7 класс. Алгебра. Математический язык. Математическая модель.

Комментарии преподавателя

На данном уроке будут рассмотрены основы математического языка. Данный язык используется в различных науках: физике, химии, экономике и т. д. В каждой из этих наук есть определенные законы и правила, которые формулируются на русском языке, а потом переводятся на математический. Каждая тема, изучаемая в математике, базируется на математическом языке. Числовые, алгебраические выражения являются элементами этого языка. Знание математического языка в дальнейшем мы будем использовать при решении текстовых задач, когда условие будем представлять в виде формулы, составляя математические модели на соответствующем языке.

 

 

Введение. Виды языков

Су­ще­ству­ют раз­лич­ные виды язы­ков, на­при­мер, мно­гие из вас чаще всего поль­зу­ют­ся по­все­днев­ным раз­го­вор­ным язы­ком при об­ще­нии с окру­жа­ю­щи­ми лю­дь­ми. Од­на­ко су­ще­ству­ют раз­но­вид­но­сти та­ко­го языка, так, об­ще­ние с близ­ки­ми дру­зья­ми может за­мет­но от­ли­чать­ся от об­ще­ния с ро­ди­те­ля­ми и учи­те­ля­ми в школе. При этом оба этих раз­го­вор­ных ва­ри­ан­та под­чи­ня­ют­ся своим пра­ви­лам, ко­то­рые не носят стро­го­го ха­рак­те­ра (дают сво­бо­ду в вы­бо­ре форм вы­ска­зы­ва­ний). Еще один при­мер языка – это язык офи­ци­аль­ной до­ку­мен­та­ции, он от­ли­ча­ет­ся от раз­го­вор­но­го более стро­гим сти­лем и под­чи­не­ни­ем более стро­гим пра­ви­лам.

Рис. 1. До­рож­ные знаки

Су­ще­ству­ют также уз­ко­спе­ци­а­ли­зи­ро­ван­ные языки, но­ся­щие стро­гий ха­рак­тер и ори­ен­ти­ро­ван­ные на по­ни­ма­ние про­фес­си­о­на­ла­ми. К та­ко­вым можно от­не­сти: язык до­рож­ных зна­ков (ори­ен­ти­ро­ван на во­ди­те­лей) (см. Рис. 1); язык сиг­на­лов, на­при­мер флаги (ис­поль­зу­ет­ся на флоте для об­ме­на ин­фор­ма­ци­ей (см. Рис. 2)); язык про­грам­ми­ро­ва­ния.

Рис. 2. Пе­ре­да­ча ин­фор­ма­ции с по­мо­щью флаж­ков

На этом уроке объ­ек­том изу­че­ния будет ма­те­ма­ти­че­ский язык

Математический язык

Ма­те­ма­ти­че­ский язык – фор­маль­ный язык людей, изу­ча­ю­щих точ­ные науки. Этот язык опе­ри­ру­ет точ­ны­ми по­ня­ти­я­ми и со­сто­ит из вы­ска­зы­ва­ний с уни­вер­саль­ны­ми сим­во­ла­ми.

Ма­те­ма­ти­че­ский язык от­ли­ча­ет­ся от раз­го­вор­но­го тем, что после пе­ре­во­да на него мно­гие утвер­жде­ния вы­гля­дят яснее и про­зрач­нее. На­при­мер, на обыч­ном языке го­во­рят: «чтобы сло­жить две обык­но­вен­ные дроби с оди­на­ко­вы­ми зна­ме­на­те­ля­ми, нужно сло­жить их чис­ли­те­ли, а зна­ме­на­те­ли оста­вить без из­ме­не­ний». Ма­те­ма­тик при этом осу­ществ­ля­ет син­хрон­ный пе­ре­вод на свой язык:

 

Можно осу­ще­ствить и об­рат­ный пе­ре­вод. На ма­те­ма­ти­че­ском языке за­пи­сан рас­пре­де­ли­тель­ный закон:

 

Осу­ществ­ляя пе­ре­вод на обыч­ный язык, по­лу­чим длин­ное пред­ло­же­ние: «Чтобы умно­жить число  на сумму чисел  и , надо число  умно­жить по­оче­ред­но на каж­дое сла­га­е­мое и по­лу­чен­ные про­из­ве­де­ния сло­жить».

То есть в ма­те­ма­ти­ке ис­поль­зу­ют­ся обо­зна­че­ния в виде сим­во­лов, ко­то­рые поз­во­ля­ют крат­ко, в услов­ной форме за­пи­сать ма­те­ма­ти­че­ские фор­му­лы.

В раз­го­вор­ном языке за­ча­стую воз­мож­но ме­нять слова в пред­ло­же­нии или пред­ло­же­ния в тек­сте, при этом не на­ру­шая об­ще­го смыс­ла. В ма­те­ма­ти­че­ском языке это чаще всего недо­пу­сти­мо.

Примеры перевода устных высказываний в математические и наоборот

Пе­ре­ве­ди­те уст­ное вы­ска­зы­ва­ние в ма­те­ма­ти­че­ское:

1. По­лу­сум­ма чисел  и : на ма­те­ма­ти­че­ском языке это вы­гля­дит как .

2. По­лу­раз­ность чисел  и : .

3. Квад­рат числа : .

4. Куб числа : .

Об­рат­ный пе­ре­вод:

1.  – на обыч­ном языке это вы­ра­же­ние зву­чит так: сумма чисел  и 2.

2.  – сумма квад­ра­та числа  и квад­ра­та числа .

3.  – от­но­ше­ние суммы чисел  и  к про­из­ве­де­нию чисел  и .

Пе­ре­вод из сло­вес­ной фор­му­ли­ров­ки в сим­воль­ную

1. Чтобы к числу при­ба­вить сумму двух чисел, можно сна­ча­ла при­ба­вить к нему пер­вое сла­га­е­мое, а затем к по­лу­чен­ной сумме вто­рое сла­га­е­мое:

 

2. Чтобы к числу при­ба­вить раз­ность двух чисел, можно сна­ча­ла при­ба­вить к нему умень­ша­е­мое, а затем из по­лу­чен­ной суммы вы­честь вы­чи­та­е­мое:

 

3. Ве­ли­чи­на дроби не из­ме­нит­ся, если ее чис­ли­тель и зна­ме­на­тель умно­жить на одно и то же число, не рав­ное нулю:

 

Перевод из символьной формулировки в словесную

1.  – чтобы из числа вы­честь сумму двух чисел, нужно из этого числа вы­честь сна­ча­ла пер­вое сла­га­е­мое, а затем вто­рое сла­га­е­мое;

2.  – если к числу при­ба­вить ноль, то в ре­зуль­та­те по­лу­чит­ся то же самое число;

3.  – если число умно­жить на еди­ни­цу, то в ре­зуль­та­те по­лу­чит­ся то же самое число;

4.  – если число умно­жить на ноль, то в ре­зуль­та­те по­лу­чит­ся ноль;

5.  – если число раз­де­лить на еди­ни­цу, то в ре­зуль­та­те по­лу­чит­ся то же самое число;

6.  – если ноль раз­де­лить на любое число, не рав­ное нулю, то в ре­зуль­та­те по­лу­чит­ся ноль;

7.  – если любое не рав­ное нулю число умно­жить на об­рат­ное ему число, то в ре­зуль­та­те по­лу­чит­ся еди­ни­ца.

Алфавит математического языка

По­доб­но обыч­но­му языку, ма­те­ма­ти­че­ский язык на­чи­на­ет­ся с про­стей­ших сим­во­лов. Со­во­куп­ность этих сим­во­лов на­зы­ва­ет­ся ал­фа­ви­том ма­те­ма­ти­че­ско­го языка. Этот ал­фа­вит со­сто­ит из:

1. чисел (1; 2; 3; ...);

2. бук­вен­ных вы­ра­же­ний (a, b, c, …);

3. сим­во­лов про­стей­ших опе­ра­ций ();

4. ско­бок («(», «)»);

5. воз­ве­де­ния в сте­пень (, 2 – верх­ний ин­декс).

Из та­ко­го ал­фа­ви­та стро­ят­ся слова, то есть ма­те­ма­ти­че­ские вы­ра­же­ния, на­при­мер:

1.  

2.  

3. 

Итоги урока

Со­вре­мен­ная ма­те­ма­ти­ка имеет в своем ар­се­на­ле очень раз­ви­тые зна­ко­вые си­сте­мы, поз­во­ля­ю­щие от­ра­зить тон­чай­шие от­тен­ки мыс­ли­тель­но­го про­цес­са. Зна­ние ма­те­ма­ти­че­ско­го языка дает боль­шие воз­мож­но­сти для ана­ли­за на­уч­но­го мыш­ле­ния и всего про­цес­са по­зна­ния. На про­тя­же­нии всего курса ма­те­ма­ти­ки мы будем со­вер­шен­ство­вать зна­ние ма­те­ма­ти­че­ско­го языка и на­вы­ки его ис­поль­зо­ва­ния.

 

 

Источник конспекта: http://interneturok.ru/ru/school/algebra/7-klass/matematicheskij-yazyk-matematicheskaya-model/chto-takoe-matematicheskiy-yazyk?konspekt&chapter_id=1

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=FbQieDZLdc0

 

Файлы