7 класс. Алгебра. Математический язык. Математическая модель.

7 класс. Алгебра. Математический язык. Математическая модель.

В три школьных кружка записались 120 учеников. В спортивный кружок записалось в три раза больше учеников, чем в музыкальный, и в два раза меньше, чем в театральный. Сколько учеников решили посещать спортивный кружок?

Комментарии преподавателя

На данном уроке мы начнем изучение темы «Уравнения». Мы рассмотрим линейное уравнение с одной переменной в общем виде, а также на конкретных примерах. Кроме того, решим текстовые задачи.

 

Основные определения, истоки уравнения

Опре­де­ле­ние

Ли­ней­ным урав­не­ни­ем с одной неиз­вест­ной на­зы­ва­ет­ся урав­не­ние вида:

.

Здесь  – ис­ко­мая неиз­вест­ная,  и  – ко­эф­фи­ци­ен­ты, па­ра­мет­ры.

Ре­шить урав­не­ние – зна­чит найти все его корни или убе­дить­ся в том, что ре­ше­ний нет.

Опре­де­ле­ние

Ко­рень урав­не­ния – это такое зна­че­ние , при ко­то­ром урав­не­ние пре­вра­ща­ет­ся в вер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство.

Ли­ней­ное урав­не­ние  опи­сы­ва­ет рав­но­мер­ное пря­мо­ли­ней­ное дви­же­ние с по­сто­ян­ной ско­ро­стью:

 – путь равен про­из­ве­де­нию ско­ро­сти и вре­ме­ни.

Если пе­ре­не­сти все сла­га­е­мые в одну сто­ро­ну, по­лу­чим:

.

Вы­пол­ним пе­ре­обо­зна­че­ние:

.

По­лу­чим изу­ча­е­мое ли­ней­ное урав­не­ние.

Решение уравнений в общих и частном случаях

При­мер 1:

При­ба­вим три к обеим ча­стям урав­не­ния – при этом ра­вен­ство не из­ме­нит­ся:

.

Раз­де­лим обе части на два:

.

Ответ: .

Ком­мен­та­рий: наша глав­ная цель – найти , для этого мы вы­пол­ня­ем оди­на­ко­вые пре­об­ра­зо­ва­ния над обе­и­ми ча­стя­ми урав­не­ния.

Решим урав­не­ние в общем виде:

.

От­ни­мем в обеих ча­стях число :

.

По­сколь­ку  имеем право обе части по­де­лить на :

.

Вывод: при  ли­ней­ное урав­не­ние имеет един­ствен­ный ко­рень: .

Рас­смот­рим слу­чай, когда :

.

Урав­не­ние имеет бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний, любое дей­стви­тель­ное  удо­вле­тво­ря­ет урав­не­нию

.

Ре­ше­ний нет.

Так, в общем слу­чае урав­не­ние  имеет ре­ше­ние:

При .

При   – любое число, бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний.

При  ре­ше­ний нет.

В рас­смат­ри­ва­е­мое ли­ней­ное урав­не­ние неиз­вест­ное  вхо­дит в пер­вой сте­пе­ни, по­это­му такое урав­не­ние носит на­зва­ние урав­не­ния пер­вой сте­пе­ни, к нему сво­дят­ся мно­гие дру­гие урав­не­ния.

При­мер 2:

.

Ис­поль­зуя свой­ства урав­не­ния, имеем право пе­ре­не­сти сла­га­е­мое из пра­вой части урв­не­ния в левую с про­ти­во­по­лож­ным зна­ком или сла­га­е­мое из левой части - в пра­вую тоже с про­ти­во­по­лож­ным зна­ком. Пе­ре­не­сем все члены с  влево, а числа впра­во:

.

По­де­лим обе части на два:

.

Ответ: .

При­мер 3:

.

Рас­кро­ем скоб­ки:

.

При­ба­вим пять к обеим ча­стям урав­не­ния:

.

По­де­лим обе части на два:

.

Оче­вид­но, что ре­ше­ни­ем дан­но­го урав­не­ния может быть любое число.

Ответ: урав­не­ние имеет бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний.

При­мер 4:

.

Рас­кро­ем скоб­ки:

Пе­ре­не­сем все члены с  влево, а числа впра­во:

.

По­лу­че­но невер­ное чис­ло­вое ра­вен­ство.

Ответ: ре­ше­ний нет.

Решение текстовых задач

При­мер 5: ре­шить за­да­чу.

Папе и де­душ­ке вме­сте 111 лет. Сколь­ко лет каж­до­му, если папа в два раза мо­ло­же де­душ­ки?

Ре­ше­ние: пусть папе  лет. По­сколь­ку де­душ­ка в два раза его стар­ше, ему  лет. Тогда имеем урав­не­ние:

.

По­де­лим обе части на три:

.

Так, папе 37 лет. Тогда де­душ­ке  года.

Ответ: папе 37 лет, де­душ­ке 74 года.

При­мер 6

При каком зна­че­нии  зна­че­ние вы­ра­же­ния  в три раза боль­ше зна­че­ния вы­ра­же­ния ?

Ре­ше­ние

Если пер­вое вы­ра­же­ние в три раза боль­ше вто­ро­го, имеем право вто­рое умно­жить на три и при­рав­нять:

.

Рас­кро­ем скоб­ки:

.

Пе­ре­не­сем все члены с  влево, а числа впра­во:

.

По­де­лим обе части на минус семь:

.

Ответ: при  пер­вое за­дан­ное вы­ра­же­ние в три раза боль­ше вто­ро­го.

Вывод: на дан­ном уроке мы рас­смот­ре­ли ли­ней­ное урав­не­ние с одной пе­ре­мен­ной и вы­яс­ни­ли его спе­ци­фи­ку. Такое урав­не­ние может иметь одно ре­ше­ние, бес­чис­лен­ное мно­же­ство ре­ше­ний или вовсе не иметь ре­ше­ний.

Источник видео: https://www.youtube.com/watch?v=zBPtIA1FdG8

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/matematicheskij-yazyk-matematicheskaya-model/lineynoe-uravnenie-s-odnoy-peremennoy-tarasov-v-a?konspekt&chapter_id=1

Файлы