Кинематика. Физика. 10 класс.

Кинематика. Физика. 10 класс.

На повороте при скорости 20 м/с автомобиль двигается с центростремительным ускорением равным по величине ускорению свободного падения. В каком числовом диапазоне находится радиус поворота?

Комментарии преподавателя

1. Введение

Для на­ча­ла опре­де­лим­ся, какие прин­ци­пи­аль­ные от­ли­чия есть у кри­во­ли­ней­но­го дви­же­ния (Рис. 1) от­но­си­тель­но пря­мо­ли­ней­но­го, и к чему эти от­ли­чия при­во­дят.

Рис. 1. Тра­ек­то­рия кри­во­ли­ней­но­го дви­же­ния

По­го­во­рим о том, как удоб­но опи­сы­вать дви­же­ние тела при кри­во­ли­ней­ном дви­же­нии.

Можно раз­бить дви­же­ние на от­дель­ные участ­ки, на каж­дом из ко­то­рых дви­же­ние можно счи­тать пря­мо­ли­ней­ным (Рис. 2).

Рис. 2. Раз­би­е­ние кри­во­ли­ней­но­го дви­же­ния на по­сту­па­тель­ные дви­же­ния

А даль­ше на каж­дом из этих участ­ков мы можем поль­зо­вать­ся за­ко­на­ми пря­мо­ли­ней­но­го дви­же­ния, ко­то­рые мы уже знаем. В прин­ци­пе, такой под­ход воз­мо­жен.

Од­на­ко более удоб­ным яв­ля­ет­ся сле­ду­ю­щий под­ход. Мы пред­ста­вим это дви­же­ние как со­во­куп­ность несколь­ких дви­же­ний по дугам окруж­но­стей (см. Рис. 3.). Об­ра­ти­те вни­ма­ние, что таких раз­би­е­ний мень­ше, чем в преды­ду­щем слу­чае, кроме того, дви­же­ние по окруж­но­сти яв­ля­ет­ся кри­во­ли­ней­ным. Кроме того, при­ме­ров дви­же­ния по окруж­но­сти в при­ро­де встре­ча­ет­ся очень часто. Из этого можно сде­лать вывод:

Для того чтобы опи­сы­вать кри­во­ли­ней­ное дви­же­ние, нужно на­учить­ся опи­сы­вать дви­же­ние по окруж­но­сти, а потом про­из­воль­ное дви­же­ние пред­став­лять в виде со­во­куп­но­стей дви­же­ний по дугам окруж­но­стей.

Рис. 3. Раз­би­е­ние кри­во­ли­ней­но­го дви­же­ния на дви­же­ния по дугам окруж­но­стей

Итак, нач­нем изу­че­ние кри­во­ли­ней­но­го дви­же­ния с изу­че­ния рав­но­мер­но­го дви­же­ния по окруж­но­сти. Да­вай­те раз­бе­рем­ся, ка­ко­вы прин­ци­пи­аль­ные от­ли­чия  кри­во­ли­ней­но­го дви­же­ния от пря­мо­ли­ней­но­го. Для на­ча­ла вспом­ним, что в де­вя­том клас­се мы изу­чи­ли тот факт, что ско­рость тела при дви­же­нии по окруж­но­сти на­прав­ле­на по ка­са­тель­ной к тра­ек­то­рии. Кста­ти, этот факт вы мо­же­те про­на­блю­дать на опыте, если по­смот­ри­те, как дви­жут­ся искры при ис­поль­зо­ва­нии то­чиль­но­го камня.

Рас­смот­рим дви­же­ние тела по окруж­но­сти (Рис. 4).

Рис. 4. Ско­рость тела при дви­же­нии по окруж­но­сти

Об­ра­ти­те вни­ма­ние, что в дан­ном слу­чае мо­дуль ско­ро­сти тела в точке А равен мо­ду­лю ско­ро­сти тела в точке B.

Од­на­ко, век­тор  не равен век­то­ру . Итак, у нас по­яв­ля­ет­ся век­тор раз­но­сти ско­ро­стей (см. Рис. 5).

Рис. 5. Раз­ность ско­ро­стей в точ­ках A и B.

При­чем из­ме­не­ние ско­ро­сти про­изо­шло через неко­то­рое время . Таким об­ра­зом, мы по­лу­ча­ем зна­ко­мую ком­би­на­цию:

,

это не что иное, как из­ме­не­ние ско­ро­сти за про­ме­жу­ток вре­ме­ни, или уско­ре­ние тела. Можно сде­лать очень важ­ный вывод:

Дви­же­ние по кри­во­ли­ней­ной тра­ек­то­рии яв­ля­ет­ся уско­рен­ным. При­ро­да этого уско­ре­ния – непре­рыв­ное из­ме­не­ние на­прав­ле­ние век­то­ра ско­ро­сти.

Еще раз от­ме­тим, что даже если го­во­рит­ся, что тело рав­но­мер­но дви­жет­ся по окруж­но­сти, име­ет­ся в виду, что мо­дуль ско­ро­сти тела не из­ме­ня­ет­ся, од­на­ко такое дви­же­ние все­гда яв­ля­ет­ся уско­рен­ным, по­сколь­ку из­ме­ня­ет­ся на­прав­ле­ние ско­ро­сти.

В де­вя­том клас­се вы изу­ча­ли, чему равно такое уско­ре­ние и как оно на­прав­ле­но (см. Рис. 6). Цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние  все­гда на­прав­ле­но к цен­тру окруж­но­сти, по ко­то­рой дви­жет­ся тело.

Рис. 6.Цен­тро­стре­ми­тель­ное уско­ре­ние

Мо­дуль цен­тро­стре­ми­тель­но­го уско­ре­ния может быть рас­счи­тан по фор­му­ле

.

Пе­ре­хо­дим к опи­са­нию рав­но­мер­но­го дви­же­ния тела по окруж­но­сти. До­го­во­рим­ся, что ско­рость , ко­то­рой вы поль­зо­ва­лись по время опи­са­ния по­сту­па­тель­но­го дви­же­ния, те­перь будет на­зы­вать­ся ли­ней­ной ско­ро­стью. И под ли­ней­ной ско­ро­стью мы будем по­ни­мать мгно­вен­ную ско­рость в точке тра­ек­то­рии вра­ща­ю­ще­го­ся тела.

Рис. 7. Дви­же­ние точек диска

Рас­смот­рим диск, ко­то­рый для опре­де­лен­но­сти вра­ща­ет­ся по ча­со­вой стрел­ке. На его ра­ди­у­се от­ме­тим две точки A и B. И рас­смот­рим их дви­же­ние. За неко­то­рое время  эти точки пе­ре­ме­стят­ся по дугам окруж­но­сти и ста­нут точ­ка­ми A’ и B’. Оче­вид­но, что точка А со­вер­ши­ла боль­шее пе­ре­ме­ще­ние, чем точка B. Из этого можно сде­лать вывод, что чем даль­ше от оси вра­ще­ния на­хо­дит­ся точка, тем с боль­шей ли­ней­ной ско­ро­стью она дви­жет­ся.

Од­на­ко, если вни­ма­тель­но по­смот­реть на точки А и В, можно ска­зать, что неиз­мен­ным остал­ся угол , на ко­то­рый они по­вер­ну­лись от­но­си­тель­но оси вра­ще­ния О. Имен­но уг­ло­вые ха­рак­те­ри­сти­ки мы и будем ис­поль­зо­вать для опи­са­ния дви­же­ния по окруж­но­сти. От­ме­тим, что для опи­са­ния дви­же­ния по окруж­но­сти, можно ис­поль­зо­вать уг­ло­вые ха­рак­те­ри­сти­ки. Пре­жде всего, на­пом­ним по­ня­тие о ра­ди­ан­ной мере углов.

Угол в 1 ра­ди­ан – это такой цен­траль­ный угол, длина дуги ко­то­ро­го равна ра­ди­у­су окруж­но­сти.

Рис. 8. Ра­ди­ан­ная мера угла

Таким об­ра­зом, легко за­ме­тить, что на­при­мер угол в равен ра­ди­ан. И, со­от­вет­ствен­но, можно пе­ре­ве­сти любой угол, за­дан­ный в гра­ду­сах, в ра­ди­а­ны, умно­жив его на  и по­де­лив на . Угол по­во­ро­та при вра­ща­тель­ном дви­же­нии ана­ло­ги­чен пе­ре­ме­ще­нию при по­сту­па­тель­ном дви­же­нии. За­ме­тим, что ра­ди­ан – это без­раз­мер­ная ве­ли­чи­на:

,

по­это­му обо­зна­че­ние «рад» часто опус­ка­ют.

Нач­нем рас­смот­ре­ние дви­же­ния по окруж­но­сти с са­мо­го про­сто­го слу­чая – рав­но­мер­но­го дви­же­ния по окруж­но­сти. На­пом­ним, что рав­но­мер­ным по­сту­па­тель­ным дви­же­ни­ем на­зы­ва­ет­ся дви­же­ние, при ко­то­ром за любые рав­ные про­ме­жут­ки вре­ме­ни тело со­вер­ша­ет оди­на­ко­вые пе­ре­ме­ще­ния. Ана­ло­гич­но,

Рав­но­мер­ным дви­же­ни­ем по окруж­но­сти на­зы­ва­ет­ся дви­же­ние, при ко­то­ром за любые рав­ные про­ме­жут­ки вре­ме­ни тело по­во­ра­чи­ва­ет­ся на оди­на­ко­вые углы.

Ана­ло­гич­но по­ня­тию ли­ней­ной ско­ро­сти вво­дит­ся по­ня­тие уг­ло­вой ско­ро­сти.

Уг­ло­вой ско­ро­стью на­зы­ва­ет­ся фи­зи­че­ская ве­ли­чи­на, рав­ная от­но­ше­нию угла, на ко­то­рый по­вер­ну­лось тело ко вре­ме­ни, за ко­то­рое про­изо­шел этот по­во­рот.

Из­ме­ря­ет­ся уг­ло­вая ско­рость в ра­ди­а­нах в се­кун­ду, или про­сто в об­рат­ных се­кун­дах.

Най­дем связь между уг­ло­вой ско­ро­стью вра­ще­ния точки и ли­ней­ной ско­ро­стью этой точки.

Рис. 9. Связь между уг­ло­вой и ли­ней­ной ско­ро­стью

Точка А про­хо­дит при вра­ще­нии дугу дли­ной S, по­во­ра­чи­ва­ясь при этом на угол φ. Из опре­де­ле­ния ра­ди­ан­ной меры угла можно за­пи­сать, что

.

Раз­де­лим левую и пра­вую части ра­вен­ства на про­ме­жу­ток вре­ме­ни , за ко­то­рый было со­вер­ше­но пе­ре­ме­ще­ние, затем вос­поль­зу­ем­ся опре­де­ле­ни­ем уг­ло­вой и ли­ней­ной ско­ро­стей

.

Об­ра­тим вни­ма­ние, что чем даль­ше точка на­хо­дит­ся от оси вра­ще­ния, тем выше ее уг­ло­вая и ли­ней­ная ско­рость. А точки, рас­по­ло­жен­ные на самой оси вра­ще­ния, непо­движ­ны. При­ме­ром этого может слу­жить ка­ру­сель: чем ближе вы на­хо­ди­тесь к цен­тру ка­ру­се­ли, тем легче вам на ней удер­жать­ся.

Вспом­ним, что ранее мы вво­ди­ли по­ня­тия пе­ри­о­да и ча­сто­ты вра­ще­ния.

Пе­ри­од вра­ще­ния – время од­но­го пол­но­го обо­ро­та. Пе­ри­од вра­ще­ния обо­зна­ча­ет­ся бук­вой  и из­ме­ря­ет­ся в се­кун­дах в си­сте­ме СИ:

.

Ча­сто­та вра­ще­ния – число обо­ро­тов в еди­ни­цу вре­ме­ни. Ча­сто­та обо­зна­ча­ет­ся бук­вой  и из­ме­ря­ет­ся в об­рат­ных се­кун­дах:

.

Они свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем:

.

Су­ще­ству­ет связь между уг­ло­вой ско­ро­стью и ча­сто­той вра­ще­ния тела. Если вспом­нить, что пол­ный обо­рот равен , легко уви­деть, что уг­ло­вая ско­рость:

.

Кроме того, если вспом­нить, каким об­ра­зом мы опре­де­ли­ли по­ня­тие ра­ди­а­на, ста­нет ясно, как свя­зать ли­ней­ную ско­рость тела с уг­ло­вой:

.

За­пи­шем также связь между цен­тро­стре­ми­тель­ным уско­ре­ни­ем и этими ве­ли­чи­на­ми:

.

Таким об­ра­зом, мы знаем связь между всеми ха­рак­те­ри­сти­ка­ми рав­но­мер­но­го дви­же­ния по окруж­но­сти.

Поды­то­жим. На этом уроке мы на­ча­ли опи­сы­вать кри­во­ли­ней­ное дви­же­ние. Мы по­ня­ли, каким об­ра­зом можно свя­зать кри­во­ли­ней­ное дви­же­ние с дви­же­ни­ем по окруж­но­сти. Дви­же­ние по окруж­но­сти все­гда яв­ля­ет­ся уско­рен­ным, а на­ли­чие уско­ре­ния обу­слав­ли­ва­ет тот факт, что ско­рость все­гда ме­ня­ет свое на­прав­ле­ние. Такое уско­ре­ние на­зы­ва­ет­ся цен­тро­стре­ми­тель­ным. На­ко­нец, мы вспом­ни­ли неко­то­рые ха­рак­те­ри­сти­ки дви­же­ния по окруж­но­сти (ли­ней­ную ско­рость, уг­ло­вую ско­рость, пе­ри­од и ча­сто­ту вра­ще­ния), и нашли со­от­но­ше­ния между ними.

До­маш­нее за­да­ние:

Рас­смот­ри­те сле­ду­ю­щие во­про­сы и от­ве­ты на них:

  • Во­прос: По­че­му дви­же­ние по окруж­но­сти все­гда яв­ля­ет­ся уско­рен­ным?
  • Во­прос: Как можно пред­ста­вить про­из­воль­ное кри­во­ли­ней­ное дви­же­ние?
  • Во­прос: По­че­му при­бор с более длин­ной стрел­кой будет чув­стви­тель­нее?
  • Во­прос: Есть ли на по­верх­но­сти Земли точки, в ко­то­рых уг­ло­вая ско­рость, свя­зан­ная с су­точ­ным вра­ще­ни­ем Земли, равна нулю?

К занятию прикреплен файл  «Ребусы по теме». Вы можете скачать файл  в любое удобное для вас время.

Использованные источники: 

  • http://interneturok.ru/ru/school/physics/10-klass/
  • http://www.youtube.com/watch?v=GpuqosemhBk

Файлы