­жа­ние та­ко­вых в даль­ней­шем:

 – невер­но! так как ;

 – невер­но! так как ;

Вывод: в дан­ном уроке была изу­че­на опе­ра­ция умно­же­ния мно­го­чле­на на од­но­член и рас­смот­ре­ны раз­лич­ные при­ме­ры. Кроме того, были сфор­му­ли­ро­ва­ны и ре­ше­ны ос­нов­ные ти­по­вые за­да­чи, ка­са­ю­щи­е­ся дан­ной опе­ра­ции.

Источники конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/mnogochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-nimi/privedenie-mnogochlenov-k-standartnomu-vidu-tipovye-zadachi?konspekt&chapter_id=7

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/mnogochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-nimi/slozhenie-i-vychitanie-mnogochlenov-tipovye-zadachi?konspekt&chapter_id=7

http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/mnogochleny-arifmeticheskie-operacii-nad-nimi/umnozhenie-mnogochlena-na-odnochlen-tipovye-zadachi?konspekt&chapter_id=7

Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=vryxMXC_onQ

Файлы