6 класс. Математика. Приведение дробей к общему знаменателю
6 класс. Математика. Приведение дробей к общему знаменателю
Комментарии преподавателя
Введение
Посмотрите: это две книги или одна (см. рис. 1, 2)? Книга одна, формы разные. В одних случаях удобна одна форма, в других другая. Сегодня мы будем говорить об эквивалентных обозначениях одного и того же количества.
Рис. 1. «Волшебник Изумрудного города»
Рис. 2. «Волшебник Изумрудного города» (издание 1984 года)
Представление числа
Одинаковую информацию можно подавать в разном виде, например, число «тринадцать» будет выглядеть так: 13, ХIII, тринадцать.
Если потребуется выполнить сложение. Допустим, прибавить двадцать семь.
Тринадцать + двадцать семь = сорок
ХIII + XXVII = ХL
13 + 27 = 40
Удобнее всего выполнять вычисления, если используется десятичная запись. Например, есть два мешка (см. рис. 3). В одном 2 пуда зерна, в другом 32 кг. Это одно и то же количество, обозначения разные. Добавим в каждый мешок по 3 кг. В первом мешке у нас 2 пуда и 3 кг. Во втором – 35 кг (см. рис. 4). Какая запись проще? Понятно, вторая.
Рис. 3. Мешки с зерном
Рис. 4. Мешки с зерном
Представление числа с помощью дробей
Представлять не целые числа удобнее с помощью дробей. Интересно то, что одинаковое количество числа можно представить с помощью эквивалентных дробей. Так, половину торта мы можем получить, разделив торт на две части и взяв из них одну, а можно разделить на 6 частей и взять 3 (см. рис. 5).
Рис. 5. Эквивалентные дроби
Мы получим эквивалентные дроби 
. Пусть теперь нам нужно сложить 
торта и 
торта (см. рис. 6). В таком виде нам это сделать не удается (это все равно как складывать пуды и килограммы). Мы можем складывать одинаковые части, например, шестые. Заменим эквивалентной дробью 
(см. рис. 7).Теперь мы складываем одинаковые дроби (шестые), 
(см. рис. 8).
Рис. 6. Сложение дробей 
Рис. 7. Замена 
эквивалентной дробью
Рис. 8. Сумма дробей
Рассмотрим еще несколько примеров.
Пример № 1 Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями с помощью эквивалентных дробей
Пример 1. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями с помощью эквивалентных дробей.
Вычислите: 
.
Решение
Запишем для каждой дроби по несколько эквивалентных до тех пор, пока не встретим два одинаковых знаменателя в разных рядах.
Теперь легко выполнять вычисления.
Так,приведение дробей к общему знаменателю – замена дробей на такие эквивалентные дроби, которые содержат одинаковый знаменатель.
Чтобы сравнить, сложить или вычесть дроби, нам нужно привести их к общему знаменателю.
Для приведения дробей к общему знаменателю можно выписать цепочку эквивалентных, а потом выбрать такие дроби, у которых одинаковые знаменатели.
1) Выполнить сложение: 
Решение
Сначала запишем цепочку эквивалентных дробей для 
, для этого числитель и знаменатель дроби домножим на 2, 3, 4 и т.д.
То же самое проделаем для дроби 
: 
.
Как видим, есть совпадение знаменателей (
и 
). Заменяем теперь исходные дроби эквивалентными и выполняем вычисления: 
.
Пример № 2 Произведение знаменателей
Определить значение разности: 
.
Решение
В качестве общего знаменателя можно также использовать произведение знаменателей исходных дробей. Приведем дроби 
и 
к знаменателю 
. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на 12, а второй – на 16.
Точно так же, как мы умножали числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, мы можем и поделить их на одно и то же число. В нашем примере числитель и знаменатель делятся на 8, выполним деление: 
.
Такое деление, как мы выполнили, называется сокращением дроби. Сократить дробь – означает разделить и числитель, и знаменатель на одинаковое число (не равное 0).
Пример №3. Приведение дробей к общему знаменателю двумя способами
Найти значение выражения: 
.
1 способ – воспользуемся нашим правилом: произведение знаменателей является общим знаменателем дробей. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 105, а второй – на 70.
Как мы видим, числа 595 и 105 заканчиваются на 5, а значит, делятся на 5, то есть мы можем сократить дробь: 
.
Также заметим, что числитель и знаменатель делятся на 7, и сократим дробь:
2 способ – выпишем цепочки эквивалентных дробей для 
и 
:
Уже на этом этапе имеется совпадение знаменателей. Заменим дроби им эквивалентными:
Как видите, второй способ дал нам ответ быстрее, чем первый.
Количество общих знаменателей для двух дробей
Давайте теперь подумаем, сколько существует общих знаменателей для двух дробей.
Какой общий знаменатель дробей 
и ? Выпишем цепочку эквивалентных дробей для и :
Мы видим несколько пар дробей с одинаковыми знаменателями (
и 
, 
и 
, 
и 
). Если мы продолжим дальше цепочки эквивалентных дробей, то получим бесконечное множество таких совпадений знаменателей. То есть у двух дробей существует бесконечное множество общих знаменателей, и нам подходит любой из них.
Например, произведение знаменателей исходных дробей 
– это общий знаменатель, однако не самый меньший, мы видим общий знаменатель, который меньше, – 12.
Наименьший общий знаменатель (примеры №4 и №5)
Есть ли способ отыскания наименьшего общего знаменателя? Да, такой способ существует.
Давайте рассмотрим следующий пример.
Пример 4. Вычислите значение выражения: 
.
Решение
Будем следовать рассмотренному алгоритму и выпишем цепочки эквивалентных дробей:
Можем ли мы как-то упростить наш алгоритм? Да, можем. Цепочка с бОльшим знаменателем короче, поэтому с ней и будем работать. Возьмем бОльший знаменатель и будем складывать его самого с собой (таким образом, мы не пропустим число 180), проверяя на каждом шаге, делится ли число на меньший знаменатель (45).
60 не делится на 45, значит, не будет являться общим знаменателем для исходных дробей.
60 + 60 = 120, снова не делится на 45. Продолжаем прибавлять 60.
120 + 60 = 180 делится на 45, 180 : 45 = 4.
Тогда общий знаменатель 180.
Вычислите значение выражения: 
.
Решение
Берем бОльший знаменатель (35) и складываем его с самим собой до тех пор, пока результат не будет делиться на меньший знаменатель (21).
35 не делится на 21.
35 + 35 = 70 не делится на 21.
70 + 35 = 105 делится на 21 (105 : 21 = 5), значит, 105 – общий знаменатель.
Приведем обе дроби к знаменателю 105, для этого числитель и знаменатель первой дроби домножим на 5, а второй – на 3: 
.
Пример 5
Вычислите значение выражения: 
.
Решение
Когда знаменатели большие, применить предыдущие методы достаточно сложно. Тогда размышляем так, чтобы число 
делилось на 210, оно должно содержать множитель 210. При этом само число раскладывается на множители: 
.
Так все множители числа 210 содержатся и в числе .
Нам нужно найти такое число, которое содержит все множители числа 210 и числа 1155.
Сконструируем необходимое число, содержащее все множители и первого, и второго чисел: 
.
Ни один из множителей убрать нельзя – это и есть наименьшее число, которое одновременно делиться на 210, и на 1155. Это наименьший общий знаменатель. Разложение на простые множители не только позволяет найти наименьший общий знаменатель, но и подсказывает, на какой множитель необходимо домножить каждую дробь. Так, в первом знаменателе до общего знаменателя не хватает множителя 11, а во втором – 2.
Вычислите значение выражения: 
.
Решение
Раскладываем каждый знаменатель на множители.
Общий знаменатель: 
.
Пример №6
Вычислите значение выражения: 
.
Решение
Сначала разложим каждый знаменатель на множители:
Конструируем наименьший общий знаменатель, он должен содержать все множители каждого знаменателя.
Значит, у первого знаменателя не хватает множителей 5 и 7, а у второго – 2 и 11.
Выводы
Чтобы сравнить, сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, их необходимо свести к общему знаменателю. Так можно составлять эквивалентные дроби, работать с бóльшим знаменателем, вычислять произведение начальных знаменателей, а также находить наименьший общий знаменатель, путём разложения на множители исходных знаменателей.
Рассмотрение темы сравнения дробей с разными знаменателями на примере
Рис. 1. Сравнение дробей с разными знаменателями
Давайте попробуем разобрать на примере, как можно сравнить две дроби с разными знаменателями (рис. 1).
Если судить по картинке, то может показаться, что первая дробь однозначно больше, давайте проверим это предположение математическим способом. Для начала давайте вспомним, что: при сравнении дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, числитель которой больше (рис. 2).
Рис. 2. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями
Сравнение дробей с разными знаменателями через нахождение НОК и НОЗ
Значит, для того чтобы сравнить две дроби с разными числителями и знаменателями, нам нужно привести их к общему знаменателю. Как же это сделать? Вернемся к нашим дробям 
и 
и воспользуемся основным свойством дробей. Нам нужно умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число и получим дробь, равную данной. Давайте умножим числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй. А потом числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой. (6 и 8 – дополнительные множители). Теперь у нас есть две дроби с одинаковыми знаменателями и мы можем их сравнить.
Учитываем уже знакомое нам правило, что из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, числитель которой больше.
Давайте рассмотрим другой способ приведения к общему знаменателю, его удобнее использовать в случае, если знаменателями выступают очень большие числа. Он основан на определении общего знаменателя дробей.
Возьмем уже знакомую нам пару дробей и . Для того чтобы найти общий знаменатель, нам нужно найти наименьшее общее кратное для 8 и 6. 
, значит, и обе дроби нам нужно привести к знаменателю 24.
Чтобы привести дробь к знаменателю 24, ее нужно умножить на 3. Дробь – на 4.
Алгоритм приведения дробей к общему знаменателю
- Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ). Для этого нужно определить НОК знаменателей этих дробей, оно и будет НОЗ исходных дробей.
- Определить дополнительный множитель для каждого из исходных дробей.
- Умножить числитель и знаменатель исходных дробей на соответствующий дополнительный множитель.
Примеры решения задания, употребление разложения числа на простые множители для нахождения НОК
Привести к общему знаменателю дроби 
и 
.
Решение
Ответ: 
и 
.
Не всегда легко можно подобрать НОК чисел, и в таком случае вам поможет умение раскладывать числа на произведение простых множителей.
Задание
Привести к общему знаменателю дроби 
и 
.
Решение
Ответ: 
и 
.
Подведение итогов урока
Мы научились приводить дроби к общему знаменателю.
1. Что значит привести дробь к новому знаменателю? Что такое дополнительный множитель? Какое число может быть новым знаменателем данной дроби?
Повторение. Основное свойство дроби.
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.
Например, числитель и знаменатель дроби 
можно разделить на 2. Получим дробь 
. Эту операцию называют сокращением дроби. Можно выполнить и обратное преобразование, умножив числитель и знаменатель дроби на 2. В этом случае говорят, что мы привели дробь к новому знаменателю. Число 2 называют дополнительным множителем.
Вывод. Дробь можно привести к любому знаменателю кратному знаменателю данной дроби. Для того чтобы привести дробь к новому знаменателю, ее числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.
2. Привести дробь к новому знаменателю. (Упражнения)
1. Приведите дробь 
к знаменателю 35.
Число 35 кратно 7, то есть 35 делится на 7 без остатка. Значит, это преобразование возможно. Найдем дополнительный множитель. Для этого разделим 35 на 7. Получим 5. Умножим на 5 числитель и знаменатель исходной дроби.
2. Приведите дробь 
к знаменателю 18.
Найдем дополнительный множитель. Для этого разделим новый знаменатель на исходный. Получим 3. Умножим на 3 числитель и знаменатель данной дроби.
3. Приведите дробь 
к знаменателю 60.
Разделив 60 на 15, получим дополнительный множитель. Он равен 4. Умножим числитель и знаменатель на 4.
4. Приведите дробь 
к знаменателю 24
В несложных случаях приведение к новому знаменателю выполняют в уме. Принято только указывать дополнительный множитель за скобочкой чуть правее и выше исходной дроби.
3. Что значит привести дроби к общему знаменателю?
Дробь 
можно привести к знаменателю 15 и дробь 
можно привести к знаменателю 15. У дробей 
и 
общий знаменатель 15.
Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их знаменателей. Для простоты дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.
4. Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю? Иллюстрирующий пример и алгоритм.
Пример. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби 
и 
.
Сначала найдем наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей. Это число 12. Найдем дополнительный множитель для первой и для второй дроби. Для этого 12 разделим на 4 и на 6. Три – это дополнительный множитель для первой дроби, а два – для второй. Приведем дроби к знаменателю 12.
Мы привели дроби и к общему знаменателю, то есть мы нашли равные им дроби, у которых один и тот же знаменатель.
Правило. Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо
Во-первых, найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем;
Во-вторых, разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т. е. найти для каждой дроби дополнительный множитель.
В-третьих, умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель.
5. Привести дроби к наименьшему общему знаменателю. (Упражнения)
а) Привести к общему знаменателю дроби 
и 
.
Наименьший общий знаменатель равен 12. Дополнительный множитель для первой дроби – 4, для второй – 3. Приводим дроби к знаменателю 24.
б) Привести к общему знаменателю дроби 
и 
.
Наименьший общий знаменатель равен 45. Разделив 45 на 9 на 15, получим, соответственно, 5 и 3. Приводим дроби к знаменателю 45.
в) Привести к общему знаменателю дроби 
и 
.
Общий знаменатель – 24. Дополнительные множители, соответственно, – 2 и 3.
6. Пример. Как найти общий знаменатель, используя разложение на простые множители знаменателей исходных дробей
Иногда бывает трудно подобрать устно наименьшее общее кратное для знаменателей данных дробей. Тогда общий знаменатель и дополнительные множители находят с помощью разложения на простые множители.
Привести к общему знаменателю дроби 
и 
.
Разложим числа 60 и 168 на простые множители. Выпишем разложение числа 60 и добавим недостающие множители 2 и 7 из второго разложения. Умножим 60 на 14 и получим общий знаменатель 840. Дополнительный множитель для первой дроби – это 14. Дополнительный множитель для второй дроби - 5. Приведем дроби к общему знаменателю 840.
источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/slozhenie-i-vychitanie-drobej-s-raznymi-znamenatelyami/privedenie-drobey-k-obschemu-znamenatelyu-slupko-m-v
источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/slozhenie-i-vychitanie-drobej-s-raznymi-znamenatelyami/privedenie-drobey-k-obschemu-znamenatelyu-terentieva-i-g
источник конспекта - http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/slozhenie-i-vychitanie-drobej-s-raznymi-znamenatelyami/privedenie-drobey-k-obschemu-znamenatelyu-moskalenko-m-v
источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=AQcsPkqBK-w
источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=xmvU6-N8CZo
источник ивдео - http://www.youtube.com/watch?v=Mgj3uV5G95Q
источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=1orzNXFOTSg
источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=4nGcI1eO198
источник видео - http://www.youtube.com/watch?v=ks8spHhfS2E
источник презентация - http://ppt4web.ru/matematika/privedenie-drobejj-k-obshhemu-znamenatelju-klass.html