6 класс. Математика. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Сравнение дробей

6 класс. Математика. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Сравнение дробей

Комментарии преподавателя

 Повторение

Вспом­ним, что мы уже знаем об обык­но­вен­ных дро­бях.

1. Любая дробь пред­став­ля­ет ко­ли­че­ство – часть от ка­ко­го-то числа. Эту часть мы умеем вы­чис­лять. На­при­мер,  от 100 – это .

2. Одну и ту же часть можно вы­ра­зить эк­ви­ва­лент­ны­ми дро­бя­ми (см. рис. 1). Эк­ви­ва­лент­ные дроби имеют раз­ную за­пись, од­на­ко вы­ра­жа­ют одно и то же ко­ли­че­ство, равны друг другу.

Пример эквивалентных дробей

Рис. 1. При­мер эк­ви­ва­лент­ных дро­бей

3. При сло­же­нии/вы­чи­та­нии дро­бей с оди­на­ко­вы­ми зна­ме­на­те­ля­ми скла­ды­ва­ем/вы­чи­та­ем чис­ли­те­ли.

4. При срав­не­нии двух дро­бей с оди­на­ко­вы­ми зна­ме­на­те­ля­ми боль­шая та, у ко­то­рой чис­ли­тель боль­ше (см. рис. 2).

 Пример сравнения дробей с одинаковым знаменателем

Рис. 2. При­мер срав­не­ния дро­бей с оди­на­ко­вым зна­ме­на­те­лем

 Сложение дробей с разными знаменателями

Те­перь пе­рей­дем к во­про­су: что де­лать, если у дро­бей будут раз­ные зна­ме­на­те­ли. На­при­мер, как нам сло­жить  и  (см. рис. 3)?

Иллюстрация к примеру

Рис. 3. Ил­лю­стра­ция к при­ме­ру

Если мы за­ме­ним одну из дро­бей на эк­ви­ва­лент­ную, то их сумма, оче­вид­но, не из­ме­нит­ся.

Для дроби  су­ще­ству­ет бес­ко­неч­ное мно­же­ство дро­бей, ко­то­рые ей эк­ви­ва­лент­ны. Да­вай­те будем до­мно­жать чис­ли­тель и зна­ме­на­тель этой дроби на 2, 3, 4 и т.д. Тем самым мы по­лу­чим це­поч­ку эк­ви­ва­лент­ных дро­бей.

Ана­ло­гич­но по­сту­пим и со вто­рой дро­бью:

Мы можем за­ме­нить дробь эк­ви­ва­лент­ной. Нам нужно найти такие две дроби, у ко­то­рых зна­ме­на­тель оди­на­ко­вый, тогда мы смо­жем вы­пол­нить сло­же­ние. Оди­на­ко­вый зна­ме­на­тель у дро­бей  и , за­ме­ним ис­ход­ные дроби на них.

Рас­смот­рим еще несколь­ко при­ме­ров.

 Пример № 1 Сложение дробей с разными знаменателями

Необ­хо­ди­мо сло­жить дроби.

1) 

Ре­ше­ние

1) Неслож­но за­ме­тить, что дробь  легко пре­вра­ща­ет­ся в эк­ви­ва­лент­ную дробь со зна­ме­на­те­лем 4. Для этого нам нужно до­мно­жить ее чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на 2.

 Пример № 2 Вычитание дробей с разными знаменателями

Опре­де­ли­те раз­ность.

1)                                                2)                                                3) 

Ре­ше­ние

1) Неслож­но уви­деть, что мы вто­рую дробь может пре­вра­тить в дробь со зна­ме­на­те­лем 8, для этого умно­жим ее чис­ли­тель и зна­ме­на­тель на 2.

2) Обе дроби мы можем за­ме­нить эк­ви­ва­лент­ны­ми дро­бя­ми со зна­ме­на­те­лем 6. Чис­ли­тель и зна­ме­на­тель пер­вой дроби до­мно­жим на 3, а вто­рой – на 2.

3) Общим зна­ме­на­те­лем для этих дро­бей яв­ля­ет­ся число 30. По об­раз­цу ре­ша­ем по­след­ний при­мер.

Таким об­ра­зом, для сло­же­ния/вы­чи­та­ния двух дро­бей с раз­ны­ми зна­ме­на­те­ля­ми дроби необ­хо­ди­мо све­сти к об­ще­му зна­ме­на­те­лю.

 Пример № 3 Усложнение

Срав­ни­те дроби в при­ме­рах. Вы­пол­ни­те дей­ствия.

1)                                            2) 

Ре­ше­ние

1) Общий зна­ме­на­тель сла­га­е­мых дол­жен по­лу­чать­ся из чисел 15 и 18 умно­же­ни­ем на ка­кие-то числа. На­при­мер, зна­ме­на­тель 270 по­лу­ча­ет­ся при умно­же­нии 15 и 18 друг на друга, а зна­чит, может вы­сту­пать в ка­че­стве об­ще­го зна­ме­на­те­ля для ис­ход­ных дро­бей. Те­перь необ­хо­ди­мо умно­жить пер­вое сла­га­е­мое на 18, а вто­рое – на 15. По­лу­чен­ные дроби после умно­же­ния можно срав­нить:

Сле­до­ва­тель­но, пер­вое сла­га­е­мое мень­ше вто­ро­го: .

Опре­де­лим сумму дро­бей: .

2) По­доб­ным об­ра­зом ре­ша­ем вто­рой при­мер. Вна­ча­ле при­во­дим дроби к об­ще­му зна­ме­на­те­лю. Срав­ни­ва­ем по­лу­чив­ши­е­ся зна­че­ния.

Ло­гич­но, что умень­ша­е­мое боль­ше вы­чи­та­е­мо­го. В этом мы убе­ди­лись при све­де­нии дро­бей к оди­на­ко­во­му зна­ме­на­те­лю: .

Вы­пол­ним вы­чи­та­ние до конца: .

источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/slozhenie-i-vychitanie-drobej-s-raznymi-znamenatelyami/slozhenie-i-vychitanie-drobey-s-raznymi-znamenatelyami-sravnenie-drobey

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=7pdDvmttTlM

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=bCtDS1tTmSk

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=vpzGhncogSE

источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=Xh9qs-6aw6A

источник презентации - http://ppt4web.ru/matematika/sravnenie-slozhenie-i-vychitanie-drobejj-s-raznymi-znamenateljami0.html

источник теста - http://testedu.ru/test/matematika/5-klass/slozhenie-i-vyichitanie-obyiknovennyix-drobej.html

Файлы